Theorem elfzelz 10221

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10217	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 9731	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   ...cfz 10204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-neg 8320  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10222  elfz1eq  10231  fzsplit2  10246  fzdisj  10248  elfznn  10250  fznatpl1  10272  fzdifsuc  10277  fzrev2i  10282  fzrev3i  10284  elfzp12  10295  fznuz  10298  fzrevral  10301  fzshftral  10304  fznn0sub2  10324  elfzmlbm  10327  difelfznle  10331  fzosplit  10375  zsupssdc  10458  ser3mono  10709  iseqf1olemkle  10719  iseqf1olemklt  10720  iseqf1olemqcl  10721  iseqf1olemnab  10723  iseqf1olemab  10724  iseqf1olemmo  10727  iseqf1olemqk  10729  seq3f1olemqsumkj  10733  seq3f1olemqsumk  10734  seq3f1olemqsum  10735  seq3f1olemstep  10736  seqf1oglem1  10741  seqf1oglem2  10742  seqfeq4g  10753  bcval2  10972  bcval4  10974  bccmpl  10976  bcp1nk  10984  bcpasc  10988  bccl2  10990  zfz1isolemiso  11061  seq3coll  11064  swrdval2  11183  swrdlen  11184  swrdfv  11185  swrdf  11187  swrdwrdsymbg  11196  ccatswrd  11202  pfxlen  11217  ccatpfx  11233  swrdswrd  11237  pfxswrd  11238  swrdpfx  11239  lenrevpfxcctswrd  11244  pfxccatin12lem2a  11259  pfxccatin12lem1  11260  swrdccatin2  11261  pfxccatin12lem2  11263  pfxccatin12  11265  pfxccat3  11266  swrdccat3blem  11271  seq3shft  11349  sumrbdclem  11888  summodclem2a  11892  fsum0diaglem  11951  fisum0diag  11952  mptfzshft  11953  fsumrev  11954  fsumshft  11955  fsumshftm  11956  fisum0diag2  11958  binomlem  11994  binom11  11997  bcxmas  12000  arisum  12009  geo2sum  12025  cvgratnnlemabsle  12038  cvgratnnlemrate  12041  mertenslemub  12045  mertenslemi1  12046  prodfap0  12056  prodrbdclem  12082  prodmodclem2a  12087  fprodntrivap  12095  fprodm1  12109  fprod1p  12110  fprodfac  12126  fprodeq0  12128  fprodshft  12129  fprodrev  12130  fprod0diagfz  12139  fzm1ndvds  12367  lcmval  12585  lcmcllem  12589  lcmledvds  12592  prmdc  12652  prmdvdsfz  12661  isprm5lem  12663  phivalfi  12734  hashdvds  12743  phiprmpw  12744  eulerthlemrprm  12751  eulerthlema  12752  prmdiveq  12758  prmdivdiv  12759  modprminv  12772  modprminveq  12773  modprm0  12777  pcfac  12873  4sqlemafi  12918  4sqlemffi  12919  4sqleminfi  12920  4sqexercise1  12921  4sqexercise2  12922  4sqlemsdc  12923  4sqlem11  12924  4sqlem12  12925  gsumfzfsumlemm  14551  ply1termlem  15416  ply1term  15417  plyaddlem1  15421  plymullem1  15422  plymullem  15424  plycoeid3  15431  dvply1  15439  wilthlem1  15654  dvdsppwf1o  15663  mersenne  15671  lgsval2lem  15689  lgsdilem2  15715  gausslemma2dlem1a  15737  gausslemma2dlem1  15740  gausslemma2dlem3  15742  gausslemma2dlem5a  15744  gausslemma2dlem5  15745  gausslemma2dlem6  15746  lgseisenlem1  15749  lgseisenlem2  15750  lgseisenlem3  15751  lgsquadlem1  15756  lgsquadlem2  15757  lgsquadlem3  15758  2lgslem1a1  15765  2lgslem1a  15767  2lgslem1b  15768  trilpolemlt1  16409  supfz  16439  inffz  16440