Theorem elfzelz 10428

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10424	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 9931	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8500  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412

This theorem is used by:  elfzelzd  10429  fzssz  10430  elfz1eq  10439  fzsplit2  10455  fzdisj  10457  fzsplit3  10458  elfznn  10460  fznatpl1  10483  fzdifsuc  10488  fzrev2i  10493  fzrev3i  10495  elfzp12  10506  fznuz  10509  fzrevral  10512  fzshftral  10515  fznn0sub2  10535  elfzmlbm  10538  difelfznle  10542  fzosplit  10586  infssfzcldc  10669  infssfzledc  10670  zsupssdc  10673  ser3mono  10924  iseqf1olemkle  10934  iseqf1olemklt  10935  iseqf1olemqcl  10936  iseqf1olemnab  10938  iseqf1olemab  10939  iseqf1olemmo  10942  iseqf1olemqk  10944  seq3f1olemqsumkj  10948  seq3f1olemqsumk  10949  seq3f1olemqsum  10950  seq3f1olemstep  10951  seqf1oglem1  10956  seqf1oglem2  10957  seqfeq4g  10968  bcval2  11188  bcval4  11190  bccmpl  11192  bcp1nk  11200  bcpasc  11204  bccl2  11206  bcm1n  11207  zfz1isolemiso  11291  seq3coll  11294  swrdval2  11423  swrdlen  11424  swrdfv  11425  swrdf  11427  swrdwrdsymbg  11436  ccatswrd  11442  pfxlen  11457  ccatpfx  11473  swrdswrd  11477  pfxswrd  11478  swrdpfx  11479  lenrevpfxcctswrd  11484  pfxccatin12lem2a  11499  pfxccatin12lem1  11500  swrdccatin2  11501  pfxccatin12lem2  11503  pfxccatin12  11505  pfxccat3  11506  swrdccat3blem  11511  seq3shft  11603  sumrbdclem  12144  summodclem2a  12148  fsum0diaglem  12207  fisum0diag  12208  mptfzshft  12209  fsumrev  12210  fsumshft  12211  fsumshftm  12212  fisum0diag2  12214  binomlem  12250  binom11  12253  bcxmas  12256  arisum  12265  geo2sum  12281  cvgratnnlemabsle  12294  cvgratnnlemrate  12297  mertenslemub  12301  mertenslemi1  12302  prodfap0  12312  prodrbdclem  12338  prodmodclem2a  12343  fprodntrivap  12351  fprodm1  12365  fprod1p  12366  fprodfac  12382  fprodeq0  12384  fprodshft  12385  fprodrev  12386  fprod0diagfz  12395  fzm1ndvds  12623  lcmval  12841  lcmcllem  12845  lcmledvds  12848  prmdc  12908  prmdvdsfz  12917  isprm5lem  12919  phivalfi  12990  hashdvds  12999  phiprmpw  13000  eulerthlemrprm  13007  eulerthlema  13008  prmdiveq  13014  prmdivdiv  13015  modprminv  13028  modprminveq  13029  modprm0  13033  pcfac  13129  4sqlemafi  13174  4sqlemffi  13175  4sqleminfi  13176  4sqexercise1  13177  4sqexercise2  13178  4sqlemsdc  13179  4sqlem11  13180  4sqlem12  13181  ballotfilemcinfi  13224  ballotfilemdifcfi  13225  ballotfilemcinfz  13226  ballotfilemdifcfz  13227  ballotfilemfc0  13232  ballotfilemfcc  13233  ballotfilemefi  13237  ballotfilemodife  13240  ballotfilemscl  13247  ballotfilemsle  13248  ballotfilemimin  13249  ballotfilemsgt1  13254  ballotfilemsdom  13255  ballotfilemsel1i  13256  ballotfilemsf1o  13257  ballotfilemsi  13258  ballotfilemsima  13259  ballotfilemfg  13269  ballotfilemfrc  13270  ballotfilemfrcn0  13273  gzsumshift  14149  ply1termlem  15843  ply1term  15844  plyaddlem1  15848  plymullem1  15849  plymullem  15851  plycoeid3  15858  dvply1  15866  birthdaylem2  16088  wilthlem1  16094  dvdsppwf1o  16103  mersenne  16111  lgsval2lem  16129  lgsdilem2  16155  gausslemma2dlem1a  16177  gausslemma2dlem1  16180  gausslemma2dlem3  16182  gausslemma2dlem5a  16184  gausslemma2dlem5  16185  gausslemma2dlem6  16186  lgseisenlem1  16189  lgseisenlem2  16190  lgseisenlem3  16191  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  lgsquadlem3  16198  2lgslem1a1  16205  2lgslem1a  16207  2lgslem1b  16208  trilpolemlt1  17090  supfz  17121  inffz  17122