Theorem nmzsubg 13075

Description: The normalizer N_G(S) of a subset S of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elnmz.1	|- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }
nmzsubg.2	|- X = ( Base ` G )
nmzsubg.3	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
nmzsubg	|- ( G e. Grp -> N e. (SubGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, S, y   x, .+ , y   x, X, y

Allowed substitution hints:   N( x, y)

Proof of Theorem nmzsubg

Dummy variables z w u a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnmz.1	. . . 4 |- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }
2	1	ssrab3 3243	. . 3 |- N C_ X
3	2	a1i 9	. 2 |- ( G e. Grp -> N C_ X )
4		nmzsubg.2	. . . . 5 |- X = ( Base ` G )
5		eqid 2177	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	4, 5	grpidcl 12909	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
7		nmzsubg.3	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
8	4, 7, 5	grplid 12911	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
9	4, 7, 5	grprid 12912	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( z .+ ( 0g ` G ) ) = z )
10	8, 9	eqtr4d 2213	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = ( z .+ ( 0g ` G ) ) )
11	10	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) e. S <-> ( z .+ ( 0g ` G ) ) e. S ) )
12	11	ralrimiva 2550	. . . 4 |- ( G e. Grp -> A. z e. X ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) e. S <-> ( z .+ ( 0g ` G ) ) e. S ) )
13	1	elnmz 13073	. . . 4 |- ( ( 0g ` G ) e. N <-> ( ( 0g ` G ) e. X /\ A. z e. X ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) e. S <-> ( z .+ ( 0g ` G ) ) e. S ) ) )
14	6, 12, 13	sylanbrc 417	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. N )
15		elex2 2755	. . 3 |- ( ( 0g ` G ) e. N -> E. a a e. N )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( G e. Grp -> E. a a e. N )
17		id 19	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> G e. Grp )
18	2	sseli 3153	. . . . . . . 8 |- ( z e. N -> z e. X )
19	2	sseli 3153	. . . . . . . 8 |- ( w e. N -> w e. X )
20	4, 7	grpcl 12890	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X /\ w e. X ) -> ( z .+ w ) e. X )
21	17, 18, 19, 20	syl3an 1280	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) -> ( z .+ w ) e. X )
22		simpl1 1000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> G e. Grp )
23		simpl2 1001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> z e. N )
24	2, 23	sselid 3155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> z e. X )
25		simpl3 1002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> w e. N )
26	2, 25	sselid 3155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> w e. X )
27		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> u e. X )
28	4, 7	grpass 12891	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( z e. X /\ w e. X /\ u e. X ) ) -> ( ( z .+ w ) .+ u ) = ( z .+ ( w .+ u ) ) )
29	22, 24, 26, 27, 28	syl13anc 1240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ w ) .+ u ) = ( z .+ ( w .+ u ) ) )
30	29	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( z .+ w ) .+ u ) e. S <-> ( z .+ ( w .+ u ) ) e. S ) )
31	4, 7, 22, 26, 27	grpcld 12895	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( w .+ u ) e. X )
32	1	nmzbi 13074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N /\ ( w .+ u ) e. X ) -> ( ( z .+ ( w .+ u ) ) e. S <-> ( ( w .+ u ) .+ z ) e. S ) )
33	23, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( w .+ u ) ) e. S <-> ( ( w .+ u ) .+ z ) e. S ) )
34	4, 7	grpass 12891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( w e. X /\ u e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( w .+ u ) .+ z ) = ( w .+ ( u .+ z ) ) )
35	22, 26, 27, 24, 34	syl13anc 1240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( w .+ u ) .+ z ) = ( w .+ ( u .+ z ) ) )
36	35	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( w .+ u ) .+ z ) e. S <-> ( w .+ ( u .+ z ) ) e. S ) )
37	4, 7, 22, 27, 24	grpcld 12895	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( u .+ z ) e. X )
38	1	nmzbi 13074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N /\ ( u .+ z ) e. X ) -> ( ( w .+ ( u .+ z ) ) e. S <-> ( ( u .+ z ) .+ w ) e. S ) )
39	25, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( w .+ ( u .+ z ) ) e. S <-> ( ( u .+ z ) .+ w ) e. S ) )
40	33, 36, 39	3bitrd 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( w .+ u ) ) e. S <-> ( ( u .+ z ) .+ w ) e. S ) )
41	4, 7	grpass 12891	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. X /\ z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( u .+ z ) .+ w ) = ( u .+ ( z .+ w ) ) )
42	22, 27, 24, 26, 41	syl13anc 1240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( u .+ z ) .+ w ) = ( u .+ ( z .+ w ) ) )
43	42	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( u .+ z ) .+ w ) e. S <-> ( u .+ ( z .+ w ) ) e. S ) )
44	30, 40, 43	3bitrd 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( z .+ w ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( z .+ w ) ) e. S ) )
45	44	ralrimiva 2550	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) -> A. u e. X ( ( ( z .+ w ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( z .+ w ) ) e. S ) )
