Theorem elfzelzd 10118

Description: A member of a finite set of sequential integers is an integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elfzelzd.1	|- ( ph -> K e. ( M ... N ) )

Assertion

Ref	Expression
elfzelzd	|- ( ph -> K e. ZZ )

Proof of Theorem elfzelzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelzd.1	. 2 |- ( ph -> K e. ( M ... N ) )
2		elfzelz 10117	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> K e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   ZZcz 9343   ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-neg 8217  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101

This theorem is referenced by:  seqf1oglem1  10628  seqf1oglem2  10629  seqfeq4g  10640  4sqlem12  12596  gausslemma2dlem1cl  15384  gausslemma2dlem1f1o  15385  gausslemma2dlem2  15387  gausslemma2dlem4  15389  lgsquadlemofi  15401  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403