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Theorem dvfgg 12609
Description: Explicitly write out the functionality condition on derivative for  S  =  RR and 
CC. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
dvfgg  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )

Proof of Theorem dvfgg
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recnprss 12608 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
2 reldvg 12600 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  Rel  ( S  _D  F
) )
31, 2sylan 279 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  Rel  ( S  _D  F
) )
4 elpmi 6515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
54simpld 111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  ->  F : dom  F --> CC )
65adantl 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  F : dom  F --> CC )
76adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  F : dom  F --> CC )
84simprd 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  ->  dom  F  C_  S )
98adantl 273 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  dom  F 
C_  S )
101adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  S  C_  CC )
119, 10sstrd 3073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  dom  F 
C_  CC )
1211adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  dom  F  C_  CC )
13 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)
1413cntoptopon 12518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  e.  (TopOn `  CC )
15 resttopon 12180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S )  e.  (TopOn `  S ) )
1614, 15mpan 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  (TopOn `  S
) )
17 topontop 12021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  e.  (TopOn `  S
)  ->  ( ( MetOpen
`  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top )
1910, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  e.  Top )
20 toponuni 12022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) )
2116, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  CC  ->  S  = 
U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) )
2221sseq2d 3093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( dom 
F  C_  S  <->  dom  F  C_  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) ) )
2310, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( dom  F  C_  S  <->  dom  F  C_  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) ) )
249, 23mpbid 146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  dom  F 
C_  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) )
25 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  =  U. ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )
2625ntrss2 12130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top  /\  dom  F  C_  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )  ->  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )
2719, 24, 26syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  C_  dom  F )
2827sselda 3063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  dom  F )
297, 12, 28dvlemap 12601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) )  /\  z  e.  { w  e.  dom  F  |  w #  x }
)  ->  ( (
( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) )  e.  CC )
3029fmpttd 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( z  e.  {
w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) : { w  e.  dom  F  |  w #  x } --> CC )
31 ssrab2 3148 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  C_  dom  F
3231, 12syl5ss 3074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  C_  CC )
3312, 28sseldd 3064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  CC )
34 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )
3527, 9sstrd 3073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  C_  S )
3635sselda 3063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  S )
3719adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top )
3824adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  dom  F  C_  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )
3925ntropn 12126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top  /\  dom  F  C_  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )  ->  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F )  e.  ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )
4037, 38, 39syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  e.  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) )
41 simpll 501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
42 rabss2 3146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  C_  dom  F  ->  { w  e.  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  |  w #  x }  C_  { w  e. 
dom  F  |  w #  x } )
4327, 42syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  { w  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  |  w #  x }  C_  { w  e. 
dom  F  |  w #  x } )
4443adantr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  { w  e.  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  |  w #  x }  C_  { w  e. 
dom  F  |  w #  x } )
4530, 32, 33, 34, 36, 40, 41, 44, 13limcimo 12587 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  E* y  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )
4645ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
x  e.  ( ( int `  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  ->  E* y 
y  e.  ( ( z  e.  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) ) )
47 moanimv 2050 . . . . . . 7  |-  ( E* y ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  /\  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  <->  ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  ->  E* y 
y  e.  ( ( z  e.  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) ) )
4846, 47sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  E* y ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  /\  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
49 eqid 2115 . . . . . . . 8  |-  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  =  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S )
50 eqid 2115 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
5149, 13, 50, 10, 6, 9eldvap 12603 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
x ( S  _D  F ) y  <->  ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  /\  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
5251mobidv 2011 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( E* y  x ( S  _D  F ) y  <->  E* y ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  /\  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
5348, 52mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  E* y  x ( S  _D  F ) y )
5453alrimiv 1828 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  A. x E* y  x ( S  _D  F ) y )
55 dffun6 5095 . . . 4  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  ( Rel  ( S  _D  F )  /\  A. x E* y  x ( S  _D  F
) y ) )
563, 54, 55sylanbrc 411 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  Fun  ( S  _D  F
) )
5756funfnd 5112 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  _D  F )  Fn 
dom  ( S  _D  F ) )
58 vex 2660 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
5958elrn 4742 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  ( S  _D  F )  <->  E. x  x ( S  _D  F ) y )
6010, 6, 9dvcl 12604 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  CC )
6160ex 114 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
x ( S  _D  F ) y  -> 
y  e.  CC ) )
6261exlimdv 1773 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( E. x  x ( S  _D  F ) y  ->  y  e.  CC ) )
6359, 62syl5bi 151 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
y  e.  ran  ( S  _D  F )  -> 
y  e.  CC ) )
6463ssrdv 3069 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ran  ( S  _D  F
)  C_  CC )
65 df-f 5085 . 2  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC  <->  ( ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F )  /\  ran  ( S  _D  F
)  C_  CC )
)
6657, 64, 65sylanbrc 411 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1312    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   E*wmo 1976   {crab 2394    C_ wss 3037   {cpr 3494   U.cuni 3702   class class class wbr 3895    |-> cmpt 3949   dom cdm 4499   ran crn 4500    o. ccom 4503   Rel wrel 4504   Fun wfun 5075    Fn wfn 5076   -->wf 5077   ` cfv 5081  (class class class)co 5728    ^pm cpm 6497   CCcc 7542   RRcr 7543    - cmin 7853   # cap 8258    / cdiv 8342   abscabs 10658   ↾t crest 11960   MetOpencmopn 11994   Topctop 12004  TopOnctopon 12017   intcnt 12102   lim CC climc 12576    _D cdv 12577
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7633  ax-resscn 7634  ax-1cn 7635  ax-1re 7636  ax-icn 7637  ax-addcl 7638  ax-addrcl 7639  ax-mulcl 7640  ax-mulrcl 7641  ax-addcom 7642  ax-mulcom 7643  ax-addass 7644  ax-mulass 7645  ax-distr 7646  ax-i2m1 7647  ax-0lt1 7648  ax-1rid 7649  ax-0id 7650  ax-rnegex 7651  ax-precex 7652  ax-cnre 7653  ax-pre-ltirr 7654  ax-pre-ltwlin 7655  ax-pre-lttrn 7656  ax-pre-apti 7657  ax-pre-ltadd 7658  ax-pre-mulgt0 7659  ax-pre-mulext 7660  ax-arch 7661  ax-caucvg 7662
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-map 6498  df-pm 6499  df-sup 6823  df-inf 6824  df-pnf 7723  df-mnf 7724  df-xr 7725  df-ltxr 7726  df-le 7727  df-sub 7855  df-neg 7856  df-reap 8252  df-ap 8259  df-div 8343  df-inn 8628  df-2 8686  df-3 8687  df-4 8688  df-n0 8879  df-z 8956  df-uz 9226  df-q 9311  df-rp 9341  df-xneg 9449  df-xadd 9450  df-seqfrec 10109  df-exp 10183  df-cj 10504  df-re 10505  df-im 10506  df-rsqrt 10659  df-abs 10660  df-rest 11962  df-topgen 11981  df-psmet 11996  df-xmet 11997  df-met 11998  df-bl 11999  df-mopn 12000  df-top 12005  df-topon 12018  df-bases 12050  df-ntr 12105  df-limced 12578  df-dvap 12579
This theorem is referenced by:  dvfpm  12610  dvfcnpm  12611  dvaddxx  12618  dviaddf  12619
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