ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvfgg Unicode version

Theorem dvfgg 13790
Description: Explicitly write out the functionality condition on derivative for  S  =  RR and 
CC. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
dvfgg  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )

Proof of Theorem dvfgg
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recnprss 13789 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
2 reldvg 13781 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  Rel  ( S  _D  F
) )
31, 2sylan 283 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  Rel  ( S  _D  F
) )
4 elpmi 6660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
54simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  ->  F : dom  F --> CC )
65adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  F : dom  F --> CC )
76adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  F : dom  F --> CC )
84simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  ->  dom  F  C_  S )
98adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  dom  F 
C_  S )
101adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  S  C_  CC )
119, 10sstrd 3165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  dom  F 
C_  CC )
1211adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  dom  F  C_  CC )
13 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)
1413cntoptopon 13665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  e.  (TopOn `  CC )
15 resttopon 13304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S )  e.  (TopOn `  S ) )
1614, 15mpan 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  (TopOn `  S
) )
17 topontop 13145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  e.  (TopOn `  S
)  ->  ( ( MetOpen
`  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top )
1910, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  e.  Top )
20 toponuni 13146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) )
2116, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  CC  ->  S  = 
U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) )
2221sseq2d 3185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( dom 
F  C_  S  <->  dom  F  C_  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) ) )
2310, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( dom  F  C_  S  <->  dom  F  C_  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) ) )
249, 23mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  dom  F 
C_  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) )
25 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  =  U. ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )
2625ntrss2 13254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top  /\  dom  F  C_  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )  ->  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )
2719, 24, 26syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  C_  dom  F )
2827sselda 3155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  dom  F )
297, 12, 28dvlemap 13782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) )  /\  z  e.  { w  e.  dom  F  |  w #  x }
)  ->  ( (
( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) )  e.  CC )
3029fmpttd 5666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( z  e.  {
w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) : { w  e.  dom  F  |  w #  x } --> CC )
31 ssrab2 3240 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  C_  dom  F
3231, 12sstrid 3166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  C_  CC )
3312, 28sseldd 3156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  CC )
34 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )
3527, 9sstrd 3165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  C_  S )
3635sselda 3155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  S )
3719adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top )
3824adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  dom  F  C_  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )
3925ntropn 13250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top  /\  dom  F  C_  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )  ->  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F )  e.  ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )
4037, 38, 39syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  e.  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) )
41 simpll 527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
42 rabss2 3238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  C_  dom  F  ->  { w  e.  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  |  w #  x }  C_  { w  e. 
dom  F  |  w #  x } )
4327, 42syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  { w  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  |  w #  x }  C_  { w  e. 
dom  F  |  w #  x } )
4443adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  { w  e.  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  |  w #  x }  C_  { w  e. 
dom  F  |  w #  x } )
4530, 32, 33, 34, 36, 40, 41, 44, 13limcimo 13767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  E* y  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )
4645ex 115 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
x  e.  ( ( int `  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  ->  E* y 
y  e.  ( ( z  e.  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) ) )
47 moanimv 2101 . . . . . . 7  |-  ( E* y ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  /\  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  <->  ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  ->  E* y 
y  e.  ( ( z  e.  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) ) )
4846, 47sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  E* y ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  /\  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
49 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  =  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S )
50 eqid 2177 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
5149, 13, 50, 10, 6, 9eldvap 13784 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
x ( S  _D  F ) y  <->  ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  /\  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
5251mobidv 2062 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( E* y  x ( S  _D  F ) y  <->  E* y ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  /\  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
5348, 52mpbird 167 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  E* y  x ( S  _D  F ) y )
5453alrimiv 1874 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  A. x E* y  x ( S  _D  F ) y )
55 dffun6 5225 . . . 4  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  ( Rel  ( S  _D  F )  /\  A. x E* y  x ( S  _D  F
) y ) )
563, 54, 55sylanbrc 417 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  Fun  ( S  _D  F
) )
5756funfnd 5242 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  _D  F )  Fn 
dom  ( S  _D  F ) )
58 vex 2740 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
5958elrn 4865 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  ( S  _D  F )  <->  E. x  x ( S  _D  F ) y )
6010, 6, 9dvcl 13785 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  CC )
6160ex 115 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
x ( S  _D  F ) y  -> 
y  e.  CC ) )
6261exlimdv 1819 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( E. x  x ( S  _D  F ) y  ->  y  e.  CC ) )
6359, 62biimtrid 152 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
y  e.  ran  ( S  _D  F )  -> 
y  e.  CC ) )
6463ssrdv 3161 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ran  ( S  _D  F
)  C_  CC )
65 df-f 5215 . 2  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC  <->  ( ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F )  /\  ran  ( S  _D  F
)  C_  CC )
)
6657, 64, 65sylanbrc 417 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1351    = wceq 1353   E.wex 1492   E*wmo 2027    e. wcel 2148   {crab 2459    C_ wss 3129   {cpr 3592   U.cuni 3807   class class class wbr 4000    |-> cmpt 4061   dom cdm 4622   ran crn 4623    o. ccom 4626   Rel wrel 4627   Fun wfun 5205    Fn wfn 5206   -->wf 5207   ` cfv 5211  (class class class)co 5868    ^pm cpm 6642   CCcc 7787   RRcr 7788    - cmin 8105   # cap 8515    / cdiv 8605   abscabs 10977   ↾t crest 12623   MetOpencmopn 13118   Topctop 13128  TopOnctopon 13141   intcnt 13226   lim CC climc 13756    _D cdv 13757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-map 6643  df-pm 6644  df-sup 6976  df-inf 6977  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-xneg 9746  df-xadd 9747  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-rest 12625  df-topgen 12644  df-psmet 13120  df-xmet 13121  df-met 13122  df-bl 13123  df-mopn 13124  df-top 13129  df-topon 13142  df-bases 13174  df-ntr 13229  df-limced 13758  df-dvap 13759
This theorem is referenced by:  dvfpm  13791  dvfcnpm  13792  dvaddxx  13800  dvmulxx  13801  dviaddf  13802  dvimulf  13803  dvmptclx  13813
  Copyright terms: Public domain W3C validator