Theorem elfzelz 10260

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10256	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 9765	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-neg 8353  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10261  elfz1eq  10270  fzsplit2  10285  fzdisj  10287  elfznn  10289  fznatpl1  10311  fzdifsuc  10316  fzrev2i  10321  fzrev3i  10323  elfzp12  10334  fznuz  10337  fzrevral  10340  fzshftral  10343  fznn0sub2  10363  elfzmlbm  10366  difelfznle  10370  fzosplit  10414  zsupssdc  10499  ser3mono  10750  iseqf1olemkle  10760  iseqf1olemklt  10761  iseqf1olemqcl  10762  iseqf1olemnab  10764  iseqf1olemab  10765  iseqf1olemmo  10768  iseqf1olemqk  10770  seq3f1olemqsumkj  10774  seq3f1olemqsumk  10775  seq3f1olemqsum  10776  seq3f1olemstep  10777  seqf1oglem1  10782  seqf1oglem2  10783  seqfeq4g  10794  bcval2  11013  bcval4  11015  bccmpl  11017  bcp1nk  11025  bcpasc  11029  bccl2  11031  zfz1isolemiso  11104  seq3coll  11107  swrdval2  11236  swrdlen  11237  swrdfv  11238  swrdf  11240  swrdwrdsymbg  11249  ccatswrd  11255  pfxlen  11270  ccatpfx  11286  swrdswrd  11290  pfxswrd  11291  swrdpfx  11292  lenrevpfxcctswrd  11297  pfxccatin12lem2a  11312  pfxccatin12lem1  11313  swrdccatin2  11314  pfxccatin12lem2  11316  pfxccatin12  11318  pfxccat3  11319  swrdccat3blem  11324  seq3shft  11416  sumrbdclem  11956  summodclem2a  11960  fsum0diaglem  12019  fisum0diag  12020  mptfzshft  12021  fsumrev  12022  fsumshft  12023  fsumshftm  12024  fisum0diag2  12026  binomlem  12062  binom11  12065  bcxmas  12068  arisum  12077  geo2sum  12093  cvgratnnlemabsle  12106  cvgratnnlemrate  12109  mertenslemub  12113  mertenslemi1  12114  prodfap0  12124  prodrbdclem  12150  prodmodclem2a  12155  fprodntrivap  12163  fprodm1  12177  fprod1p  12178  fprodfac  12194  fprodeq0  12196  fprodshft  12197  fprodrev  12198  fprod0diagfz  12207  fzm1ndvds  12435  lcmval  12653  lcmcllem  12657  lcmledvds  12660  prmdc  12720  prmdvdsfz  12729  isprm5lem  12731  phivalfi  12802  hashdvds  12811  phiprmpw  12812  eulerthlemrprm  12819  eulerthlema  12820  prmdiveq  12826  prmdivdiv  12827  modprminv  12840  modprminveq  12841  modprm0  12845  pcfac  12941  4sqlemafi  12986  4sqlemffi  12987  4sqleminfi  12988  4sqexercise1  12989  4sqexercise2  12990  4sqlemsdc  12991  4sqlem11  12992  4sqlem12  12993  gsumfzfsumlemm  14620  ply1termlem  15485  ply1term  15486  plyaddlem1  15490  plymullem1  15491  plymullem  15493  plycoeid3  15500  dvply1  15508  wilthlem1  15723  dvdsppwf1o  15732  mersenne  15740  lgsval2lem  15758  lgsdilem2  15784  gausslemma2dlem1a  15806  gausslemma2dlem1  15809  gausslemma2dlem3  15811  gausslemma2dlem5a  15813  gausslemma2dlem5  15814  gausslemma2dlem6  15815  lgseisenlem1  15818  lgseisenlem2  15819  lgseisenlem3  15820  lgsquadlem1  15825  lgsquadlem2  15826  lgsquadlem3  15827  2lgslem1a1  15834  2lgslem1a  15836  2lgslem1b  15837  trilpolemlt1  16696  supfz  16727  inffz  16728  gsumgfsumlem  16735