Theorem isnsg3 13658

Description: A subgroup is normal iff the conjugation of all the elements of the subgroup is in the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg3.1	|- X = ( Base ` G )
isnsg3.2	|- .+ = ( +g ` G )
isnsg3.3	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg3	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) )

Distinct variable groups:   x, y, .-   x, G, y   x, .+ , y   x, S, y   x, X, y

Proof of Theorem isnsg3

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13656	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		isnsg3.1	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
3		isnsg3.2	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
4		isnsg3.3	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
5	2, 3, 4	nsgconj 13657	. . . . 5 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ x e. X /\ y e. S ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
6	5	3expb 1207	. . . 4 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
7	6	ralrimivva 2590	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
8	1, 7	jca 306	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) )
9		simpl 109	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
10		subgrcl 13630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> G e. Grp )
12		simprll 537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> z e. X )
13		eqid 2207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
14		eqid 2207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
15	2, 3, 13, 14	grplinv 13497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) )
16	11, 12, 15	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) )
17	16	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( 0g ` G ) .+ w ) )
18	2, 14	grpinvcl 13495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
19	11, 12, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
20		simprlr 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> w e. X )
21	2, 3	grpass 13456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) )
22	11, 19, 12, 20, 21	syl13anc 1252	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) )
23	2, 3, 13	grplid 13478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ w e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ w ) = w )
24	11, 20, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ w ) = w )
25	17, 22, 24	3eqtr3d 2248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) = w )
26	25	oveq1d 5982	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
27	2, 3, 4, 14, 11, 20, 12	grpsubinv 13520	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( w .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .+ z ) )
28	26, 27	eqtrd 2240	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .+ z ) )
29		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( z .+ w ) e. S )
30		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
31		oveq1 5974	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( x .+ y ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) )
32		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> x = ( ( invg ` G ) ` z ) )
33	31, 32	oveq12d 5985	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
34	33	eleq1d 2276	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( ( ( x .+ y ) .- x ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
35		oveq2 5975	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) )
36	35	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
37	36	eleq1d 2276	. . . . . . . 8 |- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
38	34, 37	rspc2va 2898	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ ( z .+ w ) e. S ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S )
39	19, 29, 30, 38	syl21anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S )
40	28, 39	eqeltrrd 2285	. . . . 5 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( w .+ z ) e. S )
41	40	expr 375	. . . 4 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) )
42	41	ralrimivva 2590	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> A. z e. X A. w e. X ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) )
43	2, 3	isnsg2 13654	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. z e. X A. w e. X ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) ) )
44	9, 42, 43	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> S e. (NrmSGrp ` G ) )
45	8, 44	impbii 126	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   0gc0g 13203   Grpcgrp 13447   invgcminusg 13448   -gcsg 13449  SubGrpcsubg 13618  NrmSGrpcnsg 13619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-sbg 13452  df-subg 13621  df-nsg 13622

This theorem is referenced by:  0nsg  13665  nsgid  13666  ghmnsgima  13719  ghmnsgpreima  13720