Theorem dmoprabss 6004

Description: The domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmoprabss	⊢ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem dmoprabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmoprab 6003	. 2 ⊢ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑)}
2		19.42v 1921	. . . 4 ⊢ (∃𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑧𝜑))
3	2	opabbii 4100	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑧𝜑)}
4		opabssxp 4737	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑧𝜑)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)
5	3, 4	eqsstri 3215	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)
6	1, 5	eqsstri 3215	1 ⊢ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑)} ⊆ (𝐴 × 𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 104  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  {copab 4093   × cxp 4661  dom cdm 4663  {coprab 5923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-dm 4673  df-oprab 5926

This theorem is referenced by:  elmpocl  6118  oprabexd  6184  oprabex  6185  axaddf  7935  axmulf  7936