Theorem dmoprab 6000

Description: The domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 17-Mar-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dmoprab	|- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. x , y >. | E. z ph }

Distinct variable groups:   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem dmoprab

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfoprab2 5966	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
2	1	dmeqi 4864	. 2 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } = dom { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
3		dmopab 4874	. 2 |- dom { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { w | E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
4		exrot3 1701	. . . . 5 |- ( E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
5		19.42v 1918	. . . . . 6 |- ( E. z ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) )
6	5	2exbii 1617	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) )
7	4, 6	bitri 184	. . . 4 |- ( E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) )
8	7	abbii 2309	. . 3 |- { w | E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) }
9		df-opab 4092	. . 3 |- { <. x , y >. | E. z ph } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) }
10	8, 9	eqtr4i 2217	. 2 |- { w | E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { <. x , y >. | E. z ph }
11	2, 3, 10	3eqtri 2218	1 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. x , y >. | E. z ph }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1503   {cab 2179   <.cop 3622   {copab 4090   dom cdm 4660   {coprab 5920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-dm 4670  df-oprab 5923

This theorem is referenced by:  dmoprabss  6001  reldmoprab  6004  fnoprabg  6020  dmaddpq  7441  dmmulpq  7442