Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulf Unicode version

Theorem axmulf 7772
 Description: Multiplication is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axmulcl 7769. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulf 7838. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulf

Proof of Theorem axmulf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 moeq 2887 . . . . . . . . 9
21mosubop 4649 . . . . . . . 8
32mosubop 4649 . . . . . . 7
4 anass 399 . . . . . . . . . . 11
542exbii 1586 . . . . . . . . . 10
6 19.42vv 1891 . . . . . . . . . 10
75, 6bitri 183 . . . . . . . . 9
872exbii 1586 . . . . . . . 8
98mobii 2043 . . . . . . 7
103, 9mpbir 145 . . . . . 6
1110moani 2076 . . . . 5
1211funoprab 5915 . . . 4
13 df-mul 7727 . . . . 5
1413funeqi 5188 . . . 4
1512, 14mpbir 145 . . 3
1613dmeqi 4784 . . . . 5
17 dmoprabss 5897 . . . . 5
1816, 17eqsstri 3160 . . . 4
19 cnm 7735 . . . . . . 7
2019adantl 275 . . . . . 6
21 axmulcl 7769 . . . . . . 7
2221adantl 275 . . . . . 6
23 funrel 5184 . . . . . . 7
2415, 23mp1i 10 . . . . . 6
2520, 22, 24oprssdmm 6113 . . . . 5
2625mptru 1344 . . . 4
2718, 26eqssi 3144 . . 3
28 df-fn 5170 . . 3
2915, 27, 28mpbir2an 927 . 2
3021rgen2a 2511 . 2
31 ffnov 5919 . 2
3229, 30, 31mpbir2an 927 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 103   wceq 1335   wtru 1336  wex 1472  wmo 2007   wcel 2128  wral 2435   wss 3102  cop 3563   cxp 4581   cdm 4583   wrel 4588   wfun 5161   wfn 5162  wf 5163  (class class class)co 5818  coprab 5819  cm1r 7203   cplr 7204   cmr 7205  cc 7713   cmul 7720 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4248  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-1o 6357  df-2o 6358  df-oadd 6361  df-omul 6362  df-er 6473  df-ec 6475  df-qs 6479  df-ni 7207  df-pli 7208  df-mi 7209  df-lti 7210  df-plpq 7247  df-mpq 7248  df-enq 7250  df-nqqs 7251  df-plqqs 7252  df-mqqs 7253  df-1nqqs 7254  df-rq 7255  df-ltnqqs 7256  df-enq0 7327  df-nq0 7328  df-0nq0 7329  df-plq0 7330  df-mq0 7331  df-inp 7369  df-i1p 7370  df-iplp 7371  df-imp 7372  df-enr 7629  df-nr 7630  df-plr 7631  df-mr 7632  df-m1r 7636  df-c 7721  df-mul 7727 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator