Theorem elrn2 4904

Description: Membership in a range. (Contributed by NM, 10-Jul-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
elrn2	|- ( A e. ran B <-> E. x <. x , A >. e. B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem elrn2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn.1	. 2 |- A e. _V
2		opeq2 3805	. . . 4 |- ( y = A -> <. x , y >. = <. x , A >. )
3	2	eleq1d 2262	. . 3 |- ( y = A -> ( <. x , y >. e. B <-> <. x , A >. e. B ) )
4	3	exbidv 1836	. 2 |- ( y = A -> ( E. x <. x , y >. e. B <-> E. x <. x , A >. e. B ) )
5		dfrn3 4851	. 2 |- ran B = { y | E. x <. x , y >. e. B }
6	1, 4, 5	elab2 2908	1 |- ( A e. ran B <-> E. x <. x , A >. e. B )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   <.cop 3621   ran crn 4660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670

This theorem is referenced by:  elrn  4905  dmrnssfld  4925  rniun  5076  rnxpid  5100  ssrnres  5108  relssdmrn  5186