Theorem elfzle1 10184

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	|- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10178	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzle 9695	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   <_ cle 8143   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-neg 8281  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10192  fzdisj  10209  elfznn  10211  fznatpl1  10233  fznn0sub2  10285  fz0fzdiffz0  10287  difelfznle  10292  iseqf1olemqcl  10681  iseqf1olemnab  10683  iseqf1olemab  10684  seq3f1olemqsumkj  10693  seq3f1olemqsumk  10694  seq3f1olemqsum  10695  seqf1oglem1  10701  seqf1oglem2  10702  seqfeq4g  10713  bcval4  10934  seq3coll  11024  pfxccatin12  11224  fsum0diaglem  11866  cvgratnnlemabsle  11953  cvgratnnlemrate  11956  mertenslemi1  11961  fprodntrivap  12010  prmdc  12567  hashdvds  12658  prmdiveq  12673  4sqlem11  12839  4sqlem12  12840  gsumfzfsumlemm  14464  lgsdilem2  15628  lgsquadlem1  15669  inffz  16213