ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oprabexd Unicode version

Theorem oprabexd 5898
Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabexd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
oprabexd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
oprabexd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  ->  E* z ps )
oprabexd.4  |-  ( ph  ->  F  =  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ps ) } )
Assertion
Ref Expression
oprabexd  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ps( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabexd
StepHypRef Expression
1 oprabexd.4 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ps ) } )
2 oprabexd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  ->  E* z ps )
32ex 113 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ps ) )
4 moanimv 2023 . . . . . 6  |-  ( E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) 
<->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ps ) )
53, 4sylibr 132 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) )
65alrimivv 1803 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x A. y E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) )
7 funoprabg 5744 . . . 4  |-  ( A. x A. y E* z
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps )  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) } )
86, 7syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) } )
9 dmoprabss 5730 . . . 4  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  C_  ( A  X.  B )
10 oprabexd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
11 oprabexd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
12 xpexg 4552 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
1310, 11, 12syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
14 ssexg 3978 . . . 4  |-  ( ( dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  C_  ( A  X.  B
)  /\  ( A  X.  B )  e.  _V )  ->  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
159, 13, 14sylancr 405 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
16 funex 5520 . . 3  |-  ( ( Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  /\  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )  ->  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
178, 15, 16syl2anc 403 . 2  |-  ( ph  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
181, 17eqeltrd 2164 1  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   E*wmo 1949   _Vcvv 2619    C_ wss 2999    X. cxp 4436   dom cdm 4438   Fun wfun 5009   {coprab 5653
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-oprab 5656
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator