Theorem dvfgg 13451

Description: Explicitly write out the functionality condition on derivative for S = RR and CC. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvfgg	|- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Proof of Theorem dvfgg

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnprss 13450	. . . . 5 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
2		reldvg 13442	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )
3	1, 2	sylan 281	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )
4		elpmi 6645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
5	4	simpld 111	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> F : dom F --> CC )
6	5	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> F : dom F --> CC )
7	6	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> F : dom F --> CC )
8	4	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> dom F C_ S )
9	8	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ S )
10	1	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S C_ CC )
11	9, 10	sstrd 3157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ CC )
12	11	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ CC )
13		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
14	13	cntoptopon 13326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
15		resttopon 12965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16	14, 15	mpan 422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ CC -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
17		topontop 12806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ CC -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
20		toponuni 12807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
21	16, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ CC -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
22	21	sseq2d 3177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ CC -> ( dom F C_ S <-> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
23	10, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( dom F C_ S <-> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
24	9, 23	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
25		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
26	25	ntrss2 12915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
27	19, 24, 26	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
28	27	sselda 3147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. dom F )
29	7, 12, 28	dvlemap 13443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) /\ z e. { w e. dom F | w # x } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) e. CC )
30	29	fmpttd 5651	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) : { w e. dom F | w # x } --> CC )
31		ssrab2 3232	. . . . . . . . . 10 |- { w e. dom F | w # x } C_ dom F
32	31, 12	sstrid 3158	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> { w e. dom F | w # x } C_ CC )
33	12, 28	sseldd 3148	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. CC )
34		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) )
35	27, 9	sstrd 3157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S )
36	35	sselda 3147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. S )
37	19	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
38	24	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
39	25	ntropn 12911	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
40	37, 38, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
41		simpll 524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> S e. { RR , CC } )
42		rabss2 3230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
43	27, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
44	43	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
45	30, 32, 33, 34, 36, 40, 41, 44, 13	limcimo 13428	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
46	45	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
47		moanimv 2094	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
48	46, 47	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
49		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
50		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
51	49, 13, 50, 10, 6, 9	eldvap 13445	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x ( S _D F ) y <-> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
52	51	mobidv 2055	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( E* y x ( S _D F ) y <-> E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
53	48, 52	mpbird 166	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> E* y x ( S _D F ) y )
54	53	alrimiv 1867	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> A. x E* y x ( S _D F ) y )
55		dffun6 5212	. . . 4 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( Rel ( S _D F ) /\ A. x E* y x ( S _D F ) y ) )
56	3, 54, 55	sylanbrc 415	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Fun ( S _D F ) )
57	56	funfnd 5229	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
58		vex 2733	. . . . 5 |- y e. _V
59	58	elrn 4854	. . . 4 |- ( y e. ran ( S _D F ) <-> E. x x ( S _D F ) y )
60	10, 6, 9	dvcl 13446	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
61	60	ex 114	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
62	61	exlimdv 1812	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( E. x x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
63	59, 62	syl5bi 151	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( y e. ran ( S _D F ) -> y e. CC ) )
64	63	ssrdv 3153	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ran ( S _D F ) C_ CC )
65		df-f 5202	. 2 |- ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> ( ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) /\ ran ( S _D F ) C_ CC ) )
66	57, 64, 65	sylanbrc 415	1 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   E*wmo 2020   e. wcel 2141   {crab 2452   C_ wss 3121   {cpr 3584   U.cuni 3796   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   dom cdm 4611   ran crn 4612   o. ccom 4615   Rel wrel 4616   Fun wfun 5192   Fn wfn 5193   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ^pm cpm 6627   CCcc 7772   RRcr 7773   - cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589   abscabs 10961   ↾_t crest 12579   MetOpencmopn 12779   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   intcnt 12887   lim CC climc 13417   _D cdv 13418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-pm 6629  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-limced 13419  df-dvap 13420

This theorem is referenced by:  dvfpm  13452  dvfcnpm  13453  dvaddxx  13461  dvmulxx  13462  dviaddf  13463  dvimulf  13464  dvmptclx  13474