Theorem elfzelz 10149

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10145	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 9659	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650   ...cfz 10132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-neg 8248  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10150  elfz1eq  10159  fzsplit2  10174  fzdisj  10176  elfznn  10178  fznatpl1  10200  fzdifsuc  10205  fzrev2i  10210  fzrev3i  10212  elfzp12  10223  fznuz  10226  fzrevral  10229  fzshftral  10232  fznn0sub2  10252  elfzmlbm  10255  difelfznle  10259  fzosplit  10303  zsupssdc  10383  ser3mono  10634  iseqf1olemkle  10644  iseqf1olemklt  10645  iseqf1olemqcl  10646  iseqf1olemnab  10648  iseqf1olemab  10649  iseqf1olemmo  10652  iseqf1olemqk  10654  seq3f1olemqsumkj  10658  seq3f1olemqsumk  10659  seq3f1olemqsum  10660  seq3f1olemstep  10661  seqf1oglem1  10666  seqf1oglem2  10667  seqfeq4g  10678  bcval2  10897  bcval4  10899  bccmpl  10901  bcp1nk  10909  bcpasc  10913  bccl2  10915  zfz1isolemiso  10986  seq3coll  10989  swrdval2  11107  swrdlen  11108  swrdfv  11109  swrdf  11111  swrdwrdsymbg  11120  ccatswrd  11126  pfxlen  11139  ccatpfx  11155  seq3shft  11182  sumrbdclem  11721  summodclem2a  11725  fsum0diaglem  11784  fisum0diag  11785  mptfzshft  11786  fsumrev  11787  fsumshft  11788  fsumshftm  11789  fisum0diag2  11791  binomlem  11827  binom11  11830  bcxmas  11833  arisum  11842  geo2sum  11858  cvgratnnlemabsle  11871  cvgratnnlemrate  11874  mertenslemub  11878  mertenslemi1  11879  prodfap0  11889  prodrbdclem  11915  prodmodclem2a  11920  fprodntrivap  11928  fprodm1  11942  fprod1p  11943  fprodfac  11959  fprodeq0  11961  fprodshft  11962  fprodrev  11963  fprod0diagfz  11972  fzm1ndvds  12200  lcmval  12418  lcmcllem  12422  lcmledvds  12425  prmdc  12485  prmdvdsfz  12494  isprm5lem  12496  phivalfi  12567  hashdvds  12576  phiprmpw  12577  eulerthlemrprm  12584  eulerthlema  12585  prmdiveq  12591  prmdivdiv  12592  modprminv  12605  modprminveq  12606  modprm0  12610  pcfac  12706  4sqlemafi  12751  4sqlemffi  12752  4sqleminfi  12753  4sqexercise1  12754  4sqexercise2  12755  4sqlemsdc  12756  4sqlem11  12757  4sqlem12  12758  gsumfzfsumlemm  14382  ply1termlem  15247  ply1term  15248  plyaddlem1  15252  plymullem1  15253  plymullem  15255  plycoeid3  15262  dvply1  15270  wilthlem1  15485  dvdsppwf1o  15494  mersenne  15502  lgsval2lem  15520  lgsdilem2  15546  gausslemma2dlem1a  15568  gausslemma2dlem1  15571  gausslemma2dlem3  15573  gausslemma2dlem5a  15575  gausslemma2dlem5  15576  gausslemma2dlem6  15577  lgseisenlem1  15580  lgseisenlem2  15581  lgseisenlem3  15582  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem2  15588  lgsquadlem3  15589  2lgslem1a1  15596  2lgslem1a  15598  2lgslem1b  15599  trilpolemlt1  16017  supfz  16047  inffz  16048