Theorem axaddf 8241

Description: Addition is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axaddcl 8237. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-addf 8307. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddf	|- + : ( CC X. CC ) --> CC

Proof of Theorem axaddf

Dummy variables a b x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moeq 3001	. . . . . . . . 9 |- E* z z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >.
2	1	mosubop 4843	. . . . . . . 8 |- E* z E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. )
3	2	mosubop 4843	. . . . . . 7 |- E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) )
4		anass 405	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
5	4	2exbii 1659	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
6		19.42vv 1967	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
7	5, 6	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
8	7	2exbii 1659	. . . . . . . 8 |- ( E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
9	8	mobii 2123	. . . . . . 7 |- ( E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
10	3, 9	mpbir 146	. . . . . 6 |- E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. )
11	10	moani 2157	. . . . 5 |- E* z ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) )
12	11	funoprab 6191	. . . 4 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
13		df-add 8196	. . . . 5 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
14	13	funeqi 5401	. . . 4 |- ( Fun + <-> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) } )
15	12, 14	mpbir 146	. . 3 |- Fun +
16	13	dmeqi 4984	. . . . 5 |- dom + = dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
17		dmoprabss 6173	. . . . 5 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) } C_ ( CC X. CC )
18	16, 17	eqsstri 3280	. . . 4 |- dom + C_ ( CC X. CC )
19		cnm 8205	. . . . . . 7 |- ( a e. CC -> E. b b e. a )
20	19	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ a e. CC ) -> E. b b e. a )
21		axaddcl 8237	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
22	21	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
23		funrel 5397	. . . . . . 7 |- ( Fun + -> Rel + )
24	15, 23	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> Rel + )
25	20, 22, 24	oprssdmm 6409	. . . . 5 |- ( T. -> ( CC X. CC ) C_ dom + )
26	25	mptru 1411	. . . 4 |- ( CC X. CC ) C_ dom +
27	18, 26	eqssi 3264	. . 3 |- dom + = ( CC X. CC )
28		df-fn 5383	. . 3 |- ( + Fn ( CC X. CC ) <-> ( Fun + /\ dom + = ( CC X. CC ) ) )
29	15, 27, 28	mpbir2an 955	. 2 |- + Fn ( CC X. CC )
30	21	rgen2a 2604	. 2 |- A. x e. CC A. y e. CC ( x + y ) e. CC
31		ffnov 6195	. 2 |- ( + : ( CC X. CC ) --> CC <-> ( + Fn ( CC X. CC ) /\ A. x e. CC A. y e. CC ( x + y ) e. CC ) )
32	29, 30, 31	mpbir2an 955	1 |- + : ( CC X. CC ) --> CC

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   T. wtru 1403   E.wex 1545   E*wmo 2087   e. wcel 2209   A.wral 2528   C_ wss 3220   <.cop 3712   X. cxp 4774   dom cdm 4776   Rel wrel 4781   Fun wfun 5374   Fn wfn 5375   -->wf 5376  (class class class)co 6088   {coprab 6089   +R cplr 7674   CCcc 8183   + caddc 8188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-lti 7680  df-plpq 7717  df-mpq 7718  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722  df-mqqs 7723  df-1nqqs 7724  df-rq 7725  df-ltnqqs 7726  df-enq0 7797  df-nq0 7798  df-0nq0 7799  df-plq0 7800  df-mq0 7801  df-inp 7839  df-iplp 7841  df-enr 8099  df-nr 8100  df-plr 8101  df-c 8191  df-add 8196

This theorem is used by: (None)