Theorem elfzelz 10094

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10090	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 9604	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10095  elfz1eq  10104  fzsplit2  10119  fzdisj  10121  elfznn  10123  fznatpl1  10145  fzdifsuc  10150  fzrev2i  10155  fzrev3i  10157  elfzp12  10168  fznuz  10171  fzrevral  10174  fzshftral  10177  fznn0sub2  10197  elfzmlbm  10200  difelfznle  10204  fzosplit  10247  ser3mono  10561  iseqf1olemkle  10571  iseqf1olemklt  10572  iseqf1olemqcl  10573  iseqf1olemnab  10575  iseqf1olemab  10576  iseqf1olemmo  10579  iseqf1olemqk  10581  seq3f1olemqsumkj  10585  seq3f1olemqsumk  10586  seq3f1olemqsum  10587  seq3f1olemstep  10588  seqf1oglem1  10593  seqf1oglem2  10594  seqfeq4g  10605  bcval2  10824  bcval4  10826  bccmpl  10828  bcp1nk  10836  bcpasc  10840  bccl2  10842  zfz1isolemiso  10913  seq3coll  10916  seq3shft  10985  sumrbdclem  11523  summodclem2a  11527  fsum0diaglem  11586  fisum0diag  11587  mptfzshft  11588  fsumrev  11589  fsumshft  11590  fsumshftm  11591  fisum0diag2  11593  binomlem  11629  binom11  11632  bcxmas  11635  arisum  11644  geo2sum  11660  cvgratnnlemabsle  11673  cvgratnnlemrate  11676  mertenslemub  11680  mertenslemi1  11681  prodfap0  11691  prodrbdclem  11717  prodmodclem2a  11722  fprodntrivap  11730  fprodm1  11744  fprod1p  11745  fprodfac  11761  fprodeq0  11763  fprodshft  11764  fprodrev  11765  fprod0diagfz  11774  fzm1ndvds  12001  zsupssdc  12094  lcmval  12204  lcmcllem  12208  lcmledvds  12211  prmdc  12271  prmdvdsfz  12280  isprm5lem  12282  phivalfi  12353  hashdvds  12362  phiprmpw  12363  eulerthlemrprm  12370  eulerthlema  12371  prmdiveq  12377  prmdivdiv  12378  modprminv  12390  modprminveq  12391  modprm0  12395  pcfac  12491  4sqlemafi  12536  4sqlemffi  12537  4sqleminfi  12538  4sqexercise1  12539  4sqexercise2  12540  4sqlemsdc  12541  4sqlem11  12542  4sqlem12  12543  gsumfzfsumlemm  14086  ply1termlem  14921  ply1term  14922  plyaddlem1  14926  plymullem1  14927  plymullem  14929  dvply1  14943  wilthlem1  15153  lgsval2lem  15167  lgsdilem2  15193  gausslemma2dlem1a  15215  gausslemma2dlem1  15218  gausslemma2dlem3  15220  gausslemma2dlem5a  15222  gausslemma2dlem5  15223  gausslemma2dlem6  15224  lgseisenlem1  15227  lgseisenlem2  15228  lgseisenlem3  15229  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem2  15235  lgsquadlem3  15236  2lgslem1a1  15243  2lgslem1a  15245  2lgslem1b  15246  trilpolemlt1  15601  supfz  15631  inffz  15632