Theorem fclim 11063

Description: The limit relation is function-like, and with range the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fclim	|- ~~> : dom ~~> --> CC

Proof of Theorem fclim

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 11049	. . . 4 |- Rel ~~>
2		climuni 11062	. . . . . . 7 |- ( ( x ~~> y /\ x ~~> z ) -> y = z )
3	2	ax-gen 1425	. . . . . 6 |- A. z ( ( x ~~> y /\ x ~~> z ) -> y = z )
4	3	ax-gen 1425	. . . . 5 |- A. y A. z ( ( x ~~> y /\ x ~~> z ) -> y = z )
5	4	ax-gen 1425	. . . 4 |- A. x A. y A. z ( ( x ~~> y /\ x ~~> z ) -> y = z )
6		dffun2 5133	. . . 4 |- ( Fun ~~> <-> ( Rel ~~> /\ A. x A. y A. z ( ( x ~~> y /\ x ~~> z ) -> y = z ) ) )
7	1, 5, 6	mpbir2an 926	. . 3 |- Fun ~~>
8		funfn 5153	. . 3 |- ( Fun ~~> <-> ~~> Fn dom ~~> )
9	7, 8	mpbi 144	. 2 |- ~~> Fn dom ~~>
10		vex 2689	. . . . 5 |- y e. _V
11	10	elrn 4782	. . . 4 |- ( y e. ran ~~> <-> E. x x ~~> y )
12		climcl 11051	. . . . 5 |- ( x ~~> y -> y e. CC )
13	12	exlimiv 1577	. . . 4 |- ( E. x x ~~> y -> y e. CC )
14	11, 13	sylbi 120	. . 3 |- ( y e. ran ~~> -> y e. CC )
15	14	ssriv 3101	. 2 |- ran ~~> C_ CC
16		df-f 5127	. 2 |- ( ~~> : dom ~~> --> CC <-> ( ~~> Fn dom ~~> /\ ran ~~> C_ CC ) )
17	9, 15, 16	mpbir2an 926	1 |- ~~> : dom ~~> --> CC

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1329   E.wex 1468   e. wcel 1480   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   ran crn 4540   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   -->wf 5119   CCcc 7618   ~~> cli 11047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048

This theorem is referenced by:  climdm  11064  sum0  11157  isumz  11158  fsumsersdc  11164  isumclim  11190  isumcl  11194