Theorem isnsg3 13874

Description: A subgroup is normal iff the conjugation of all the elements of the subgroup is in the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg3.1	|- X = ( Base ` G )
isnsg3.2	|- .+ = ( +g ` G )
isnsg3.3	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg3	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) )

Distinct variable groups:   x, y, .-   x, G, y   x, .+ , y   x, S, y   x, X, y

Proof of Theorem isnsg3

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13872	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		isnsg3.1	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
3		isnsg3.2	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
4		isnsg3.3	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
5	2, 3, 4	nsgconj 13873	. . . . 5 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ x e. X /\ y e. S ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
6	5	3expb 1231	. . . 4 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
7	6	ralrimivva 2615	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
8	1, 7	jca 306	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) )
9		simpl 109	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
10		subgrcl 13846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> G e. Grp )
12		simprll 539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> z e. X )
13		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
14		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
15	2, 3, 13, 14	grplinv 13713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) )
16	11, 12, 15	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) )
17	16	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( 0g ` G ) .+ w ) )
18	2, 14	grpinvcl 13711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
19	11, 12, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
20		simprlr 540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> w e. X )
21	2, 3	grpass 13672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) )
22	11, 19, 12, 20, 21	syl13anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) )
23	2, 3, 13	grplid 13694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ w e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ w ) = w )
24	11, 20, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ w ) = w )
25	17, 22, 24	3eqtr3d 2272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) = w )
26	25	oveq1d 6043	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
27	2, 3, 4, 14, 11, 20, 12	grpsubinv 13736	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( w .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .+ z ) )
28	26, 27	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .+ z ) )
29		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( z .+ w ) e. S )
30		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
31		oveq1 6035	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( x .+ y ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) )
32		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> x = ( ( invg ` G ) ` z ) )
33	31, 32	oveq12d 6046	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
34	33	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( ( ( x .+ y ) .- x ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
35		oveq2 6036	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) )
36	35	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
37	36	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
38	34, 37	rspc2va 2925	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ ( z .+ w ) e. S ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S )
39	19, 29, 30, 38	syl21anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S )
40	28, 39	eqeltrrd 2309	. . . . 5 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( w .+ z ) e. S )
41	40	expr 375	. . . 4 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) )
42	41	ralrimivva 2615	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> A. z e. X A. w e. X ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) )
43	2, 3	isnsg2 13870	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. z e. X A. w e. X ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) ) )
44	9, 42, 43	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> S e. (NrmSGrp ` G ) )
45	8, 44	impbii 126	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   0gc0g 13419   Grpcgrp 13663   invgcminusg 13664   -gcsg 13665  SubGrpcsubg 13834  NrmSGrpcnsg 13835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-inn 9203  df-2 9261  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-minusg 13667  df-sbg 13668  df-subg 13837  df-nsg 13838

This theorem is referenced by:  0nsg  13881  nsgid  13882  ghmnsgima  13935  ghmnsgpreima  13936