Theorem nmzsubg 13877

Description: The normalizer N_G(S) of a subset S of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elnmz.1	|- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }
nmzsubg.2	|- X = ( Base ` G )
nmzsubg.3	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
nmzsubg	|- ( G e. Grp -> N e. (SubGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, S, y   x, .+ , y   x, X, y

Allowed substitution hints:   N( x, y)

Proof of Theorem nmzsubg

Dummy variables z w u a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnmz.1	. . . 4 |- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }
2	1	ssrab3 3314	. . 3 |- N C_ X
3	2	a1i 9	. 2 |- ( G e. Grp -> N C_ X )
4		nmzsubg.2	. . . . 5 |- X = ( Base ` G )
5		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6	4, 5	grpidcl 13692	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
7		nmzsubg.3	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
8	4, 7, 5	grplid 13694	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
9	4, 7, 5	grprid 13695	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( z .+ ( 0g ` G ) ) = z )
10	8, 9	eqtr4d 2267	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = ( z .+ ( 0g ` G ) ) )
11	10	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) e. S <-> ( z .+ ( 0g ` G ) ) e. S ) )
12	11	ralrimiva 2606	. . . 4 |- ( G e. Grp -> A. z e. X ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) e. S <-> ( z .+ ( 0g ` G ) ) e. S ) )
13	1	elnmz 13875	. . . 4 |- ( ( 0g ` G ) e. N <-> ( ( 0g ` G ) e. X /\ A. z e. X ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) e. S <-> ( z .+ ( 0g ` G ) ) e. S ) ) )
14	6, 12, 13	sylanbrc 417	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. N )
15		elex2 2820	. . 3 |- ( ( 0g ` G ) e. N -> E. a a e. N )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( G e. Grp -> E. a a e. N )
17		id 19	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> G e. Grp )
18	2	sseli 3224	. . . . . . . 8 |- ( z e. N -> z e. X )
19	2	sseli 3224	. . . . . . . 8 |- ( w e. N -> w e. X )
20	4, 7	grpcl 13671	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X /\ w e. X ) -> ( z .+ w ) e. X )
21	17, 18, 19, 20	syl3an 1316	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) -> ( z .+ w ) e. X )
22		simpl1 1027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> G e. Grp )
23		simpl2 1028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> z e. N )
24	2, 23	sselid 3226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> z e. X )
25		simpl3 1029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> w e. N )
26	2, 25	sselid 3226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> w e. X )
27		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> u e. X )
28	4, 7	grpass 13672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( z e. X /\ w e. X /\ u e. X ) ) -> ( ( z .+ w ) .+ u ) = ( z .+ ( w .+ u ) ) )
29	22, 24, 26, 27, 28	syl13anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ w ) .+ u ) = ( z .+ ( w .+ u ) ) )
30	29	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( z .+ w ) .+ u ) e. S <-> ( z .+ ( w .+ u ) ) e. S ) )
31	4, 7, 22, 26, 27	grpcld 13677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( w .+ u ) e. X )
32	1	nmzbi 13876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N /\ ( w .+ u ) e. X ) -> ( ( z .+ ( w .+ u ) ) e. S <-> ( ( w .+ u ) .+ z ) e. S ) )
33	23, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( w .+ u ) ) e. S <-> ( ( w .+ u ) .+ z ) e. S ) )
34	4, 7	grpass 13672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( w e. X /\ u e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( w .+ u ) .+ z ) = ( w .+ ( u .+ z ) ) )
35	22, 26, 27, 24, 34	syl13anc 1276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( w .+ u ) .+ z ) = ( w .+ ( u .+ z ) ) )
36	35	eleq1d 2300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( w .+ u ) .+ z ) e. S <-> ( w .+ ( u .+ z ) ) e. S ) )
37	4, 7, 22, 27, 24	grpcld 13677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( u .+ z ) e. X )
38	1	nmzbi 13876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N /\ ( u .+ z ) e. X ) -> ( ( w .+ ( u .+ z ) ) e. S <-> ( ( u .+ z ) .+ w ) e. S ) )
39	25, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( w .+ ( u .+ z ) ) e. S <-> ( ( u .+ z ) .+ w ) e. S ) )
40	33, 36, 39	3bitrd 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( w .+ u ) ) e. S <-> ( ( u .+ z ) .+ w ) e. S ) )
41	4, 7	grpass 13672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. X /\ z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( u .+ z ) .+ w ) = ( u .+ ( z .+ w ) ) )
42	22, 27, 24, 26, 41	syl13anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( u .+ z ) .+ w ) = ( u .+ ( z .+ w ) ) )
43	42	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( u .+ z ) .+ w ) e. S <-> ( u .+ ( z .+ w ) ) e. S ) )
44	30, 40, 43	3bitrd 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( z .+ w ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( z .+ w ) ) e. S ) )
45	44	ralrimiva 2606	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) -> A. u e. X ( ( ( z .+ w ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( z .+ w ) ) e. S ) )
