Theorem elfzle1 10119

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	|- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10113	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzle 9630	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   <_ cle 8079   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-neg 8217  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10127  fzdisj  10144  elfznn  10146  fznatpl1  10168  fznn0sub2  10220  fz0fzdiffz0  10222  difelfznle  10227  iseqf1olemqcl  10608  iseqf1olemnab  10610  iseqf1olemab  10611  seq3f1olemqsumkj  10620  seq3f1olemqsumk  10621  seq3f1olemqsum  10622  seqf1oglem1  10628  seqf1oglem2  10629  seqfeq4g  10640  bcval4  10861  seq3coll  10951  fsum0diaglem  11622  cvgratnnlemabsle  11709  cvgratnnlemrate  11712  mertenslemi1  11717  fprodntrivap  11766  prmdc  12323  hashdvds  12414  prmdiveq  12429  4sqlem11  12595  4sqlem12  12596  gsumfzfsumlemm  14219  lgsdilem2  15361  lgsquadlem1  15402  inffz  15803