Theorem dffo4 5727

Description: Alternate definition of an onto mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dffo4	|- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem dffo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo2 5501	. . 3 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ ran F = B ) )
2		simpl 109	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> F : A --> B )
3		vex 2774	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
4	3	elrn 4920	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ran F <-> E. x x F y )
5		eleq2 2268	. . . . . . . . 9 |- ( ran F = B -> ( y e. ran F <-> y e. B ) )
6	4, 5	bitr3id 194	. . . . . . . 8 |- ( ran F = B -> ( E. x x F y <-> y e. B ) )
7	6	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( ran F = B /\ y e. B ) -> E. x x F y )
8	7	adantll 476	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> E. x x F y )
9		ffn 5424	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
10		fnbr 5377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn A /\ x F y ) -> x e. A )
11	10	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn A -> ( x F y -> x e. A ) )
12	9, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> x e. A ) )
13	12	ancrd 326	. . . . . . . . 9 |- ( F : A --> B -> ( x F y -> ( x e. A /\ x F y ) ) )
14	13	eximdv 1902	. . . . . . . 8 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x ( x e. A /\ x F y ) ) )
15		df-rex 2489	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A x F y <-> E. x ( x e. A /\ x F y ) )
16	14, 15	imbitrrdi 162	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> ( E. x x F y -> E. x e. A x F y ) )
18	8, 17	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) /\ y e. B ) -> E. x e. A x F y )
19	18	ralrimiva 2578	. . . 4 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> A. y e. B E. x e. A x F y )
20	2, 19	jca 306	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ ran F = B ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
21	1, 20	sylbi 121	. 2 |- ( F : A -onto-> B -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )
22		fnbrfvb 5618	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( ( F ` x ) = y <-> x F y ) )
23	22	biimprd 158	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( x F y -> ( F ` x ) = y ) )
24		eqcom 2206	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = y <-> y = ( F ` x ) )
25	23, 24	imbitrdi 161	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn A /\ x e. A ) -> ( x F y -> y = ( F ` x ) ) )
26	9, 25	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ x e. A ) -> ( x F y -> y = ( F ` x ) ) )
27	26	reximdva 2607	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( E. x e. A x F y -> E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
28	27	ralimdv 2573	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( A. y e. B E. x e. A x F y -> A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
29	28	imdistani 445	. . 3 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
30		dffo3 5726	. . 3 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A y = ( F ` x ) ) )
31	29, 30	sylibr 134	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) -> F : A -onto-> B )
32	21, 31	impbii 126	1 |- ( F : A -onto-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y e. B E. x e. A x F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   class class class wbr 4043   ran crn 4675   Fn wfn 5265   -->wf 5266   -onto->wfo 5268   ` cfv 5270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fo 5276  df-fv 5278

This theorem is referenced by:  dffo5  5728