ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elrab2 Unicode version

Theorem elrab2 2814
Description: Membership in a class abstraction, using implicit substitution. (Contributed by NM, 2-Nov-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
elrab2.1  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ps ) )
elrab2.2  |-  C  =  { x  e.  B  |  ph }
Assertion
Ref Expression
elrab2  |-  ( A  e.  C  <->  ( A  e.  B  /\  ps )
)
Distinct variable groups:    ps, x    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x)

Proof of Theorem elrab2
StepHypRef Expression
1 elrab2.2 . . 3  |-  C  =  { x  e.  B  |  ph }
21eleq2i 2182 . 2  |-  ( A  e.  C  <->  A  e.  { x  e.  B  |  ph } )
3 elrab2.1 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ps ) )
43elrab 2811 . 2  |-  ( A  e.  { x  e.  B  |  ph }  <->  ( A  e.  B  /\  ps ) )
52, 4bitri 183 1  |-  ( A  e.  C  <->  ( A  e.  B  /\  ps )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   {crab 2395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-rab 2400  df-v 2660
This theorem is referenced by:  elrabsf  2917  pwnss  4051  regexmidlemm  4415  regexmidlem1  4416  reg2exmidlema  4417  tfis  4465  ctssdccl  6962  infnninf  6988  nnnninf  6989  exmidaclem  7028  ltexprlemell  7370  ltexprlemelu  7371  cauappcvgprlemm  7417  cauappcvgprlemopl  7418  cauappcvgprlemlol  7419  cauappcvgprlemopu  7420  cauappcvgprlemupu  7421  cauappcvgprlemdisj  7423  cauappcvgprlemloc  7424  cauappcvgprlemladdfu  7426  cauappcvgprlemladdfl  7427  cauappcvgprlemladdru  7428  cauappcvgprlemladdrl  7429  cauappcvgprlem2  7432  caucvgprlemm  7440  caucvgprlemopl  7441  caucvgprlemlol  7442  caucvgprlemopu  7443  caucvgprlemupu  7444  caucvgprlemdisj  7446  caucvgprlemloc  7447  caucvgprlemladdfu  7449  caucvgprlem2  7452  caucvgprprlemell  7457  caucvgprprlemelu  7458  caucvgprprlemml  7466  caucvgprprlemmu  7467  caucvgprprlemexbt  7478  caucvgprprlem2  7482  suplocsrlemb  7578  suplocsrlempr  7579  suplocsrlem  7580  axpre-suploclemres  7673  elz  9010  elrp  9395  repos  9704  isprm  11697  oddpwdc  11758  sqpweven  11759  2sqpwodd  11760  phimullem  11807  hashgcdlem  11809  ctiunctlemu1st  11853  ctiunctlemu2nd  11854  ctiunctlemudc  11856  ctiunctlemfo  11858  isxms  12526  isms  12528  ivthinclemlm  12687  ivthinclemum  12688  ivthinclemlopn  12689  ivthinclemlr  12690  ivthinclemuopn  12691  ivthinclemur  12692  ivthinclemdisj  12693  ivthinclemloc  12694  0nninf  13031  nninff  13032  nnsf  13033  peano4nninf  13034  nninfalllemn  13036  nninfalllem1  13037  nninfself  13043  qdencn  13056
  Copyright terms: Public domain W3C validator