Theorem isnsg3 12998

Description: A subgroup is normal iff the conjugation of all the elements of the subgroup is in the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg3.1	|- X = ( Base ` G )
isnsg3.2	|- .+ = ( +g ` G )
isnsg3.3	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg3	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) )

Distinct variable groups:   x, y, .-   x, G, y   x, .+ , y   x, S, y   x, X, y

Proof of Theorem isnsg3

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 12996	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		isnsg3.1	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
3		isnsg3.2	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
4		isnsg3.3	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
5	2, 3, 4	nsgconj 12997	. . . . 5 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ x e. X /\ y e. S ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
6	5	3expb 1204	. . . 4 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
7	6	ralrimivva 2559	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
8	1, 7	jca 306	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) )
9		simpl 109	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
10		subgrcl 12970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> G e. Grp )
12		simprll 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> z e. X )
13		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
14		eqid 2177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
15	2, 3, 13, 14	grplinv 12854	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) )
16	11, 12, 15	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) )
17	16	oveq1d 5887	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( 0g ` G ) .+ w ) )
18	2, 14	grpinvcl 12853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
19	11, 12, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
20		simprlr 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> w e. X )
21	2, 3	grpass 12818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) )
22	11, 19, 12, 20, 21	syl13anc 1240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) )
23	2, 3, 13	grplid 12838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ w e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ w ) = w )
24	11, 20, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ w ) = w )
25	17, 22, 24	3eqtr3d 2218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) = w )
26	25	oveq1d 5887	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
27	2, 3, 4, 14, 11, 20, 12	grpsubinv 12875	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( w .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .+ z ) )
28	26, 27	eqtrd 2210	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .+ z ) )
29		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( z .+ w ) e. S )
30		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
31		oveq1 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( x .+ y ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) )
32		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> x = ( ( invg ` G ) ` z ) )
33	31, 32	oveq12d 5890	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
34	33	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( ( ( x .+ y ) .- x ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
35		oveq2 5880	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) )
36	35	oveq1d 5887	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
37	36	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 |- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
38	34, 37	rspc2va 2855	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ ( z .+ w ) e. S ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S )
39	19, 29, 30, 38	syl21anc 1237	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S )
40	28, 39	eqeltrrd 2255	. . . . 5 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( w .+ z ) e. S )
41	40	expr 375	. . . 4 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) )
42	41	ralrimivva 2559	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> A. z e. X A. w e. X ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) )
43	2, 3	isnsg2 12994	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. z e. X A. w e. X ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) ) )
44	9, 42, 43	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> S e. (NrmSGrp ` G ) )
45	8, 44	impbii 126	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   Basecbs 12454   +g cplusg 12528   0gc0g 12693   Grpcgrp 12809   invgcminusg 12810   -gcsg 12811  SubGrpcsubg 12958  NrmSGrpcnsg 12959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-sbg 12814  df-subg 12961  df-nsg 12962

This theorem is referenced by:  0nsg  13005  nsgid  13006