Theorem elrn2 4789

Description: Membership in a range. (Contributed by NM, 10-Jul-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
elrn2	|- ( A e. ran B <-> E. x <. x , A >. e. B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem elrn2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn.1	. 2 |- A e. _V
2		opeq2 3714	. . . 4 |- ( y = A -> <. x , y >. = <. x , A >. )
3	2	eleq1d 2209	. . 3 |- ( y = A -> ( <. x , y >. e. B <-> <. x , A >. e. B ) )
4	3	exbidv 1798	. 2 |- ( y = A -> ( E. x <. x , y >. e. B <-> E. x <. x , A >. e. B ) )
5		dfrn3 4736	. 2 |- ran B = { y | E. x <. x , y >. e. B }
6	1, 4, 5	elab2 2836	1 |- ( A e. ran B <-> E. x <. x , A >. e. B )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   <.cop 3535   ran crn 4548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558

This theorem is referenced by:  elrn  4790  dmrnssfld  4810  rniun  4957  rnxpid  4981  ssrnres  4989  relssdmrn  5067