Theorem dmoprab 6101

Description: The domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 17-Mar-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dmoprab	|- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. x , y >. | E. z ph }

Distinct variable groups:   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem dmoprab

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfoprab2 6067	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
2	1	dmeqi 4932	. 2 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } = dom { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
3		dmopab 4942	. 2 |- dom { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { w | E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
4		exrot3 1738	. . . . 5 |- ( E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
5		19.42v 1955	. . . . . 6 |- ( E. z ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) )
6	5	2exbii 1654	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) )
7	4, 6	bitri 184	. . . 4 |- ( E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) )
8	7	abbii 2347	. . 3 |- { w | E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) }
9		df-opab 4151	. . 3 |- { <. x , y >. | E. z ph } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) }
10	8, 9	eqtr4i 2255	. 2 |- { w | E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { <. x , y >. | E. z ph }
11	2, 3, 10	3eqtri 2256	1 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. x , y >. | E. z ph }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1397   E.wex 1540   {cab 2217   <.cop 3672   {copab 4149   dom cdm 4725   {coprab 6018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-dm 4735  df-oprab 6021

This theorem is referenced by:  dmoprabss  6102  reldmoprab  6105  fnoprabg  6121  dmaddpq  7598  dmmulpq  7599