Theorem elfzle1 10364

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	|- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10358	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzle 9869	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   <_ cle 8311   ZZ>=cuz 9856   ...cfz 10345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-neg 8449  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10372  fzdisj  10389  elfznn  10391  fznatpl1  10414  fznn0sub2  10466  fz0fzdiffz0  10468  difelfznle  10473  iseqf1olemqcl  10865  iseqf1olemnab  10867  iseqf1olemab  10868  seq3f1olemqsumkj  10877  seq3f1olemqsumk  10878  seq3f1olemqsum  10879  seqf1oglem1  10885  seqf1oglem2  10886  seqfeq4g  10897  bcval4  11118  seq3coll  11218  pfxccatin12  11429  fsum0diaglem  12130  cvgratnnlemabsle  12217  cvgratnnlemrate  12220  mertenslemi1  12225  fprodntrivap  12274  prmdc  12831  hashdvds  12922  prmdiveq  12937  4sqlem11  13103  4sqlem12  13104  ballotfilem2  13149  gsumfzfsumlemm  14752  lgsdilem2  15926  lgsquadlem1  15967  inffz  16875  gsumgfsumlem  16882