Theorem opabssxp 4749

Description: An abstraction relation is a subset of a related cross product. (Contributed by NM, 16-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opabssxp	|- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	ssopab2i 4324	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
3		df-xp 4681	. 2 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
4	2, 3	sseqtrri 3228	1 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2176   C_ wss 3166   {copab 4104   X. cxp 4673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-in 3172  df-ss 3179  df-opab 4106  df-xp 4681

This theorem is referenced by:  brab2ga  4750  dmoprabss  6027  ecopovsym  6718  ecopovtrn  6719  ecopover  6720  ecopovsymg  6721  ecopovtrng  6722  ecopoverg  6723  opabfi  7035  netap  7366  2omotaplemap  7369  2omotaplemst  7370  enqex  7473  ltrelnq  7478  enq0ex  7552  ltrelpr  7618  enrex  7850  ltrelsr  7851  ltrelre  7946  ltrelxr  8133  dvdszrcl  12103  prdsex  13101  prdsval  13105  prdsbaslemss  13106  releqgg  13556  eqgex  13557  aprval  14044  aprap  14048  lmfval  14664  lgsquadlemofi  15553  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem2  15555