Theorem elrn 5025

Description: Membership in a range. (Contributed by NM, 2-Apr-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
elrn	|- ( A e. ran B <-> E. x x B A )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem elrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	elrn2 5024	. 2 |- ( A e. ran B <-> E. x <. x , A >. e. B )
3		df-br 4131	. . 3 |- ( x B A <-> <. x , A >. e. B )
4	3	exbii 1658	. 2 |- ( E. x x B A <-> E. x <. x , A >. e. B )
5	2, 4	bitr4i 187	1 |- ( A e. ran B <-> E. x x B A )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   E.wex 1545   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3712   class class class wbr 4130   ran crn 4775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785

This theorem is used by:  dmcosseq  5054  rnco  5294  dffo4  5856  rntpos  6528  fclim  12060  dvfgg  15789