Theorem axaddf 7869

Description: Addition is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axaddcl 7865. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-addf 7935. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddf	|- + : ( CC X. CC ) --> CC

Proof of Theorem axaddf

Dummy variables a b x y z w v u f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moeq 2914	. . . . . . . . 9 |- E* z z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >.
2	1	mosubop 4694	. . . . . . . 8 |- E* z E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. )
3	2	mosubop 4694	. . . . . . 7 |- E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) )
4		anass 401	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
5	4	2exbii 1606	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
6		19.42vv 1911	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u E. f ( x = <. w , v >. /\ ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
7	5, 6	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
8	7	2exbii 1606	. . . . . . . 8 |- ( E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
9	8	mobii 2063	. . . . . . 7 |- ( E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) <-> E* z E. w E. v ( x = <. w , v >. /\ E. u E. f ( y = <. u , f >. /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
10	3, 9	mpbir 146	. . . . . 6 |- E* z E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. )
11	10	moani 2096	. . . . 5 |- E* z ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) )
12	11	funoprab 5977	. . . 4 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
13		df-add 7824	. . . . 5 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
14	13	funeqi 5239	. . . 4 |- ( Fun + <-> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) } )
15	12, 14	mpbir 146	. . 3 |- Fun +
16	13	dmeqi 4830	. . . . 5 |- dom + = dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
17		dmoprabss 5959	. . . . 5 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) } C_ ( CC X. CC )
18	16, 17	eqsstri 3189	. . . 4 |- dom + C_ ( CC X. CC )
19		cnm 7833	. . . . . . 7 |- ( a e. CC -> E. b b e. a )
20	19	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ a e. CC ) -> E. b b e. a )
21		axaddcl 7865	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
22	21	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
23		funrel 5235	. . . . . . 7 |- ( Fun + -> Rel + )
24	15, 23	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( T. -> Rel + )
25	20, 22, 24	oprssdmm 6174	. . . . 5 |- ( T. -> ( CC X. CC ) C_ dom + )
26	25	mptru 1362	. . . 4 |- ( CC X. CC ) C_ dom +
27	18, 26	eqssi 3173	. . 3 |- dom + = ( CC X. CC )
28		df-fn 5221	. . 3 |- ( + Fn ( CC X. CC ) <-> ( Fun + /\ dom + = ( CC X. CC ) ) )
29	15, 27, 28	mpbir2an 942	. 2 |- + Fn ( CC X. CC )
30	21	rgen2a 2531	. 2 |- A. x e. CC A. y e. CC ( x + y ) e. CC
31		ffnov 5981	. 2 |- ( + : ( CC X. CC ) --> CC <-> ( + Fn ( CC X. CC ) /\ A. x e. CC A. y e. CC ( x + y ) e. CC ) )
32	29, 30, 31	mpbir2an 942	1 |- + : ( CC X. CC ) --> CC

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   T. wtru 1354   E.wex 1492   E*wmo 2027   e. wcel 2148   A.wral 2455   C_ wss 3131   <.cop 3597   X. cxp 4626   dom cdm 4628   Rel wrel 4633   Fun wfun 5212   Fn wfn 5213   -->wf 5214  (class class class)co 5877   {coprab 5878   +R cplr 7302   CCcc 7811   + caddc 7816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-iplp 7469  df-enr 7727  df-nr 7728  df-plr 7729  df-c 7819  df-add 7824

This theorem is referenced by: (None)