Theorem elfzle1 10151

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	|- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10145	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzle 9662	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   <_ cle 8110   ZZ>=cuz 9650   ...cfz 10132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-neg 8248  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133

This theorem is referenced by:  elfz1eq  10159  fzdisj  10176  elfznn  10178  fznatpl1  10200  fznn0sub2  10252  fz0fzdiffz0  10254  difelfznle  10259  iseqf1olemqcl  10646  iseqf1olemnab  10648  iseqf1olemab  10649  seq3f1olemqsumkj  10658  seq3f1olemqsumk  10659  seq3f1olemqsum  10660  seqf1oglem1  10666  seqf1oglem2  10667  seqfeq4g  10678  bcval4  10899  seq3coll  10989  fsum0diaglem  11784  cvgratnnlemabsle  11871  cvgratnnlemrate  11874  mertenslemi1  11879  fprodntrivap  11928  prmdc  12485  hashdvds  12576  prmdiveq  12591  4sqlem11  12757  4sqlem12  12758  gsumfzfsumlemm  14382  lgsdilem2  15546  lgsquadlem1  15587  inffz  16048