Theorem opabssxp 4525

Description: An abstraction relation is a subset of a related cross product. (Contributed by NM, 16-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opabssxp	|- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . 3 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	ssopab2i 4113	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
3		df-xp 4457	. 2 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
4	2, 3	sseqtr4i 3060	1 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Syntax hints:   /\ wa 103   e. wcel 1439   C_ wss 3000   {copab 3904   X. cxp 4449

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-in 3006  df-ss 3013  df-opab 3906  df-xp 4457

This theorem is referenced by:  brab2ga  4526  dmoprabss  5744  ecopovsym  6402  ecopovtrn  6403  ecopover  6404  ecopovsymg  6405  ecopovtrng  6406  ecopoverg  6407  enqex  6973  ltrelnq  6978  enq0ex  7052  ltrelpr  7118  enrex  7337  ltrelsr  7338  ltrelre  7424  ltrelxr  7601  dvdszrcl  11133