Theorem oprabex 6096

Description: Existence of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabex.1	|- A e. _V
oprabex.2	|- B e. _V
oprabex.3	|- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph )
oprabex.4	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
oprabex	|- F e. _V

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabex.4	. 2 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
2		oprabex.3	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph )
3		moanimv 2089	. . . . 5 |- ( E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph ) )
4	2, 3	mpbir 145	. . . 4 |- E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph )
5	4	funoprab 5942	. . 3 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
6		oprabex.1	. . . . 5 |- A e. _V
7		oprabex.2	. . . . 5 |- B e. _V
8	6, 7	xpex 4719	. . . 4 |- ( A X. B ) e. _V
9		dmoprabss 5924	. . . 4 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )
10	8, 9	ssexi 4120	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V
11		funex 5708	. . 3 |- ( ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } /\ dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 423	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V
13	1, 12	eqeltri 2239	1 |- F e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   E*wmo 2015   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   X. cxp 4602   dom cdm 4604   Fun wfun 5182   {coprab 5843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-oprab 5846

This theorem is referenced by:  oprabex3  6097