Theorem elnmz 13278

Description: Elementhood in the normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
elnmz.1	|- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }

Assertion

Ref	Expression
elnmz	|- ( A e. N <-> ( A e. X /\ A. z e. X ( ( A .+ z ) e. S <-> ( z .+ A ) e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, z, A   x, y, z   z, N   x, S, y, z   x, .+ , y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   A( y)   N( x, y)

Proof of Theorem elnmz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5926	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x .+ y ) = ( x .+ z ) )
2	1	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( x .+ y ) e. S <-> ( x .+ z ) e. S ) )
3		oveq1 5925	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( y .+ x ) = ( z .+ x ) )
4	3	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( y .+ x ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) )
5	2, 4	bibi12d 235	. . . 4 |- ( y = z -> ( ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) <-> ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) ) )
6	5	cbvralvw 2730	. . 3 |- ( A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) <-> A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) )
7		oveq1 5925	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x .+ z ) = ( A .+ z ) )
8	7	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( x .+ z ) e. S <-> ( A .+ z ) e. S ) )
9		oveq2 5926	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( z .+ x ) = ( z .+ A ) )
10	9	eleq1d 2262	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( z .+ x ) e. S <-> ( z .+ A ) e. S ) )
11	8, 10	bibi12d 235	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> ( ( A .+ z ) e. S <-> ( z .+ A ) e. S ) ) )
12	11	ralbidv 2494	. . 3 |- ( x = A -> ( A. z e. X ( ( x .+ z ) e. S <-> ( z .+ x ) e. S ) <-> A. z e. X ( ( A .+ z ) e. S <-> ( z .+ A ) e. S ) ) )
13	6, 12	bitrid 192	. 2 |- ( x = A -> ( A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) <-> A. z e. X ( ( A .+ z ) e. S <-> ( z .+ A ) e. S ) ) )
14		elnmz.1	. 2 |- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }
15	13, 14	elrab2 2919	1 |- ( A e. N <-> ( A e. X /\ A. z e. X ( ( A .+ z ) e. S <-> ( z .+ A ) e. S ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476  (class class class)co 5918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921

This theorem is referenced by:  nmzbi  13279  nmzsubg  13280  ssnmz  13281  conjnmzb  13350