Theorem dffo4 5644

Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dffo4	|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dffo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo2 5424	. . 3 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ ran F = B ) )
2		simpl 108	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> F : A --> B )
3		vex 2733	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
4	3	elrn 4854	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ran F <-> E. x x F y )
5		eleq2 2234	. . . . . . . . 9 |- ( ran F = B -> ( y e. ran F <-> y e. B ) )
6	4, 5	bitr3id 193	. . . . . . . 8 |- ( ran F = B -> ( E. x x F y <-> y e. B ) )
7	6	biimpar 295	. . . . . . 7 |- ( ( ran F = B /\ y e. B ) -> E. x x F y )
8	7	adantll 473	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> E. x x F y )
9		ffn 5347	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
10		fnbr 5300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ x F y ) -> x e. A )
11	10	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ( x F y -> x e. A ) )
12	9, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> x e. A ) )
13	12	ancrd 324	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> ( x e. A /\ x F y ) ) )
14	13	eximdv 1873	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x ( x e. A /\ x F y ) ) )
15		df-rex 2454	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
16	14, 15	syl6ibr 161	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
17	16	ad2antrr 485	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
18	8, 17	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> E. x e. A x F y )
19	18	ralrimiva 2543	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> A. y e. B E. x e. A x F y )
20	2, 19	jca 304	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
21	1, 20	sylbi 120	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
22		fnbrfvb 5537	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
23	22	biimprd 157	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( x F y -> ( F ` x ) = y ) )
24		eqcom 2172	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = y <-> y = ( F ` x ) )
25	23, 24	syl6ib 160	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( x F y -> y = ( F ` x ) ) )
26	9, 25	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( x F y -> y = ( F ` x ) ) )
27	26	reximdva 2572	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( E. x e. A x F y -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
28	27	ralimdv 2538	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( A. y e. B E. x e. A x F y -> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
29	28	imdistani 443	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
30		dffo3 5643	. . 3 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
31	29, 30	sylibr 133	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> F : A -onto-> B )
32	21, 31	impbii 125	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   class class class wbr 3989   ran crn 4612   Fn wfn 5193   -->wf 5194   -onto->wfo 5196   ` cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fo 5204  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  dffo5  5645