Theorem opabssxp 4800

Description: An abstraction relation is a subset of a related cross product. (Contributed by NM, 16-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opabssxp	|- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	ssopab2i 4372	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
3		df-xp 4731	. 2 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
4	2, 3	sseqtrri 3262	1 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2202   C_ wss 3200   {copab 4149   X. cxp 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-in 3206  df-ss 3213  df-opab 4151  df-xp 4731

This theorem is referenced by:  brab2ga  4801  dmoprabss  6102  ecopovsym  6799  ecopovtrn  6800  ecopover  6801  ecopovsymg  6802  ecopovtrng  6803  ecopoverg  6804  opabfi  7131  netap  7472  2omotaplemap  7475  2omotaplemst  7476  enqex  7579  ltrelnq  7584  enq0ex  7658  ltrelpr  7724  enrex  7956  ltrelsr  7957  ltrelre  8052  ltrelxr  8239  dvdszrcl  12352  prdsex  13351  prdsval  13355  prdsbaslemss  13356  releqgg  13806  eqgex  13807  aprval  14295  aprap  14299  lmfval  14916  lgsquadlemofi  15804  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806