Theorem opabssxp 4851

Description: An abstraction relation is a subset of a related cross product. (Contributed by NM, 16-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opabssxp	|- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	ssopab2i 4422	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
3		df-xp 4782	. 2 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
4	2, 3	sseqtrri 3283	1 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   e. wcel 2209   C_ wss 3220   {copab 4192   X. cxp 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-in 3226  df-ss 3233  df-opab 4194  df-xp 4782

This theorem is used by:  brab2ga  4852  dmoprabss  6173  ecopovsym  6910  ecopovtrn  6911  ecopover  6912  ecopovsymg  6913  ecopovtrng  6914  ecopoverg  6915  opabfi  7253  netap  7626  2omotaplemap  7629  2omotaplemst  7630  enqex  7733  ltrelnq  7738  enq0ex  7812  ltrelpr  7878  enrex  8110  ltrelsr  8111  ltrelre  8206  ltrelxr  8392  dvdszrcl  12583  releqgg  14081  eqgex  14082  prdsex  14278  prdsval  14279  prdsbaslemss  14280  aprval  14699  aprap  14706  aprprop  14709  lmfval  15436  pellexlem3  16248  lgsquadlemofi  16417  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419