Theorem dvfgg 15411

Description: Explicitly write out the functionality condition on derivative for S = RR and CC. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvfgg	|- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Proof of Theorem dvfgg

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnprss 15410	. . . . 5 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
2		reldvg 15402	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )
4		elpmi 6835	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
5	4	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> F : dom F --> CC )
6	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> F : dom F --> CC )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> F : dom F --> CC )
8	4	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> dom F C_ S )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ S )
10	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S C_ CC )
11	9, 10	sstrd 3237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ CC )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ CC )
13		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
14	13	cntoptopon 15255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
15		resttopon 14894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16	14, 15	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ CC -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
17		topontop 14737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ CC -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
20		toponuni 14738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
21	16, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ CC -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
22	21	sseq2d 3257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ CC -> ( dom F C_ S <-> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
23	10, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( dom F C_ S <-> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
24	9, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
25		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
26	25	ntrss2 14844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
27	19, 24, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
28	27	sselda 3227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. dom F )
29	7, 12, 28	dvlemap 15403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) /\ z e. { w e. dom F | w # x } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) e. CC )
30	29	fmpttd 5802	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) : { w e. dom F | w # x } --> CC )
31		ssrab2 3312	. . . . . . . . . 10 |- { w e. dom F | w # x } C_ dom F
32	31, 12	sstrid 3238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> { w e. dom F | w # x } C_ CC )
33	12, 28	sseldd 3228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. CC )
34		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) )
35	27, 9	sstrd 3237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S )
36	35	sselda 3227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. S )
37	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
38	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
39	25	ntropn 14840	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
40	37, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
41		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> S e. { RR , CC } )
42		rabss2 3310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
43	27, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
45	30, 32, 33, 34, 36, 40, 41, 44, 13	limcimo 15388	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
46	45	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
47		moanimv 2155	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
48	46, 47	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
49		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
50		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
51	49, 13, 50, 10, 6, 9	eldvap 15405	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x ( S _D F ) y <-> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
52	51	mobidv 2115	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( E* y x ( S _D F ) y <-> E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
53	48, 52	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> E* y x ( S _D F ) y )
54	53	alrimiv 1922	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> A. x E* y x ( S _D F ) y )
55		dffun6 5340	. . . 4 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( Rel ( S _D F ) /\ A. x E* y x ( S _D F ) y ) )
56	3, 54, 55	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Fun ( S _D F ) )
57	56	funfnd 5357	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
58		vex 2805	. . . . 5 |- y e. _V
59	58	elrn 4975	. . . 4 |- ( y e. ran ( S _D F ) <-> E. x x ( S _D F ) y )
60	10, 6, 9	dvcl 15406	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
61	60	ex 115	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
62	61	exlimdv 1867	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( E. x x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
63	59, 62	biimtrid 152	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( y e. ran ( S _D F ) -> y e. CC ) )
64	63	ssrdv 3233	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ran ( S _D F ) C_ CC )
65		df-f 5330	. 2 |- ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> ( ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) /\ ran ( S _D F ) C_ CC ) )
66	57, 64, 65	sylanbrc 417	1 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1395   = wceq 1397   E.wex 1540   E*wmo 2080   e. wcel 2202   {crab 2514   C_ wss 3200   {cpr 3670   U.cuni 3893   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   dom cdm 4725   ran crn 4726   o. ccom 4729   Rel wrel 4730   Fun wfun 5320   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ^pm cpm 6817   CCcc 8029   RRcr 8030   - cmin 8349   # cap 8760   / cdiv 8851   abscabs 11557   ↾_t crest 13321   MetOpencmopn 14554   Topctop 14720  TopOnctopon 14733   intcnt 14816   lim CC climc 15377   _D cdv 15378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-map 6818  df-pm 6819  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-xneg 10006  df-xadd 10007  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-rest 13323  df-topgen 13342  df-psmet 14556  df-xmet 14557  df-met 14558  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-top 14721  df-topon 14734  df-bases 14766  df-ntr 14819  df-limced 15379  df-dvap 15380

This theorem is referenced by:  dvfpm  15412  dvfcnpm  15413  dvidsslem  15416  dvaddxx  15426  dvmulxx  15427  dviaddf  15428  dvimulf  15429  dvmptclx  15441