Theorem opabssxp 4798

Description: An abstraction relation is a subset of a related cross product. (Contributed by NM, 16-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opabssxp	|- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	ssopab2i 4370	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
3		df-xp 4729	. 2 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
4	2, 3	sseqtrri 3260	1 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2200   C_ wss 3198   {copab 4147   X. cxp 4721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-in 3204  df-ss 3211  df-opab 4149  df-xp 4729

This theorem is referenced by:  brab2ga  4799  dmoprabss  6098  ecopovsym  6795  ecopovtrn  6796  ecopover  6797  ecopovsymg  6798  ecopovtrng  6799  ecopoverg  6800  opabfi  7123  netap  7463  2omotaplemap  7466  2omotaplemst  7467  enqex  7570  ltrelnq  7575  enq0ex  7649  ltrelpr  7715  enrex  7947  ltrelsr  7948  ltrelre  8043  ltrelxr  8230  dvdszrcl  12343  prdsex  13342  prdsval  13346  prdsbaslemss  13347  releqgg  13797  eqgex  13798  aprval  14286  aprap  14290  lmfval  14907  lgsquadlemofi  15795  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797