Theorem isnsg3 14010

Description: A subgroup is normal iff the conjugation of all the elements of the subgroup is in the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg3.1	|- X = ( Base ` G )
isnsg3.2	|- .+ = ( +g ` G )
isnsg3.3	|- .- = ( -g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isnsg3	|- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) )

Distinct variable groups:   x, y, .-   x, G, y   x, .+ , y   x, S, y   x, X, y

Proof of Theorem isnsg3

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 14008	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
2		isnsg3.1	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
3		isnsg3.2	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
4		isnsg3.3	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
5	2, 3, 4	nsgconj 14009	. . . . 5 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ x e. X /\ y e. S ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
6	5	3expb 1235	. . . 4 |- ( ( S e. (NrmSGrp ` G ) /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
7	6	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
8	1, 7	jca 306	. 2 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) -> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) )
9		simpl 109	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
10		subgrcl 13982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
11	10	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> G e. Grp )
12		simprll 543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> z e. X )
13		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
14		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
15	2, 3, 13, 14	grplinv 13855	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) )
16	11, 12, 15	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) )
17	16	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( 0g ` G ) .+ w ) )
18	2, 14	grpinvcl 13853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
19	11, 12, 18	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
20		simprlr 544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> w e. X )
21	2, 3	grpass 13814	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) )
22	11, 19, 12, 20, 21	syl13anc 1280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) )
23	2, 3, 13	grplid 13836	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ w e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ w ) = w )
24	11, 20, 23	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ w ) = w )
25	17, 22, 24	3eqtr3d 2279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) = w )
26	25	oveq1d 6100	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
27	2, 3, 4, 14, 11, 20, 12	grpsubinv 13878	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( w .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .+ z ) )
28	26, 27	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( w .+ z ) )
29		simprr 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( z .+ w ) e. S )
30		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S )
31		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( x .+ y ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) )
32		id 19	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> x = ( ( invg ` G ) ` z ) )
33	31, 32	oveq12d 6103	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( ( x .+ y ) .- x ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
34	33	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` z ) -> ( ( ( x .+ y ) .- x ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
35		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) )
36	35	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
37	36	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( y = ( z .+ w ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ y ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
38	34, 37	rspc2va 2944	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ ( z .+ w ) e. S ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S )
39	19, 29, 30, 38	syl21anc 1277	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) .- ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S )
40	28, 39	eqeltrrd 2316	. . . . 5 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ ( z .+ w ) e. S ) ) -> ( w .+ z ) e. S )
41	40	expr 375	. . . 4 |- ( ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) )
42	41	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> A. z e. X A. w e. X ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) )
43	2, 3	isnsg2 14006	. . 3 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. z e. X A. w e. X ( ( z .+ w ) e. S -> ( w .+ z ) e. S ) ) )
44	9, 42, 43	sylanbrc 421	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) -> S e. (NrmSGrp ` G ) )
45	8, 44	impbii 126	1 |- ( S e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. X A. y e. S ( ( x .+ y ) .- x ) e. S ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   0gc0g 13610   Grpcgrp 13805   invgcminusg 13806   -gcsg 13807  SubGrpcsubg 13970  NrmSGrpcnsg 13971

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-sbg 13810  df-subg 13973  df-nsg 13974

This theorem is used by:  0nsg  14017  nsgid  14018  ghmnsgima  14071  ghmnsgpreima  14072