46	1	elnmz 13875	. . . . . . 7 |- ( ( z .+ w ) e. N <-> ( ( z .+ w ) e. X /\ A. u e. X ( ( ( z .+ w ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( z .+ w ) ) e. S ) ) )
47	21, 45, 46	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) -> ( z .+ w ) e. N )
48	47	3expa 1230	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ w e. N ) -> ( z .+ w ) e. N )
49	48	ralrimiva 2606	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> A. w e. N ( z .+ w ) e. N )
50		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
51	4, 50	grpinvcl 13711	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
52	18, 51	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
53		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> z e. N )
54		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> G e. Grp )
55	52	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
56		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> u e. X )
57	4, 7, 54, 56, 55	grpcld 13677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. X )
58	4, 7, 54, 55, 57	grpcld 13677	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) e. X )
59	1	nmzbi 13876	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N /\ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) e. X ) -> ( ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) e. S ) )
60	53, 58, 59	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) e. S ) )
61	2, 53	sselid 3226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> z e. X )
62	4, 7, 5, 50	grprinv 13714	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( 0g ` G ) )
63	54, 61, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( 0g ` G ) )
64	63	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) )
65	4, 7	grpass 13672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( z e. X /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. X ) ) -> ( ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) )
66	54, 61, 55, 57, 65	syl13anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) )
67	4, 7, 5	grplid 13694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
68	54, 57, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
69	64, 66, 68	3eqtr3d 2272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) = ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
70	69	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) e. S <-> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
71	4, 7	grpass 13672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) ) )
72	54, 55, 57, 61, 71	syl13anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) ) )
73	4, 7	grpass 13672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. X /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) = ( u .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) ) )
74	54, 56, 55, 61, 73	syl13anc 1276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) = ( u .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) ) )
75	4, 7, 5, 50	grplinv 13713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) )
76	54, 61, 75	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) )
77	76	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( u .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) ) = ( u .+ ( 0g ` G ) ) )
78	4, 7, 5	grprid 13695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X ) -> ( u .+ ( 0g ` G ) ) = u )
79	54, 56, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( u .+ ( 0g ` G ) ) = u )
80	74, 77, 79	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) = u )
81	80	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) )
82	72, 81	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) )
83	82	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) e. S <-> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) e. S ) )
84	60, 70, 83	3bitr3rd 219	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
85	84	ralrimiva 2606	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> A. u e. X ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
86	1	elnmz 13875	. . . . 5 |- ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. N <-> ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ A. u e. X ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) ) )
87	52, 85, 86	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. N )
88	49, 87	jca 306	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> ( A. w e. N ( z .+ w ) e. N /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. N ) )
89	88	ralrimiva 2606	. 2 |- ( G e. Grp -> A. z e. N ( A. w e. N ( z .+ w ) e. N /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. N ) )
90	4, 7, 50	issubg2m 13856	. 2 |- ( G e. Grp -> ( N e. (SubGrp ` G ) <-> ( N C_ X /\ E. a a e. N /\ A. z e. N ( A. w e. N ( z .+ w ) e. N /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. N ) ) ) )
91	3, 16, 89, 90	mpbir3and 1207	1 |- ( G e. Grp -> N e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   C_ wss 3201   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   0gc0g 13419   Grpcgrp 13663   invgcminusg 13664  SubGrpcsubg 13834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-iress 13170  df-plusg 13253  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-subg 13837

This theorem is referenced by:  nmznsg  13880