Theorem opabssxp 4824

Description: An abstraction relation is a subset of a related cross product. (Contributed by NM, 16-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opabssxp	|- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem opabssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
2	1	ssopab2i 4396	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
3		df-xp 4755	. 2 |- ( A X. B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. B ) }
4	2, 3	sseqtrri 3273	1 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   e. wcel 2203   C_ wss 3211   {copab 4170   X. cxp 4747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-in 3217  df-ss 3224  df-opab 4172  df-xp 4755

This theorem is referenced by:  brab2ga  4825  dmoprabss  6135  ecopovsym  6865  ecopovtrn  6866  ecopover  6867  ecopovsymg  6868  ecopovtrng  6869  ecopoverg  6870  opabfi  7200  netap  7568  2omotaplemap  7571  2omotaplemst  7572  enqex  7675  ltrelnq  7680  enq0ex  7754  ltrelpr  7820  enrex  8052  ltrelsr  8053  ltrelre  8148  ltrelxr  8334  dvdszrcl  12478  prdsex  13482  prdsval  13486  prdsbaslemss  13487  releqgg  13937  eqgex  13938  aprval  14428  aprap  14432  lmfval  15058  pellexlem3  15847  lgsquadlemofi  15949  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951