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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > nmzsubg | Unicode version |
Description: The normalizer
NG(S) of a subset ![]() |
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elnmz.1 |
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nmzsubg.2 |
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nmzsubg.3 |
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Ref | Expression |
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nmzsubg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elnmz.1 |
. . . 4
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2 | 1 | ssrab3 3269 |
. . 3
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3 | 2 | a1i 9 |
. 2
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4 | nmzsubg.2 |
. . . . 5
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5 | eqid 2196 |
. . . . 5
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6 | 4, 5 | grpidcl 13137 |
. . . 4
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7 | nmzsubg.3 |
. . . . . . . 8
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8 | 4, 7, 5 | grplid 13139 |
. . . . . . 7
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9 | 4, 7, 5 | grprid 13140 |
. . . . . . 7
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10 | 8, 9 | eqtr4d 2232 |
. . . . . 6
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11 | 10 | eleq1d 2265 |
. . . . 5
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12 | 11 | ralrimiva 2570 |
. . . 4
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13 | 1 | elnmz 13314 |
. . . 4
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14 | 6, 12, 13 | sylanbrc 417 |
. . 3
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15 | elex2 2779 |
. . 3
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16 | 14, 15 | syl 14 |
. 2
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17 | id 19 |
. . . . . . . 8
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18 | 2 | sseli 3179 |
. . . . . . . 8
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19 | 2 | sseli 3179 |
. . . . . . . 8
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20 | 4, 7 | grpcl 13116 |
. . . . . . . 8
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21 | 17, 18, 19, 20 | syl3an 1291 |
. . . . . . 7
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22 | simpl1 1002 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | simpl2 1003 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 2, 23 | sselid 3181 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | simpl3 1004 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | 2, 25 | sselid 3181 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | 4, 7 | grpass 13117 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 22, 24, 26, 27, 28 | syl13anc 1251 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 29 | eleq1d 2265 |
. . . . . . . . 9
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31 | 4, 7, 22, 26, 27 | grpcld 13122 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 1 | nmzbi 13315 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 23, 31, 32 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 4, 7 | grpass 13117 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 22, 26, 27, 24, 34 | syl13anc 1251 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 35 | eleq1d 2265 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 4, 7, 22, 27, 24 | grpcld 13122 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 1 | nmzbi 13315 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 25, 37, 38 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 33, 36, 39 | 3bitrd 214 |
. . . . . . . . 9
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41 | 4, 7 | grpass 13117 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 22, 27, 24, 26, 41 | syl13anc 1251 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 42 | eleq1d 2265 |
. . . . . . . . 9
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44 | 30, 40, 43 | 3bitrd 214 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | ralrimiva 2570 |
. . . . . . 7
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46 | 1 | elnmz 13314 |
. . . . . . 7
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47 | 21, 45, 46 | sylanbrc 417 |
. . . . . 6
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48 | 47 | 3expa 1205 |
. . . . 5
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49 | 48 | ralrimiva 2570 |
. . . 4
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50 | eqid 2196 |
. . . . . . 7
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51 | 4, 50 | grpinvcl 13156 |
. . . . . 6
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52 | 18, 51 | sylan2 286 |
. . . . 5
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53 | simplr 528 |
. . . . . . . 8
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54 | simpll 527 |
. . . . . . . . 9
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55 | 52 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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56 | simpr 110 |
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57 | 4, 7, 54, 56, 55 | grpcld 13122 |
. . . . . . . . 9
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58 | 4, 7, 54, 55, 57 | grpcld 13122 |
. . . . . . . 8
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59 | 1 | nmzbi 13315 |
. . . . . . . 8
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60 | 53, 58, 59 | syl2anc 411 |
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69 | 64, 66, 68 | 3eqtr3d 2237 |
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72 | 54, 55, 57, 61, 71 | syl13anc 1251 |
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74 | 54, 56, 55, 61, 73 | syl13anc 1251 |
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75 | 4, 7, 5, 50 | grplinv 13158 |
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76 | 54, 61, 75 | syl2anc 411 |
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77 | 76 | oveq2d 5938 |
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79 | 54, 56, 78 | syl2anc 411 |
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80 | 74, 77, 79 | 3eqtrd 2233 |
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81 | 80 | oveq2d 5938 |
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82 | 72, 81 | eqtrd 2229 |
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83 | 82 | eleq1d 2265 |
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84 | 60, 70, 83 | 3bitr3rd 219 |
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85 | 84 | ralrimiva 2570 |
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86 | 1 | elnmz 13314 |
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87 | 52, 85, 86 | sylanbrc 417 |
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88 | 49, 87 | jca 306 |
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89 | 88 | ralrimiva 2570 |
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90 | 4, 7, 50 | issubg2m 13295 |
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91 | 3, 16, 89, 90 | mpbir3and 1182 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-cnex 7968 ax-resscn 7969 ax-1cn 7970 ax-1re 7971 ax-icn 7972 ax-addcl 7973 ax-addrcl 7974 ax-mulcl 7975 ax-addcom 7977 ax-addass 7979 ax-i2m1 7982 ax-0lt1 7983 ax-0id 7985 ax-rnegex 7986 ax-pre-ltirr 7989 ax-pre-ltadd 7993 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-id 4328 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-pnf 8061 df-mnf 8062 df-ltxr 8064 df-inn 8988 df-2 9046 df-ndx 12657 df-slot 12658 df-base 12660 df-sets 12661 df-iress 12662 df-plusg 12744 df-0g 12905 df-mgm 12975 df-sgrp 13021 df-mnd 13034 df-grp 13111 df-minusg 13112 df-subg 13276 |
This theorem is referenced by: nmznsg 13319 |
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