Theorem elrn 4854

Description: Membership in a range. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
elrn	|- ( A e. ran B <-> E. x x B A )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem elrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	elrn2 4853	. 2 |- ( A e. ran B <-> E. x <. x , A >. e. B )
3		df-br 3990	. . 3 |- ( x B A <-> <. x , A >. e. B )
4	3	exbii 1598	. 2 |- ( E. x x B A <-> E. x <. x , A >. e. B )
5	2, 4	bitr4i 186	1 |- ( A e. ran B <-> E. x x B A )

Syntax hints:   <-> wb 104   E.wex 1485   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   <.cop 3586   class class class wbr 3989   ran crn 4612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622

This theorem is referenced by:  dmcosseq  4882  rnco  5117  dffo4  5644  rntpos  6236  fclim  11257  dvfgg  13451