Theorem elfzelz 10025

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10021	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 9537	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   ZZcz 9253   ZZ>=cuz 9528   ...cfz 10008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-neg 8131  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10026  elfz1eq  10035  fzsplit2  10050  fzdisj  10052  elfznn  10054  fznatpl1  10076  fzdifsuc  10081  fzrev2i  10086  fzrev3i  10088  elfzp12  10099  fznuz  10102  fzrevral  10105  fzshftral  10108  fznn0sub2  10128  elfzmlbm  10131  difelfznle  10135  fzosplit  10177  ser3mono  10478  iseqf1olemkle  10484  iseqf1olemklt  10485  iseqf1olemqcl  10486  iseqf1olemnab  10488  iseqf1olemab  10489  iseqf1olemmo  10492  iseqf1olemqk  10494  seq3f1olemqsumkj  10498  seq3f1olemqsumk  10499  seq3f1olemqsum  10500  seq3f1olemstep  10501  bcval2  10730  bcval4  10732  bccmpl  10734  bcp1nk  10742  bcpasc  10746  bccl2  10748  zfz1isolemiso  10819  seq3coll  10822  seq3shft  10847  sumrbdclem  11385  summodclem2a  11389  fsum0diaglem  11448  fisum0diag  11449  mptfzshft  11450  fsumrev  11451  fsumshft  11452  fsumshftm  11453  fisum0diag2  11455  binomlem  11491  binom11  11494  bcxmas  11497  arisum  11506  geo2sum  11522  cvgratnnlemabsle  11535  cvgratnnlemrate  11538  mertenslemub  11542  mertenslemi1  11543  prodfap0  11553  prodrbdclem  11579  prodmodclem2a  11584  fprodntrivap  11592  fprodm1  11606  fprod1p  11607  fprodfac  11623  fprodeq0  11625  fprodshft  11626  fprodrev  11627  fprod0diagfz  11636  fzm1ndvds  11862  zsupssdc  11955  lcmval  12063  lcmcllem  12067  lcmledvds  12070  prmdc  12130  prmdvdsfz  12139  isprm5lem  12141  phivalfi  12212  hashdvds  12221  phiprmpw  12222  eulerthlemrprm  12229  eulerthlema  12230  prmdiveq  12236  prmdivdiv  12237  modprminv  12249  modprminveq  12250  modprm0  12254  pcfac  12348  lgsval2lem  14414  lgsdilem2  14440  lgseisenlem1  14453  lgseisenlem2  14454  trilpolemlt1  14792  supfz  14821  inffz  14822