Theorem elfzle1 10361

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	|- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10355	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzle 9866	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   <_ cle 8309   ZZ>=cuz 9853   ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-neg 8447  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10369  fzdisj  10386  elfznn  10388  fznatpl1  10410  fznn0sub2  10462  fz0fzdiffz0  10464  difelfznle  10469  iseqf1olemqcl  10861  iseqf1olemnab  10863  iseqf1olemab  10864  seq3f1olemqsumkj  10873  seq3f1olemqsumk  10874  seq3f1olemqsum  10875  seqf1oglem1  10881  seqf1oglem2  10882  seqfeq4g  10893  bcval4  11114  seq3coll  11214  pfxccatin12  11425  fsum0diaglem  12126  cvgratnnlemabsle  12213  cvgratnnlemrate  12216  mertenslemi1  12221  fprodntrivap  12270  prmdc  12827  hashdvds  12918  prmdiveq  12933  4sqlem11  13099  4sqlem12  13100  ballotfilem2  13142  gsumfzfsumlemm  14735  lgsdilem2  15909  lgsquadlem1  15950  inffz  16858  gsumgfsumlem  16865