Theorem elfzelz 10407

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10403	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 9910	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-neg 8490  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10408  fzssz  10409  elfz1eq  10418  fzsplit2  10433  fzdisj  10435  fzsplit3  10436  elfznn  10438  fznatpl1  10461  fzdifsuc  10466  fzrev2i  10471  fzrev3i  10473  elfzp12  10484  fznuz  10487  fzrevral  10490  fzshftral  10493  fznn0sub2  10513  elfzmlbm  10516  difelfznle  10520  fzosplit  10564  infssfzcldc  10647  infssfzledc  10648  zsupssdc  10651  ser3mono  10902  iseqf1olemkle  10912  iseqf1olemklt  10913  iseqf1olemqcl  10914  iseqf1olemnab  10916  iseqf1olemab  10917  iseqf1olemmo  10920  iseqf1olemqk  10922  seq3f1olemqsumkj  10926  seq3f1olemqsumk  10927  seq3f1olemqsum  10928  seq3f1olemstep  10929  seqf1oglem1  10934  seqf1oglem2  10935  seqfeq4g  10946  bcval2  11166  bcval4  11168  bccmpl  11170  bcp1nk  11178  bcpasc  11182  bccl2  11184  bcm1n  11185  zfz1isolemiso  11269  seq3coll  11272  swrdval2  11401  swrdlen  11402  swrdfv  11403  swrdf  11405  swrdwrdsymbg  11414  ccatswrd  11420  pfxlen  11435  ccatpfx  11451  swrdswrd  11455  pfxswrd  11456  swrdpfx  11457  lenrevpfxcctswrd  11462  pfxccatin12lem2a  11477  pfxccatin12lem1  11478  swrdccatin2  11479  pfxccatin12lem2  11481  pfxccatin12  11483  pfxccat3  11484  swrdccat3blem  11489  seq3shft  11581  sumrbdclem  12122  summodclem2a  12126  fsum0diaglem  12185  fisum0diag  12186  mptfzshft  12187  fsumrev  12188  fsumshft  12189  fsumshftm  12190  fisum0diag2  12192  binomlem  12228  binom11  12231  bcxmas  12234  arisum  12243  geo2sum  12259  cvgratnnlemabsle  12272  cvgratnnlemrate  12275  mertenslemub  12279  mertenslemi1  12280  prodfap0  12290  prodrbdclem  12316  prodmodclem2a  12321  fprodntrivap  12329  fprodm1  12343  fprod1p  12344  fprodfac  12360  fprodeq0  12362  fprodshft  12363  fprodrev  12364  fprod0diagfz  12373  fzm1ndvds  12601  lcmval  12819  lcmcllem  12823  lcmledvds  12826  prmdc  12886  prmdvdsfz  12895  isprm5lem  12897  phivalfi  12968  hashdvds  12977  phiprmpw  12978  eulerthlemrprm  12985  eulerthlema  12986  prmdiveq  12992  prmdivdiv  12993  modprminv  13006  modprminveq  13007  modprm0  13011  pcfac  13107  4sqlemafi  13152  4sqlemffi  13153  4sqleminfi  13154  4sqexercise1  13155  4sqexercise2  13156  4sqlemsdc  13157  4sqlem11  13158  4sqlem12  13159  ballotfilemcinfi  13202  ballotfilemdifcfi  13203  ballotfilemcinfz  13204  ballotfilemdifcfz  13205  ballotfilemfc0  13210  ballotfilemfcc  13211  ballotfilemefi  13215  ballotfilemodife  13218  ballotfilemscl  13225  ballotfilemsle  13226  ballotfilemimin  13227  ballotfilemsgt1  13232  ballotfilemsdom  13233  ballotfilemsel1i  13234  ballotfilemsf1o  13235  ballotfilemsi  13236  ballotfilemsima  13237  ballotfilemfg  13247  ballotfilemfrc  13248  ballotfilemfrcn0  13251  gzsumshift  14126  ply1termlem  15766  ply1term  15767  plyaddlem1  15771  plymullem1  15772  plymullem  15774  plycoeid3  15781  dvply1  15789  wilthlem1  16008  dvdsppwf1o  16017  mersenne  16025  lgsval2lem  16043  lgsdilem2  16069  gausslemma2dlem1a  16091  gausslemma2dlem1  16094  gausslemma2dlem3  16096  gausslemma2dlem5a  16098  gausslemma2dlem5  16099  gausslemma2dlem6  16100  lgseisenlem1  16103  lgseisenlem2  16104  lgseisenlem3  16105  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  lgsquadlem3  16112  2lgslem1a1  16119  2lgslem1a  16121  2lgslem1b  16122  trilpolemlt1  16995  supfz  17026  inffz  17027