Theorem elrn2 4776

Description: Membership in a range. (Contributed by NM, 10-Jul-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
elrn2	|- ( A e. ran B <-> E. x <. x , A >. e. B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem elrn2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn.1	. 2 |- A e. _V
2		opeq2 3701	. . . 4 |- ( y = A -> <. x , y >. = <. x , A >. )
3	2	eleq1d 2206	. . 3 |- ( y = A -> ( <. x , y >. e. B <-> <. x , A >. e. B ) )
4	3	exbidv 1797	. 2 |- ( y = A -> ( E. x <. x , y >. e. B <-> E. x <. x , A >. e. B ) )
5		dfrn3 4723	. 2 |- ran B = { y | E. x <. x , y >. e. B }
6	1, 4, 5	elab2 2827	1 |- ( A e. ran B <-> E. x <. x , A >. e. B )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   <.cop 3525   ran crn 4535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545

This theorem is referenced by:  elrn  4777  dmrnssfld  4797  rniun  4944  rnxpid  4968  ssrnres  4976  relssdmrn  5054