Theorem opabssxp 4762

Description: An abstraction relation is a subset of a related cross product. (Contributed by NM, 16-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opabssxp	|- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	ssopab2i 4337	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
3		df-xp 4694	. 2 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
4	2, 3	sseqtrri 3232	1 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2177   C_ wss 3170   {copab 4115   X. cxp 4686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-in 3176  df-ss 3183  df-opab 4117  df-xp 4694

This theorem is referenced by:  brab2ga  4763  dmoprabss  6045  ecopovsym  6736  ecopovtrn  6737  ecopover  6738  ecopovsymg  6739  ecopovtrng  6740  ecopoverg  6741  opabfi  7056  netap  7396  2omotaplemap  7399  2omotaplemst  7400  enqex  7503  ltrelnq  7508  enq0ex  7582  ltrelpr  7648  enrex  7880  ltrelsr  7881  ltrelre  7976  ltrelxr  8163  dvdszrcl  12188  prdsex  13186  prdsval  13190  prdsbaslemss  13191  releqgg  13641  eqgex  13642  aprval  14129  aprap  14133  lmfval  14749  lgsquadlemofi  15638  lgsquadlem1  15639  lgsquadlem2  15640