Theorem elfzle1 9911

Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle1	|- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )

Proof of Theorem elfzle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 9906	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzle 9434	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ K )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> M <_ K )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   <_ cle 7896   ZZ>=cuz 9422   ...cfz 9894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-neg 8032  df-z 9151  df-uz 9423  df-fz 9895

This theorem is referenced by:  elfz1eq  9919  fzdisj  9936  elfznn  9938  fznatpl1  9960  fznn0sub2  10009  fz0fzdiffz0  10011  difelfznle  10016  iseqf1olemqcl  10367  iseqf1olemnab  10369  iseqf1olemab  10370  seq3f1olemqsumkj  10379  seq3f1olemqsumk  10380  seq3f1olemqsum  10381  bcval4  10608  seq3coll  10695  fsum0diaglem  11319  cvgratnnlemabsle  11406  cvgratnnlemrate  11409  mertenslemi1  11414  fprodntrivap  11463  hashdvds  12073  prmdiveq  12088  inffz  13602