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Theorem dvfgg 14453
Description: Explicitly write out the functionality condition on derivative for  S  =  RR and 
CC. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
dvfgg  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )

Proof of Theorem dvfgg
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recnprss 14452 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
2 reldvg 14444 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  Rel  ( S  _D  F
) )
31, 2sylan 283 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  Rel  ( S  _D  F
) )
4 elpmi 6681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
54simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  ->  F : dom  F --> CC )
65adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  F : dom  F --> CC )
76adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  F : dom  F --> CC )
84simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  ->  dom  F  C_  S )
98adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  dom  F 
C_  S )
101adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  S  C_  CC )
119, 10sstrd 3177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  dom  F 
C_  CC )
1211adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  dom  F  C_  CC )
13 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)
1413cntoptopon 14328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  e.  (TopOn `  CC )
15 resttopon 13967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S )  e.  (TopOn `  S ) )
1614, 15mpan 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  (TopOn `  S
) )
17 topontop 13810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  e.  (TopOn `  S
)  ->  ( ( MetOpen
`  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top )
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top )
1910, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  e.  Top )
20 toponuni 13811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) )
2116, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  CC  ->  S  = 
U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) )
2221sseq2d 3197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( dom 
F  C_  S  <->  dom  F  C_  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) ) )
2310, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( dom  F  C_  S  <->  dom  F  C_  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) ) )
249, 23mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  dom  F 
C_  U. ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) )
25 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S )  =  U. ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )
2625ntrss2 13917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top  /\  dom  F  C_  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )  ->  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )
2719, 24, 26syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  C_  dom  F )
2827sselda 3167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  dom  F )
297, 12, 28dvlemap 14445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
) )  /\  z  e.  { w  e.  dom  F  |  w #  x }
)  ->  ( (
( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) )  e.  CC )
3029fmpttd 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( z  e.  {
w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) : { w  e.  dom  F  |  w #  x } --> CC )
31 ssrab2 3252 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  C_  dom  F
3231, 12sstrid 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  C_  CC )
3312, 28sseldd 3168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  CC )
34 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )
3527, 9sstrd 3177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  C_  S )
3635sselda 3167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  S )
3719adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top )
3824adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  dom  F  C_  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )
3925ntropn 13913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  e.  Top  /\  dom  F  C_  U. (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )  ->  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F )  e.  ( ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) )
4037, 38, 39syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  e.  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) )
41 simpll 527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
42 rabss2 3250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  C_  dom  F  ->  { w  e.  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  |  w #  x }  C_  { w  e. 
dom  F  |  w #  x } )
4327, 42syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  { w  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  |  w #  x }  C_  { w  e. 
dom  F  |  w #  x } )
4443adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  { w  e.  (
( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  |  w #  x }  C_  { w  e. 
dom  F  |  w #  x } )
4530, 32, 33, 34, 36, 40, 41, 44, 13limcimo 14430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x  e.  ( ( int `  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S ) ) `  dom  F ) )  ->  E* y  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )
4645ex 115 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
x  e.  ( ( int `  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  ->  E* y 
y  e.  ( ( z  e.  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) ) )
47 moanimv 2111 . . . . . . 7  |-  ( E* y ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  /\  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  <->  ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  ->  E* y 
y  e.  ( ( z  e.  { w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim
CC  x ) ) )
4846, 47sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  E* y ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  /\  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
49 eqid 2187 . . . . . . . 8  |-  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )t  S )  =  ( ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)t 
S )
50 eqid 2187 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { w  e. 
dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
5149, 13, 50, 10, 6, 9eldvap 14447 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
x ( S  _D  F ) y  <->  ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  /\  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
5251mobidv 2072 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( E* y  x ( S  _D  F ) y  <->  E* y ( x  e.  ( ( int `  (
( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )t  S ) ) `  dom  F
)  /\  y  e.  ( ( z  e. 
{ w  e.  dom  F  |  w #  x }  |->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
5348, 52mpbird 167 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  E* y  x ( S  _D  F ) y )
5453alrimiv 1884 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  A. x E* y  x ( S  _D  F ) y )
55 dffun6 5242 . . . 4  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  ( Rel  ( S  _D  F )  /\  A. x E* y  x ( S  _D  F
) y ) )
563, 54, 55sylanbrc 417 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  Fun  ( S  _D  F
) )
5756funfnd 5259 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  _D  F )  Fn 
dom  ( S  _D  F ) )
58 vex 2752 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
5958elrn 4882 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  ( S  _D  F )  <->  E. x  x ( S  _D  F ) y )
6010, 6, 9dvcl 14448 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  x ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  CC )
6160ex 115 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
x ( S  _D  F ) y  -> 
y  e.  CC ) )
6261exlimdv 1829 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( E. x  x ( S  _D  F ) y  ->  y  e.  CC ) )
6359, 62biimtrid 152 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
y  e.  ran  ( S  _D  F )  -> 
y  e.  CC ) )
6463ssrdv 3173 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ran  ( S  _D  F
)  C_  CC )
65 df-f 5232 . 2  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC  <->  ( ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F )  /\  ran  ( S  _D  F
)  C_  CC )
)
6657, 64, 65sylanbrc 417 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1361    = wceq 1363   E.wex 1502   E*wmo 2037    e. wcel 2158   {crab 2469    C_ wss 3141   {cpr 3605   U.cuni 3821   class class class wbr 4015    |-> cmpt 4076   dom cdm 4638   ran crn 4639    o. ccom 4642   Rel wrel 4643   Fun wfun 5222    Fn wfn 5223   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888    ^pm cpm 6663   CCcc 7823   RRcr 7824    - cmin 8142   # cap 8552    / cdiv 8643   abscabs 11020   ↾t crest 12706   MetOpencmopn 13727   Topctop 13793  TopOnctopon 13806   intcnt 13889   lim CC climc 14419    _D cdv 14420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-map 6664  df-pm 6665  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-xneg 9786  df-xadd 9787  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-rest 12708  df-topgen 12727  df-psmet 13729  df-xmet 13730  df-met 13731  df-bl 13732  df-mopn 13733  df-top 13794  df-topon 13807  df-bases 13839  df-ntr 13892  df-limced 14421  df-dvap 14422
This theorem is referenced by:  dvfpm  14454  dvfcnpm  14455  dvaddxx  14463  dvmulxx  14464  dviaddf  14465  dvimulf  14466  dvmptclx  14476
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