46	1	elnmz 13073	. . . . . . 7 |- ( ( z .+ w ) e. N <-> ( ( z .+ w ) e. X /\ A. u e. X ( ( ( z .+ w ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( z .+ w ) ) e. S ) ) )
47	21, 45, 46	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) -> ( z .+ w ) e. N )
48	47	3expa 1203	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ w e. N ) -> ( z .+ w ) e. N )
49	48	ralrimiva 2550	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> A. w e. N ( z .+ w ) e. N )
50		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
51	4, 50	grpinvcl 12926	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
52	18, 51	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
53		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> z e. N )
54		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> G e. Grp )
55	52	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
56		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> u e. X )
57	4, 7, 54, 56, 55	grpcld 12895	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. X )
58	4, 7, 54, 55, 57	grpcld 12895	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) e. X )
59	1	nmzbi 13074	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N /\ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) e. X ) -> ( ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) e. S ) )
60	53, 58, 59	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) e. S ) )
61	2, 53	sselid 3155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> z e. X )
62	4, 7, 5, 50	grprinv 12928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( 0g ` G ) )
63	54, 61, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( 0g ` G ) )
64	63	oveq1d 5892	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) )
65	4, 7	grpass 12891	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( z e. X /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. X ) ) -> ( ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) )
66	54, 61, 55, 57, 65	syl13anc 1240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) )
67	4, 7, 5	grplid 12911	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
68	54, 57, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
69	64, 66, 68	3eqtr3d 2218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) = ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
70	69	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) e. S <-> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
71	4, 7	grpass 12891	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) ) )
72	54, 55, 57, 61, 71	syl13anc 1240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) ) )
73	4, 7	grpass 12891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. X /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) = ( u .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) ) )
74	54, 56, 55, 61, 73	syl13anc 1240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) = ( u .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) ) )
75	4, 7, 5, 50	grplinv 12927	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) )
76	54, 61, 75	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) )
77	76	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( u .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) ) = ( u .+ ( 0g ` G ) ) )
78	4, 7, 5	grprid 12912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X ) -> ( u .+ ( 0g ` G ) ) = u )
79	54, 56, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( u .+ ( 0g ` G ) ) = u )
80	74, 77, 79	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) = u )
81	80	oveq2d 5893	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) )
82	72, 81	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) )
83	82	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) e. S <-> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) e. S ) )
84	60, 70, 83	3bitr3rd 219	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
85	84	ralrimiva 2550	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> A. u e. X ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
86	1	elnmz 13073	. . . . 5 |- ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. N <-> ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ A. u e. X ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) ) )
87	52, 85, 86	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. N )
88	49, 87	jca 306	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> ( A. w e. N ( z .+ w ) e. N /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. N ) )
89	88	ralrimiva 2550	. 2 |- ( G e. Grp -> A. z e. N ( A. w e. N ( z .+ w ) e. N /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. N ) )
90	4, 7, 50	issubg2m 13054	. 2 |- ( G e. Grp -> ( N e. (SubGrp ` G ) <-> ( N C_ X /\ E. a a e. N /\ A. z e. N ( A. w e. N ( z .+ w ) e. N /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. N ) ) ) )
91	3, 16, 89, 90	mpbir3and 1180	1 |- ( G e. Grp -> N e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   C_ wss 3131   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   0gc0g 12710   Grpcgrp 12882   invgcminusg 12883  SubGrpcsubg 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-subg 13035

This theorem is referenced by:  nmznsg  13078