Theorem opabssxp 4849

Description: An abstraction relation is a subset of a related cross product. (Contributed by NM, 16-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opabssxp	|- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	ssopab2i 4420	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
3		df-xp 4780	. 2 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
4	2, 3	sseqtrri 3283	1 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   e. wcel 2209   C_ wss 3220   {copab 4191   X. cxp 4772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-in 3226  df-ss 3233  df-opab 4193  df-xp 4780

This theorem is used by:  brab2ga  4850  dmoprabss  6170  ecopovsym  6905  ecopovtrn  6906  ecopover  6907  ecopovsymg  6908  ecopovtrng  6909  ecopoverg  6910  opabfi  7247  netap  7621  2omotaplemap  7624  2omotaplemst  7625  enqex  7728  ltrelnq  7733  enq0ex  7807  ltrelpr  7873  enrex  8105  ltrelsr  8106  ltrelre  8201  ltrelxr  8387  dvdszrcl  12577  releqgg  14074  eqgex  14075  prdsex  14223  prdsval  14224  prdsbaslemss  14225  aprval  14642  aprap  14649  aprprop  14652  lmfval  15346  pellexlem3  16153  lgsquadlemofi  16317  lgsquadlem1  16318  lgsquadlem2  16319