Theorem elrn2 4690

Description: Membership in a range. (Contributed by NM, 10-Jul-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
elrn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
elrn2	|- ( A e. ran B <-> E. x <. x , A >. e. B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem elrn2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrn.1	. 2 |- A e. _V
2		opeq2 3629	. . . 4 |- ( y = A -> <. x , y >. = <. x , A >. )
3	2	eleq1d 2157	. . 3 |- ( y = A -> ( <. x , y >. e. B <-> <. x , A >. e. B ) )
4	3	exbidv 1754	. 2 |- ( y = A -> ( E. x <. x , y >. e. B <-> E. x <. x , A >. e. B ) )
5		dfrn3 4638	. 2 |- ran B = { y | E. x <. x , y >. e. B }
6	1, 4, 5	elab2 2764	1 |- ( A e. ran B <-> E. x <. x , A >. e. B )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1290   E.wex 1427   e. wcel 1439   _Vcvv 2620   <.cop 3453   ran crn 4452

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-br 3852  df-opab 3906  df-cnv 4459  df-dm 4461  df-rn 4462

This theorem is referenced by:  elrn  4691  dmrnssfld  4709  rniun  4855  rnxpid  4878  ssrnres  4886  relssdmrn  4964