Theorem oprabex 6361

Description: Existence of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabex.1	|- A e. _V
oprabex.2	|- B e. _V
oprabex.3	|- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph )
oprabex.4	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
oprabex	|- F e. _V

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabex.4	. 2 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
2		oprabex.3	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph )
3		moanimv 2162	. . . . 5 |- ( E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph ) )
4	2, 3	mpbir 146	. . . 4 |- E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph )
5	4	funoprab 6188	. . 3 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
6		oprabex.1	. . . . 5 |- A e. _V
7		oprabex.2	. . . . 5 |- B e. _V
8	6, 7	xpex 4891	. . . 4 |- ( A X. B ) e. _V
9		dmoprabss 6170	. . . 4 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )
10	8, 9	ssexi 4271	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V
11		funex 5940	. . 3 |- ( ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } /\ dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 430	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V
13	1, 12	eqeltri 2311	1 |- F e. _V

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   E*wmo 2087   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   X. cxp 4772   dom cdm 4774   Fun wfun 5371   {coprab 6086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-oprab 6089

This theorem is used by:  oprabex3  6362