ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnmz GIF version

Theorem elnmz 12999
Description: Elementhood in the normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elnmz.1 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
Assertion
Ref Expression
elnmz (𝐴𝑁 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝐴 + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + 𝐴) ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑁   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elnmz
StepHypRef Expression
1 oveq2 5880 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑧))
21eleq1d 2246 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 + 𝑧) ∈ 𝑆))
3 oveq1 5879 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + 𝑥) = (𝑧 + 𝑥))
43eleq1d 2246 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + 𝑥) ∈ 𝑆))
52, 4bibi12d 235 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → (((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑥 + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + 𝑥) ∈ 𝑆)))
65cbvralvw 2707 . . 3 (∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + 𝑥) ∈ 𝑆))
7 oveq1 5879 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 + 𝑧) = (𝐴 + 𝑧))
87eleq1d 2246 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 + 𝑧) ∈ 𝑆))
9 oveq2 5880 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑧 + 𝑥) = (𝑧 + 𝐴))
109eleq1d 2246 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑧 + 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + 𝐴) ∈ 𝑆))
118, 10bibi12d 235 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + 𝐴) ∈ 𝑆)))
1211ralbidv 2477 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑧𝑋 ((𝑥 + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝐴 + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + 𝐴) ∈ 𝑆)))
136, 12bitrid 192 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝐴 + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + 𝐴) ∈ 𝑆)))
14 elnmz.1 . 2 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
1513, 14elrab2 2896 1 (𝐴𝑁 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝐴 + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + 𝐴) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  {crab 2459  (class class class)co 5872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-un 3133  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-iota 5177  df-fv 5223  df-ov 5875
This theorem is referenced by:  nmzbi  13000  nmzsubg  13001  ssnmz  13002
  Copyright terms: Public domain W3C validator