Theorem dvfgg 15402

Description: Explicitly write out the functionality condition on derivative for S = RR and CC. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvfgg	|- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Proof of Theorem dvfgg

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnprss 15401	. . . . 5 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
2		reldvg 15393	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )
4		elpmi 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
5	4	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> F : dom F --> CC )
6	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> F : dom F --> CC )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> F : dom F --> CC )
8	4	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> dom F C_ S )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ S )
10	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S C_ CC )
11	9, 10	sstrd 3235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ CC )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ CC )
13		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
14	13	cntoptopon 15246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
15		resttopon 14885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16	14, 15	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ CC -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
17		topontop 14728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ CC -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
20		toponuni 14729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
21	16, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ CC -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
22	21	sseq2d 3255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ CC -> ( dom F C_ S <-> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
23	10, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( dom F C_ S <-> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
24	9, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
25		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
26	25	ntrss2 14835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
27	19, 24, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
28	27	sselda 3225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. dom F )
29	7, 12, 28	dvlemap 15394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) /\ z e. { w e. dom F | w # x } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) e. CC )
30	29	fmpttd 5798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) : { w e. dom F | w # x } --> CC )
31		ssrab2 3310	. . . . . . . . . 10 |- { w e. dom F | w # x } C_ dom F
32	31, 12	sstrid 3236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> { w e. dom F | w # x } C_ CC )
33	12, 28	sseldd 3226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. CC )
34		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) )
35	27, 9	sstrd 3235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S )
36	35	sselda 3225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. S )
37	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
38	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
39	25	ntropn 14831	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
40	37, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
41		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> S e. { RR , CC } )
42		rabss2 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
43	27, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
45	30, 32, 33, 34, 36, 40, 41, 44, 13	limcimo 15379	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
46	45	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
47		moanimv 2153	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
48	46, 47	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
49		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
50		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
51	49, 13, 50, 10, 6, 9	eldvap 15396	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x ( S _D F ) y <-> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
52	51	mobidv 2113	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( E* y x ( S _D F ) y <-> E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
53	48, 52	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> E* y x ( S _D F ) y )
54	53	alrimiv 1920	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> A. x E* y x ( S _D F ) y )
55		dffun6 5338	. . . 4 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( Rel ( S _D F ) /\ A. x E* y x ( S _D F ) y ) )
56	3, 54, 55	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Fun ( S _D F ) )
57	56	funfnd 5355	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
58		vex 2803	. . . . 5 |- y e. _V
59	58	elrn 4973	. . . 4 |- ( y e. ran ( S _D F ) <-> E. x x ( S _D F ) y )
60	10, 6, 9	dvcl 15397	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
61	60	ex 115	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
62	61	exlimdv 1865	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( E. x x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
63	59, 62	biimtrid 152	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( y e. ran ( S _D F ) -> y e. CC ) )
64	63	ssrdv 3231	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ran ( S _D F ) C_ CC )
65		df-f 5328	. 2 |- ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> ( ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) /\ ran ( S _D F ) C_ CC ) )
66	57, 64, 65	sylanbrc 417	1 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   E*wmo 2078   e. wcel 2200   {crab 2512   C_ wss 3198   {cpr 3668   U.cuni 3891   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   dom cdm 4723   ran crn 4724   o. ccom 4727   Rel wrel 4728   Fun wfun 5318   Fn wfn 5319   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   ^pm cpm 6813   CCcc 8020   RRcr 8021   - cmin 8340   # cap 8751   / cdiv 8842   abscabs 11548   ↾_t crest 13312   MetOpencmopn 14545   Topctop 14711  TopOnctopon 14724   intcnt 14807   lim CC climc 15368   _D cdv 15369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-pm 6815  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-xneg 9997  df-xadd 9998  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-rest 13314  df-topgen 13333  df-psmet 14547  df-xmet 14548  df-met 14549  df-bl 14550  df-mopn 14551  df-top 14712  df-topon 14725  df-bases 14757  df-ntr 14810  df-limced 15370  df-dvap 15371

This theorem is referenced by:  dvfpm  15403  dvfcnpm  15404  dvidsslem  15407  dvaddxx  15417  dvmulxx  15418  dviaddf  15419  dvimulf  15420  dvmptclx  15432