Theorem dffo4 5614

Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dffo4	|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dffo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo2 5395	. . 3 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ ran F = B ) )
2		simpl 108	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> F : A --> B )
3		vex 2715	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
4	3	elrn 4828	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ran F <-> E. x x F y )
5		eleq2 2221	. . . . . . . . 9 |- ( ran F = B -> ( y e. ran F <-> y e. B ) )
6	4, 5	bitr3id 193	. . . . . . . 8 |- ( ran F = B -> ( E. x x F y <-> y e. B ) )
7	6	biimpar 295	. . . . . . 7 |- ( ( ran F = B /\ y e. B ) -> E. x x F y )
8	7	adantll 468	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> E. x x F y )
9		ffn 5318	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
10		fnbr 5271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ x F y ) -> x e. A )
11	10	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ( x F y -> x e. A ) )
12	9, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> x e. A ) )
13	12	ancrd 324	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> ( x e. A /\ x F y ) ) )
14	13	eximdv 1860	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x ( x e. A /\ x F y ) ) )
15		df-rex 2441	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
16	14, 15	syl6ibr 161	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
17	16	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
18	8, 17	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> E. x e. A x F y )
19	18	ralrimiva 2530	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> A. y e. B E. x e. A x F y )
20	2, 19	jca 304	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
21	1, 20	sylbi 120	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
22		fnbrfvb 5508	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
23	22	biimprd 157	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( x F y -> ( F ` x ) = y ) )
24		eqcom 2159	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = y <-> y = ( F ` x ) )
25	23, 24	syl6ib 160	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( x F y -> y = ( F ` x ) ) )
26	9, 25	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( x F y -> y = ( F ` x ) ) )
27	26	reximdva 2559	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( E. x e. A x F y -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
28	27	ralimdv 2525	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( A. y e. B E. x e. A x F y -> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
29	28	imdistani 442	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
30		dffo3 5613	. . 3 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
31	29, 30	sylibr 133	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> F : A -onto-> B )
32	21, 31	impbii 125	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   class class class wbr 3965   ran crn 4586   Fn wfn 5164   -->wf 5165   -onto->wfo 5167   ` cfv 5169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fo 5175  df-fv 5177

This theorem is referenced by:  dffo5  5615