Theorem opabssxp 4844

Description: An abstraction relation is a subset of a related cross product. (Contributed by NM, 16-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opabssxp	|- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	ssopab2i 4415	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
3		df-xp 4775	. 2 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
4	2, 3	sseqtrri 3283	1 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2209   C_ wss 3220   {copab 4186   X. cxp 4767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-in 3226  df-ss 3233  df-opab 4188  df-xp 4775

This theorem is referenced by:  brab2ga  4845  dmoprabss  6160  ecopovsym  6895  ecopovtrn  6896  ecopover  6897  ecopovsymg  6898  ecopovtrng  6899  ecopoverg  6900  opabfi  7237  netap  7610  2omotaplemap  7613  2omotaplemst  7614  enqex  7717  ltrelnq  7722  enq0ex  7796  ltrelpr  7862  enrex  8094  ltrelsr  8095  ltrelre  8190  ltrelxr  8376  dvdszrcl  12537  releqgg  14000  eqgex  14001  prdsex  14149  prdsval  14150  prdsbaslemss  14151  aprval  14564  aprap  14571  aprprop  14574  lmfval  15217  pellexlem3  16007  lgsquadlemofi  16109  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111