ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmoprab Unicode version

Theorem dmoprab 5978
Description: The domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 17-Mar-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)
Assertion
Ref Expression
dmoprab  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z ph }
Distinct variable groups:    x, z    y,
z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem dmoprab
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfoprab2 5944 . . 3  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  =  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) }
21dmeqi 4846 . 2  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  dom  {
<. w ,  z >.  |  E. x E. y
( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) }
3 dmopab 4856 . 2  |-  dom  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y
( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) }  =  {
w  |  E. z E. x E. y ( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) }
4 exrot3 1701 . . . . 5  |-  ( E. z E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y E. z ( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
5 19.42v 1918 . . . . . 6  |-  ( E. z ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  E. z ph ) )
652exbii 1617 . . . . 5  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  E. z ph )
)
74, 6bitri 184 . . . 4  |-  ( E. z E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  E. z ph )
)
87abbii 2305 . . 3  |-  { w  |  E. z E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) }  =  { w  |  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  E. z ph ) }
9 df-opab 4080 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z ph }  =  {
w  |  E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  E. z ph ) }
108, 9eqtr4i 2213 . 2  |-  { w  |  E. z E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z ph }
112, 3, 103eqtri 2214 1  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z ph }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    = wceq 1364   E.wex 1503   {cab 2175   <.cop 3610   {copab 4078   dom cdm 4644   {coprab 5898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-dm 4654  df-oprab 5901
This theorem is referenced by:  dmoprabss  5979  reldmoprab  5982  fnoprabg  5998  dmaddpq  7409  dmmulpq  7410
  Copyright terms: Public domain W3C validator