Theorem elfzelz 9503

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 9499	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 9091	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1439   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082   ...cfz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-setind 4368  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-neg 7719  df-z 8814  df-uz 9083  df-fz 9488

This theorem is referenced by:  elfz1eq  9512  fzsplit2  9527  fzdisj  9529  elfznn  9531  fznatpl1  9553  fzdifsuc  9558  fzrev2i  9563  fzrev3i  9565  elfzp12  9576  fznuz  9579  fzrevral  9582  fzshftral  9585  fznn0sub2  9602  elfzmlbm  9605  difelfznle  9609  fzosplit  9651  isermono  9969  iseqf1olemkle  9976  iseqf1olemklt  9977  iseqf1olemqcl  9978  iseqf1olemnab  9980  iseqf1olemab  9981  iseqf1olemmo  9984  iseqf1olemqk  9986  seq3f1olemqsumkj  9990  seq3f1olemqsumk  9991  seq3f1olemqsum  9992  seq3f1olemstep  9993  bcval2  10221  bcval4  10223  bccmpl  10225  bcp1nk  10233  bcpasc  10237  bccl2  10239  zfz1isolemiso  10307  iseqcoll  10310  seq3shft  10335  isumrblem  10828  isummolem2a  10834  fsum0diaglem  10897  fisum0diag  10898  mptfzshft  10899  fsumrev  10900  fsumshft  10901  fsumshftm  10902  fisum0diag2  10904  binomlem  10940  binom11  10943  bcxmas  10946  arisum  10955  geo2sum  10971  cvgratnnlemabsle  10984  cvgratnnlemrate  10987  mertenslemub  10991  mertenslemi1  10992  fzm1ndvds  11198  lcmval  11386  lcmcllem  11390  lcmledvds  11393  prmdvdsfz  11461  phivalfi  11529  hashdvds  11538  phiprmpw  11539  supfz  12219  inffz  12220