Theorem opabssxp 4851

Description: An abstraction relation is a subset of a related cross product. (Contributed by NM, 16-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opabssxp	|- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	ssopab2i 4422	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
3		df-xp 4782	. 2 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
4	2, 3	sseqtrri 3283	1 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   e. wcel 2209   C_ wss 3220   {copab 4192   X. cxp 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-in 3226  df-ss 3233  df-opab 4194  df-xp 4782

This theorem is used by:  brab2ga  4852  dmoprabss  6173  ecopovsym  6909  ecopovtrn  6910  ecopover  6911  ecopovsymg  6912  ecopovtrng  6913  ecopoverg  6914  opabfi  7251  netap  7626  2omotaplemap  7629  2omotaplemst  7630  enqex  7733  ltrelnq  7738  enq0ex  7812  ltrelpr  7878  enrex  8110  ltrelsr  8111  ltrelre  8206  ltrelxr  8392  dvdszrcl  12584  releqgg  14082  eqgex  14083  prdsex  14279  prdsval  14280  prdsbaslemss  14281  aprval  14700  aprap  14707  aprprop  14710  lmfval  15419  pellexlem3  16231  lgsquadlemofi  16400  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402