Theorem dvfgg 14842

Description: Explicitly write out the functionality condition on derivative for S = RR and CC. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvfgg	|- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Proof of Theorem dvfgg

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnprss 14841	. . . . 5 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
2		reldvg 14833	. . . . 5 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Rel ( S _D F ) )
4		elpmi 6721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
5	4	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> F : dom F --> CC )
6	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> F : dom F --> CC )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> F : dom F --> CC )
8	4	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ( CC ^pm S ) -> dom F C_ S )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ S )
10	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> S C_ CC )
11	9, 10	sstrd 3189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ CC )
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ CC )
13		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
14	13	cntoptopon 14700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC )
15		resttopon 14339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16	14, 15	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ CC -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
17		topontop 14182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S C_ CC -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
20		toponuni 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
21	16, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ CC -> S = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
22	21	sseq2d 3209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ CC -> ( dom F C_ S <-> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
23	10, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( dom F C_ S <-> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) )
24	9, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
25		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
26	25	ntrss2 14289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
27	19, 24, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F )
28	27	sselda 3179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. dom F )
29	7, 12, 28	dvlemap 14834	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) /\ z e. { w e. dom F | w # x } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) e. CC )
30	29	fmpttd 5713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) : { w e. dom F | w # x } --> CC )
31		ssrab2 3264	. . . . . . . . . 10 |- { w e. dom F | w # x } C_ dom F
32	31, 12	sstrid 3190	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> { w e. dom F | w # x } C_ CC )
33	12, 28	sseldd 3180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. CC )
34		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) )
35	27, 9	sstrd 3189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ S )
36	35	sselda 3179	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> x e. S )
37	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top )
38	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
39	25	ntropn 14285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) e. Top /\ dom F C_ U. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
40	37, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) e. ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) )
41		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> S e. { RR , CC } )
42		rabss2 3262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) C_ dom F -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
43	27, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> { w e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) | w # x } C_ { w e. dom F | w # x } )
45	30, 32, 33, 34, 36, 40, 41, 44, 13	limcimo 14819	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) )
46	45	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
47		moanimv 2117	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) <-> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) -> E* y y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
48	46, 47	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) )
49		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) = ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S )
50		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) = ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) )
51	49, 13, 50, 10, 6, 9	eldvap 14836	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x ( S _D F ) y <-> ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
52	51	mobidv 2078	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( E* y x ( S _D F ) y <-> E* y ( x e. ( ( int ` ( ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) ↾t S ) ) ` dom F ) /\ y e. ( ( z e. { w e. dom F | w # x } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` x ) ) / ( z - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
53	48, 52	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> E* y x ( S _D F ) y )
54	53	alrimiv 1885	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> A. x E* y x ( S _D F ) y )
55		dffun6 5268	. . . 4 |- ( Fun ( S _D F ) <-> ( Rel ( S _D F ) /\ A. x E* y x ( S _D F ) y ) )
56	3, 54, 55	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> Fun ( S _D F ) )
57	56	funfnd 5285	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) )
58		vex 2763	. . . . 5 |- y e. _V
59	58	elrn 4905	. . . 4 |- ( y e. ran ( S _D F ) <-> E. x x ( S _D F ) y )
60	10, 6, 9	dvcl 14837	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ x ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
61	60	ex 115	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
62	61	exlimdv 1830	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( E. x x ( S _D F ) y -> y e. CC ) )
63	59, 62	biimtrid 152	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( y e. ran ( S _D F ) -> y e. CC ) )
64	63	ssrdv 3185	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ran ( S _D F ) C_ CC )
65		df-f 5258	. 2 |- ( ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC <-> ( ( S _D F ) Fn dom ( S _D F ) /\ ran ( S _D F ) C_ CC ) )
66	57, 64, 65	sylanbrc 417	1 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   E*wmo 2043   e. wcel 2164   {crab 2476   C_ wss 3153   {cpr 3619   U.cuni 3835   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   dom cdm 4659   ran crn 4660   o. ccom 4663   Rel wrel 4664   Fun wfun 5248   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   ^pm cpm 6703   CCcc 7870   RRcr 7871   - cmin 8190   # cap 8600   / cdiv 8691   abscabs 11141   ↾_t crest 12850   MetOpencmopn 14037   Topctop 14165  TopOnctopon 14178   intcnt 14261   lim CC climc 14808   _D cdv 14809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-pm 6705  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-ntr 14264  df-limced 14810  df-dvap 14811

This theorem is referenced by:  dvfpm  14843  dvfcnpm  14844  dvaddxx  14852  dvmulxx  14853  dviaddf  14854  dvimulf  14855  dvmptclx  14865