Theorem axaddf 7767

Description: Addition is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axaddcl 7763. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-addf 7833. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddf	|- + : ( CC X. CC ) --> CC

Proof of Theorem axaddf

Dummy variables a b x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moeq 2883	. . . . . . . . 9 |- E* z z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >.
2	1	mosubop 4645	. . . . . . . 8 |- E* z E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. )
3	2	mosubop 4645	. . . . . . 7 |- E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) )
4		anass 399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
5	4	2exbii 1583	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
6		19.42vv 1888	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
7	5, 6	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
8	7	2exbii 1583	. . . . . . . 8 |- ( E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
9	8	mobii 2040	. . . . . . 7 |- ( E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
10	3, 9	mpbir 145	. . . . . 6 |- E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. )
11	10	moani 2073	. . . . 5 |- E* z ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) )
12	11	funoprab 5911	. . . 4 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
13		df-add 7722	. . . . 5 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
14	13	funeqi 5184	. . . 4 |- ( Fun + <-> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) } )
15	12, 14	mpbir 145	. . 3 |- Fun +
16	13	dmeqi 4780	. . . . 5 |- dom + = dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
17		dmoprabss 5893	. . . . 5 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) } C_ ( CC X. CC )
18	16, 17	eqsstri 3156	. . . 4 |- dom + C_ ( CC X. CC )
19		cnm 7731	. . . . . . 7 |- ( a e. CC -> E. b b e. a )
20	19	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ a e. CC ) -> E. b b e. a )
21		axaddcl 7763	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
22	21	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
23		funrel 5180	. . . . . . 7 |- ( Fun + -> Rel + )
24	15, 23	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> Rel + )
25	20, 22, 24	oprssdmm 6109	. . . . 5 |- ( T. -> ( CC X. CC ) C_ dom + )
26	25	mptru 1341	. . . 4 |- ( CC X. CC ) C_ dom +
27	18, 26	eqssi 3140	. . 3 |- dom + = ( CC X. CC )
28		df-fn 5166	. . 3 |- ( + Fn ( CC X. CC ) <-> ( Fun + /\ dom + = ( CC X. CC ) ) )
29	15, 27, 28	mpbir2an 927	. 2 |- + Fn ( CC X. CC )
30	21	rgen2a 2508	. 2 |- A. x e. CC A. y e. CC ( x + y ) e. CC
31		ffnov 5915	. 2 |- ( + : ( CC X. CC ) --> CC <-> ( + Fn ( CC X. CC ) /\ A. x e. CC A. y e. CC ( x + y ) e. CC ) )
32	29, 30, 31	mpbir2an 927	1 |- + : ( CC X. CC ) --> CC

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1332   T. wtru 1333   E.wex 1469   E*wmo 2004   e. wcel 2125   A.wral 2432   C_ wss 3098   <.cop 3559   X. cxp 4577   dom cdm 4579   Rel wrel 4584   Fun wfun 5157   Fn wfn 5158   -->wf 5159  (class class class)co 5814   {coprab 5815   +R cplr 7200   CCcc 7709   + caddc 7714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-eprel 4244  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-1o 6353  df-2o 6354  df-oadd 6357  df-omul 6358  df-er 6469  df-ec 6471  df-qs 6475  df-ni 7203  df-pli 7204  df-mi 7205  df-lti 7206  df-plpq 7243  df-mpq 7244  df-enq 7246  df-nqqs 7247  df-plqqs 7248  df-mqqs 7249  df-1nqqs 7250  df-rq 7251  df-ltnqqs 7252  df-enq0 7323  df-nq0 7324  df-0nq0 7325  df-plq0 7326  df-mq0 7327  df-inp 7365  df-iplp 7367  df-enr 7625  df-nr 7626  df-plr 7627  df-c 7717  df-add 7722

This theorem is referenced by: (None)