Theorem elnmz 13414

Description: Elementhood in the normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
elnmz.1	|- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }

Assertion

Ref	Expression
elnmz	|- ( A e. N <-> ( A e. X /\ A. z e. X ( ( A .+ z ) e. S <-> ( z .+ A ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, z, A   x, y, z   z, N   x, S, y, z   x, .+ , y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   A( y)   N( x, y)

Proof of Theorem elnmz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5933	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x .+ y ) = ( x .+ z ) )
2	1	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( x .+ y ) e. S <-> ( x .+ z ) e. S ) )
3		oveq1 5932	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( y .+ x ) = ( z .+ x ) )
4	3	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( y .+ x ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) )
5	2, 4	bibi12d 235	. . . 4 |- ( y = z -> ( ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) <-> ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) ) )
6	5	cbvralvw 2733	. . 3 |- ( A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) <-> A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) )
7		oveq1 5932	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x .+ z ) = ( A .+ z ) )
8	7	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( x .+ z ) e. S <-> ( A .+ z ) e. S ) )
9		oveq2 5933	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( z .+ x ) = ( z .+ A ) )
10	9	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( z .+ x ) e. S <-> ( z .+ A ) e. S ) )
11	8, 10	bibi12d 235	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> ( ( A .+ z ) e. S <-> ( z .+ A ) e. S ) ) )
12	11	ralbidv 2497	. . 3 |- ( x = A -> ( A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. z e. X ( ( A .+ z ) e. S <-> ( z .+ A ) e. S ) ) )
13	6, 12	bitrid 192	. 2 |- ( x = A -> ( A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) <-> A. z e. X ( ( A .+ z ) e. S <-> ( z .+ A ) e. S ) ) )
14		elnmz.1	. 2 |- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }
15	13, 14	elrab2 2923	1 |- ( A e. N <-> ( A e. X /\ A. z e. X ( ( A .+ z ) e. S <-> ( z .+ A ) e. S ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479  (class class class)co 5925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928

This theorem is referenced by:  nmzbi  13415  nmzsubg  13416  ssnmz  13417  conjnmzb  13486