Theorem elrn 4940

Description: Membership in a range. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
elrn	|- ( A e. ran B <-> E. x x B A )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem elrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	elrn2 4939	. 2 |- ( A e. ran B <-> E. x <. x , A >. e. B )
3		df-br 4060	. . 3 |- ( x B A <-> <. x , A >. e. B )
4	3	exbii 1629	. 2 |- ( E. x x B A <-> E. x <. x , A >. e. B )
5	2, 4	bitr4i 187	1 |- ( A e. ran B <-> E. x x B A )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1516   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   <.cop 3646   class class class wbr 4059   ran crn 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-cnv 4701  df-dm 4703  df-rn 4704

This theorem is referenced by:  dmcosseq  4969  rnco  5208  dffo4  5751  rntpos  6366  fclim  11720  dvfgg  15275