Theorem opabssxp 4806

Description: An abstraction relation is a subset of a related cross product. (Contributed by NM, 16-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opabssxp	|- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	ssopab2i 4378	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
3		df-xp 4737	. 2 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
4	2, 3	sseqtrri 3263	1 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2202   C_ wss 3201   {copab 4154   X. cxp 4729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-in 3207  df-ss 3214  df-opab 4156  df-xp 4737

This theorem is referenced by:  brab2ga  4807  dmoprabss  6113  ecopovsym  6843  ecopovtrn  6844  ecopover  6845  ecopovsymg  6846  ecopovtrng  6847  ecopoverg  6848  opabfi  7175  netap  7516  2omotaplemap  7519  2omotaplemst  7520  enqex  7623  ltrelnq  7628  enq0ex  7702  ltrelpr  7768  enrex  8000  ltrelsr  8001  ltrelre  8096  ltrelxr  8282  dvdszrcl  12416  prdsex  13415  prdsval  13419  prdsbaslemss  13420  releqgg  13870  eqgex  13871  aprval  14361  aprap  14365  lmfval  14987  pellexlem3  15776  lgsquadlemofi  15878  lgsquadlem1  15879  lgsquadlem2  15880