Theorem dmoprab 5923

Description: The domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 17-Mar-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dmoprab	|- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. x , y >. | E. z ph }

Distinct variable groups:   x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem dmoprab

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfoprab2 5889	. . 3 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
2	1	dmeqi 4805	. 2 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } = dom { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
3		dmopab 4815	. 2 |- dom { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { w | E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
4		exrot3 1678	. . . . 5 |- ( E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y E. z ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
5		19.42v 1894	. . . . . 6 |- ( E. z ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) )
6	5	2exbii 1594	. . . . 5 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) )
7	4, 6	bitri 183	. . . 4 |- ( E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) )
8	7	abbii 2282	. . 3 |- { w | E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) }
9		df-opab 4044	. . 3 |- { <. x , y >. | E. z ph } = { w | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ E. z ph ) }
10	8, 9	eqtr4i 2189	. 2 |- { w | E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } = { <. x , y >. | E. z ph }
11	2, 3, 10	3eqtri 2190	1 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. x , y >. | E. z ph }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   {cab 2151   <.cop 3579   {copab 4042   dom cdm 4604   {coprab 5843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-dm 4614  df-oprab 5846

This theorem is referenced by:  dmoprabss  5924  reldmoprab  5927  fnoprabg  5943  dmaddpq  7320  dmmulpq  7321