Theorem elfzelz 10233

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10229	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 9743	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   ...cfz 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-neg 8331  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10234  elfz1eq  10243  fzsplit2  10258  fzdisj  10260  elfznn  10262  fznatpl1  10284  fzdifsuc  10289  fzrev2i  10294  fzrev3i  10296  elfzp12  10307  fznuz  10310  fzrevral  10313  fzshftral  10316  fznn0sub2  10336  elfzmlbm  10339  difelfznle  10343  fzosplit  10387  zsupssdc  10470  ser3mono  10721  iseqf1olemkle  10731  iseqf1olemklt  10732  iseqf1olemqcl  10733  iseqf1olemnab  10735  iseqf1olemab  10736  iseqf1olemmo  10739  iseqf1olemqk  10741  seq3f1olemqsumkj  10745  seq3f1olemqsumk  10746  seq3f1olemqsum  10747  seq3f1olemstep  10748  seqf1oglem1  10753  seqf1oglem2  10754  seqfeq4g  10765  bcval2  10984  bcval4  10986  bccmpl  10988  bcp1nk  10996  bcpasc  11000  bccl2  11002  zfz1isolemiso  11074  seq3coll  11077  swrdval2  11199  swrdlen  11200  swrdfv  11201  swrdf  11203  swrdwrdsymbg  11212  ccatswrd  11218  pfxlen  11233  ccatpfx  11249  swrdswrd  11253  pfxswrd  11254  swrdpfx  11255  lenrevpfxcctswrd  11260  pfxccatin12lem2a  11275  pfxccatin12lem1  11276  swrdccatin2  11277  pfxccatin12lem2  11279  pfxccatin12  11281  pfxccat3  11282  swrdccat3blem  11287  seq3shft  11365  sumrbdclem  11904  summodclem2a  11908  fsum0diaglem  11967  fisum0diag  11968  mptfzshft  11969  fsumrev  11970  fsumshft  11971  fsumshftm  11972  fisum0diag2  11974  binomlem  12010  binom11  12013  bcxmas  12016  arisum  12025  geo2sum  12041  cvgratnnlemabsle  12054  cvgratnnlemrate  12057  mertenslemub  12061  mertenslemi1  12062  prodfap0  12072  prodrbdclem  12098  prodmodclem2a  12103  fprodntrivap  12111  fprodm1  12125  fprod1p  12126  fprodfac  12142  fprodeq0  12144  fprodshft  12145  fprodrev  12146  fprod0diagfz  12155  fzm1ndvds  12383  lcmval  12601  lcmcllem  12605  lcmledvds  12608  prmdc  12668  prmdvdsfz  12677  isprm5lem  12679  phivalfi  12750  hashdvds  12759  phiprmpw  12760  eulerthlemrprm  12767  eulerthlema  12768  prmdiveq  12774  prmdivdiv  12775  modprminv  12788  modprminveq  12789  modprm0  12793  pcfac  12889  4sqlemafi  12934  4sqlemffi  12935  4sqleminfi  12936  4sqexercise1  12937  4sqexercise2  12938  4sqlemsdc  12939  4sqlem11  12940  4sqlem12  12941  gsumfzfsumlemm  14567  ply1termlem  15432  ply1term  15433  plyaddlem1  15437  plymullem1  15438  plymullem  15440  plycoeid3  15447  dvply1  15455  wilthlem1  15670  dvdsppwf1o  15679  mersenne  15687  lgsval2lem  15705  lgsdilem2  15731  gausslemma2dlem1a  15753  gausslemma2dlem1  15756  gausslemma2dlem3  15758  gausslemma2dlem5a  15760  gausslemma2dlem5  15761  gausslemma2dlem6  15762  lgseisenlem1  15765  lgseisenlem2  15766  lgseisenlem3  15767  lgsquadlem1  15772  lgsquadlem2  15773  lgsquadlem3  15774  2lgslem1a1  15781  2lgslem1a  15783  2lgslem1b  15784  trilpolemlt1  16497  supfz  16527  inffz  16528