Theorem oprabex 6019

Description: Existence of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabex.1	|- A e. _V
oprabex.2	|- B e. _V
oprabex.3	|- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph )
oprabex.4	|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }

Assertion

Ref	Expression
oprabex	|- F e. _V

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabex.4	. 2 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
2		oprabex.3	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph )
3		moanimv 2072	. . . . 5 |- ( E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ph ) )
4	2, 3	mpbir 145	. . . 4 |- E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph )
5	4	funoprab 5864	. . 3 |- Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
6		oprabex.1	. . . . 5 |- A e. _V
7		oprabex.2	. . . . 5 |- B e. _V
8	6, 7	xpex 4649	. . . 4 |- ( A X. B ) e. _V
9		dmoprabss 5846	. . . 4 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )
10	8, 9	ssexi 4061	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V
11		funex 5636	. . 3 |- ( ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } /\ dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 422	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } e. _V
13	1, 12	eqeltri 2210	1 |- F e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   E*wmo 1998   _Vcvv 2681   X. cxp 4532   dom cdm 4534   Fun wfun 5112   {coprab 5768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-oprab 5771

This theorem is referenced by:  oprabex3  6020