Theorem elfzelz 10018

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	|- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10014	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzelz 9531	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( K e. ( M ... N ) -> K e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   ` cfv 5213  (class class class)co 5870   ZZcz 9247   ZZ>=cuz 9522   ...cfz 10002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-setind 4534  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-fv 5221  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-neg 8125  df-z 9248  df-uz 9523  df-fz 10003

This theorem is referenced by:  elfzelzd  10019  elfz1eq  10028  fzsplit2  10043  fzdisj  10045  elfznn  10047  fznatpl1  10069  fzdifsuc  10074  fzrev2i  10079  fzrev3i  10081  elfzp12  10092  fznuz  10095  fzrevral  10098  fzshftral  10101  fznn0sub2  10121  elfzmlbm  10124  difelfznle  10128  fzosplit  10170  ser3mono  10471  iseqf1olemkle  10477  iseqf1olemklt  10478  iseqf1olemqcl  10479  iseqf1olemnab  10481  iseqf1olemab  10482  iseqf1olemmo  10485  iseqf1olemqk  10487  seq3f1olemqsumkj  10491  seq3f1olemqsumk  10492  seq3f1olemqsum  10493  seq3f1olemstep  10494  bcval2  10721  bcval4  10723  bccmpl  10725  bcp1nk  10733  bcpasc  10737  bccl2  10739  zfz1isolemiso  10810  seq3coll  10813  seq3shft  10838  sumrbdclem  11376  summodclem2a  11380  fsum0diaglem  11439  fisum0diag  11440  mptfzshft  11441  fsumrev  11442  fsumshft  11443  fsumshftm  11444  fisum0diag2  11446  binomlem  11482  binom11  11485  bcxmas  11488  arisum  11497  geo2sum  11513  cvgratnnlemabsle  11526  cvgratnnlemrate  11529  mertenslemub  11533  mertenslemi1  11534  prodfap0  11544  prodrbdclem  11570  prodmodclem2a  11575  fprodntrivap  11583  fprodm1  11597  fprod1p  11598  fprodfac  11614  fprodeq0  11616  fprodshft  11617  fprodrev  11618  fprod0diagfz  11627  fzm1ndvds  11852  zsupssdc  11945  lcmval  12053  lcmcllem  12057  lcmledvds  12060  prmdc  12120  prmdvdsfz  12129  isprm5lem  12131  phivalfi  12202  hashdvds  12211  phiprmpw  12212  eulerthlemrprm  12219  eulerthlema  12220  prmdiveq  12226  prmdivdiv  12227  modprminv  12239  modprminveq  12240  modprm0  12244  pcfac  12338  lgsval2lem  14193  lgsdilem2  14219  trilpolemlt1  14560  supfz  14589  inffz  14590