Theorem elfzelz 10147

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10143	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 9657	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-neg 8246  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10148  elfz1eq  10157  fzsplit2  10172  fzdisj  10174  elfznn  10176  fznatpl1  10198  fzdifsuc  10203  fzrev2i  10208  fzrev3i  10210  elfzp12  10221  fznuz  10224  fzrevral  10227  fzshftral  10230  fznn0sub2  10250  elfzmlbm  10253  difelfznle  10257  fzosplit  10301  zsupssdc  10381  ser3mono  10632  iseqf1olemkle  10642  iseqf1olemklt  10643  iseqf1olemqcl  10644  iseqf1olemnab  10646  iseqf1olemab  10647  iseqf1olemmo  10650  iseqf1olemqk  10652  seq3f1olemqsumkj  10656  seq3f1olemqsumk  10657  seq3f1olemqsum  10658  seq3f1olemstep  10659  seqf1oglem1  10664  seqf1oglem2  10665  seqfeq4g  10676  bcval2  10895  bcval4  10897  bccmpl  10899  bcp1nk  10907  bcpasc  10911  bccl2  10913  zfz1isolemiso  10984  seq3coll  10987  swrdval2  11104  swrdlen  11105  swrdfv  11106  swrdf  11108  swrdwrdsymbg  11117  ccatswrd  11123  seq3shft  11149  sumrbdclem  11688  summodclem2a  11692  fsum0diaglem  11751  fisum0diag  11752  mptfzshft  11753  fsumrev  11754  fsumshft  11755  fsumshftm  11756  fisum0diag2  11758  binomlem  11794  binom11  11797  bcxmas  11800  arisum  11809  geo2sum  11825  cvgratnnlemabsle  11838  cvgratnnlemrate  11841  mertenslemub  11845  mertenslemi1  11846  prodfap0  11856  prodrbdclem  11882  prodmodclem2a  11887  fprodntrivap  11895  fprodm1  11909  fprod1p  11910  fprodfac  11926  fprodeq0  11928  fprodshft  11929  fprodrev  11930  fprod0diagfz  11939  fzm1ndvds  12167  lcmval  12385  lcmcllem  12389  lcmledvds  12392  prmdc  12452  prmdvdsfz  12461  isprm5lem  12463  phivalfi  12534  hashdvds  12543  phiprmpw  12544  eulerthlemrprm  12551  eulerthlema  12552  prmdiveq  12558  prmdivdiv  12559  modprminv  12572  modprminveq  12573  modprm0  12577  pcfac  12673  4sqlemafi  12718  4sqlemffi  12719  4sqleminfi  12720  4sqexercise1  12721  4sqexercise2  12722  4sqlemsdc  12723  4sqlem11  12724  4sqlem12  12725  gsumfzfsumlemm  14349  ply1termlem  15214  ply1term  15215  plyaddlem1  15219  plymullem1  15220  plymullem  15222  plycoeid3  15229  dvply1  15237  wilthlem1  15452  dvdsppwf1o  15461  mersenne  15469  lgsval2lem  15487  lgsdilem2  15513  gausslemma2dlem1a  15535  gausslemma2dlem1  15538  gausslemma2dlem3  15540  gausslemma2dlem5a  15542  gausslemma2dlem5  15543  gausslemma2dlem6  15544  lgseisenlem1  15547  lgseisenlem2  15548  lgseisenlem3  15549  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem2  15555  lgsquadlem3  15556  2lgslem1a1  15563  2lgslem1a  15565  2lgslem1b  15566  trilpolemlt1  15980  supfz  16010  inffz  16011