Theorem oprabex 6129

Description: Existence of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabex.1	|- A e. _V
oprabex.2	|- B e. _V
oprabex.3	|- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph )
oprabex.4	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
oprabex	|- F e. _V

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabex.4	. 2 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
2		oprabex.3	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph )
3		moanimv 2101	. . . . 5 |- ( E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph ) )
4	2, 3	mpbir 146	. . . 4 |- E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph )
5	4	funoprab 5975	. . 3 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
6		oprabex.1	. . . . 5 |- A e. _V
7		oprabex.2	. . . . 5 |- B e. _V
8	6, 7	xpex 4742	. . . 4 |- ( A X. B ) e. _V
9		dmoprabss 5957	. . . 4 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )
10	8, 9	ssexi 4142	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V
11		funex 5740	. . 3 |- ( ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } /\ dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 426	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V
13	1, 12	eqeltri 2250	1 |- F e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   E*wmo 2027   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   X. cxp 4625   dom cdm 4627   Fun wfun 5211   {coprab 5876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-oprab 5879

This theorem is referenced by:  oprabex3  6130