Theorem elfzle1 10448

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	|- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10441	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzle 9950	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   <_ cle 8367   ZZ>=cuz 9937   ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-neg 8507  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429

This theorem is used by:  elfz1eq  10456  fzdisj  10474  elfznn  10477  fznatpl1  10500  fznn0sub2  10552  fz0fzdiffz0  10554  difelfznle  10559  iseqf1olemqcl  10957  iseqf1olemnab  10959  iseqf1olemab  10960  seq3f1olemqsumkj  10969  seq3f1olemqsumk  10970  seq3f1olemqsum  10971  seqf1oglem1  10977  seqf1oglem2  10978  seqfeq4g  10989  bcval4  11212  seq3coll  11316  pfxccatin12  11527  fsum0diaglem  12232  cvgratnnlemabsle  12319  cvgratnnlemrate  12322  mertenslemi1  12327  fprodntrivap  12376  prmdc  12933  hashdvds  13028  prmdiveq  13043  4sqlem11  13209  4sqlem12  13210  ballotfilem2  13286  ballotfilemsdom  13313  ballotfilemsima  13317  ballotfilemfrcn0  13331  ballotfilem1ri  13336  gzsumshift  14239  birthdaylem3  16227  ppiqfi  16242  ppiqub  16293  lgsdilem2  16360  lgsquadlem1  16401  inffz  17329