Theorem oprabexd 6350

Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabexd.1	|- ( ph -> A e. _V )
oprabexd.2	|- ( ph -> B e. _V )
oprabexd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> E* z ps )
oprabexd.4	|- ( ph -> F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )

Assertion

Ref	Expression
oprabexd	|- ( ph -> F e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   ps( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabexd.4	. 2 |- ( ph -> F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )
2		oprabexd.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> E* z ps )
3	2	ex 115	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ps ) )
4		moanimv 2162	. . . . . 6 |- ( E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ps ) )
5	3, 4	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ph -> E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) )
6	5	alrimivv 1928	. . . 4 |- ( ph -> A. x A. y E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) )
7		funoprabg 6177	. . . 4 |- ( A. x A. y E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )
9		dmoprabss 6160	. . . 4 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } C_ ( A X. B )
10		oprabexd.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
11		oprabexd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
12		xpexg 4884	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
13	10, 11, 12	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( A X. B ) e. _V )
14		ssexg 4267	. . . 4 |- ( ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } C_ ( A X. B ) /\ ( A X. B ) e. _V ) -> dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
15	9, 13, 14	sylancr 418	. . 3 |- ( ph -> dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
16		funex 5931	. . 3 |- ( ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } /\ dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
17	8, 15, 16	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
18	1, 17	eqeltrd 2315	1 |- ( ph -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1400   = wceq 1402   E*wmo 2087   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   X. cxp 4767   dom cdm 4769   Fun wfun 5366   {coprab 6076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-oprab 6079

This theorem is referenced by: (None)