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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > nmzsubg | Unicode version |
Description: The normalizer
NG(S) of a subset ![]() |
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elnmz.1 |
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nmzsubg.2 |
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nmzsubg.3 |
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Ref | Expression |
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nmzsubg |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elnmz.1 |
. . . 4
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2 | 1 | ssrab3 3265 |
. . 3
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3 | 2 | a1i 9 |
. 2
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4 | nmzsubg.2 |
. . . . 5
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5 | eqid 2193 |
. . . . 5
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6 | 4, 5 | grpidcl 13101 |
. . . 4
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7 | nmzsubg.3 |
. . . . . . . 8
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8 | 4, 7, 5 | grplid 13103 |
. . . . . . 7
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9 | 4, 7, 5 | grprid 13104 |
. . . . . . 7
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10 | 8, 9 | eqtr4d 2229 |
. . . . . 6
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11 | 10 | eleq1d 2262 |
. . . . 5
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12 | 11 | ralrimiva 2567 |
. . . 4
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13 | 1 | elnmz 13278 |
. . . 4
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14 | 6, 12, 13 | sylanbrc 417 |
. . 3
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15 | elex2 2776 |
. . 3
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16 | 14, 15 | syl 14 |
. 2
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17 | id 19 |
. . . . . . . 8
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18 | 2 | sseli 3175 |
. . . . . . . 8
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19 | 2 | sseli 3175 |
. . . . . . . 8
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20 | 4, 7 | grpcl 13080 |
. . . . . . . 8
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21 | 17, 18, 19, 20 | syl3an 1291 |
. . . . . . 7
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22 | simpl1 1002 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | simpl2 1003 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | 2, 23 | sselid 3177 |
. . . . . . . . . . 11
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25 | simpl3 1004 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | 2, 25 | sselid 3177 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | 4, 7 | grpass 13081 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 22, 24, 26, 27, 28 | syl13anc 1251 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 29 | eleq1d 2262 |
. . . . . . . . 9
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31 | 4, 7, 22, 26, 27 | grpcld 13086 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 1 | nmzbi 13279 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 23, 31, 32 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 4, 7 | grpass 13081 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 22, 26, 27, 24, 34 | syl13anc 1251 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 35 | eleq1d 2262 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 4, 7, 22, 27, 24 | grpcld 13086 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 1 | nmzbi 13279 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 25, 37, 38 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 33, 36, 39 | 3bitrd 214 |
. . . . . . . . 9
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41 | 4, 7 | grpass 13081 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 22, 27, 24, 26, 41 | syl13anc 1251 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 42 | eleq1d 2262 |
. . . . . . . . 9
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44 | 30, 40, 43 | 3bitrd 214 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | ralrimiva 2567 |
. . . . . . 7
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46 | 1 | elnmz 13278 |
. . . . . . 7
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47 | 21, 45, 46 | sylanbrc 417 |
. . . . . 6
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48 | 47 | 3expa 1205 |
. . . . 5
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49 | 48 | ralrimiva 2567 |
. . . 4
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50 | eqid 2193 |
. . . . . . 7
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51 | 4, 50 | grpinvcl 13120 |
. . . . . 6
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52 | 18, 51 | sylan2 286 |
. . . . 5
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53 | simplr 528 |
. . . . . . . 8
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54 | simpll 527 |
. . . . . . . . 9
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55 | 52 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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56 | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
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57 | 4, 7, 54, 56, 55 | grpcld 13086 |
. . . . . . . . 9
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58 | 4, 7, 54, 55, 57 | grpcld 13086 |
. . . . . . . 8
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59 | 1 | nmzbi 13279 |
. . . . . . . 8
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60 | 53, 58, 59 | syl2anc 411 |
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69 | 64, 66, 68 | 3eqtr3d 2234 |
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72 | 54, 55, 57, 61, 71 | syl13anc 1251 |
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74 | 54, 56, 55, 61, 73 | syl13anc 1251 |
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75 | 4, 7, 5, 50 | grplinv 13122 |
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76 | 54, 61, 75 | syl2anc 411 |
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77 | 76 | oveq2d 5934 |
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80 | 74, 77, 79 | 3eqtrd 2230 |
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81 | 80 | oveq2d 5934 |
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82 | 72, 81 | eqtrd 2226 |
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83 | 82 | eleq1d 2262 |
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84 | 60, 70, 83 | 3bitr3rd 219 |
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85 | 84 | ralrimiva 2567 |
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86 | 1 | elnmz 13278 |
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87 | 52, 85, 86 | sylanbrc 417 |
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88 | 49, 87 | jca 306 |
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89 | 88 | ralrimiva 2567 |
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90 | 4, 7, 50 | issubg2m 13259 |
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91 | 3, 16, 89, 90 | mpbir3and 1182 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-addcom 7972 ax-addass 7974 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltadd 7988 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-id 4324 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-ltxr 8059 df-inn 8983 df-2 9041 df-ndx 12621 df-slot 12622 df-base 12624 df-sets 12625 df-iress 12626 df-plusg 12708 df-0g 12869 df-mgm 12939 df-sgrp 12985 df-mnd 12998 df-grp 13075 df-minusg 13076 df-subg 13240 |
This theorem is referenced by: nmznsg 13283 |
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