Theorem oprabexd 6072

Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabexd.1	|- ( ph -> A e. _V )
oprabexd.2	|- ( ph -> B e. _V )
oprabexd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> E* z ps )
oprabexd.4	|- ( ph -> F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )

Assertion

Ref	Expression
oprabexd	|- ( ph -> F e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   ps( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabexd.4	. 2 |- ( ph -> F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )
2		oprabexd.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> E* z ps )
3	2	ex 114	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ps ) )
4		moanimv 2081	. . . . . 6 |- ( E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ps ) )
5	3, 4	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ph -> E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) )
6	5	alrimivv 1855	. . . 4 |- ( ph -> A. x A. y E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) )
7		funoprabg 5917	. . . 4 |- ( A. x A. y E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )
8	6, 7	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )
9		dmoprabss 5900	. . . 4 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } C_ ( A X. B )
10		oprabexd.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
11		oprabexd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
12		xpexg 4699	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
13	10, 11, 12	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( A X. B ) e. _V )
14		ssexg 4103	. . . 4 |- ( ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } C_ ( A X. B ) /\ ( A X. B ) e. _V ) -> dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
15	9, 13, 14	sylancr 411	. . 3 |- ( ph -> dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
16		funex 5689	. . 3 |- ( ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } /\ dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
17	8, 15, 16	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
18	1, 17	eqeltrd 2234	1 |- ( ph -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1333   = wceq 1335   E*wmo 2007   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   C_ wss 3102   X. cxp 4583   dom cdm 4585   Fun wfun 5163   {coprab 5822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-oprab 5825

This theorem is referenced by: (None)