Theorem nnnninf2 7124

Description: Canonical embedding of suc om into ℕ_∞. (Contributed by BJ, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf2	|- ( N e. suc om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Distinct variable group:   i, N

Proof of Theorem nnnninf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4403	. 2 |- ( N e. suc om -> ( N e. om \/ N = om ) )
2		nnnninf 7123	. . 3 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
3		iftrue 3539	. . . . . . 7 |- ( i e. om -> if ( i e. om , 1o , (/) ) = 1o )
4	3	eqcomd 2183	. . . . . 6 |- ( i e. om -> 1o = if ( i e. om , 1o , (/) ) )
5		eleq2 2241	. . . . . . . 8 |- ( N = om -> ( i e. N <-> i e. om ) )
6	5	ifbid 3555	. . . . . . 7 |- ( N = om -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( i e. om , 1o , (/) ) )
7	6	eqcomd 2183	. . . . . 6 |- ( N = om -> if ( i e. om , 1o , (/) ) = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
8	4, 7	sylan9eqr 2232	. . . . 5 |- ( ( N = om /\ i e. om ) -> 1o = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
9	8	mpteq2dva 4093	. . . 4 |- ( N = om -> ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
10		infnninf 7121	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
11	9, 10	eqeltrrdi 2269	. . 3 |- ( N = om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
12	2, 11	jaoi 716	. 2 |- ( ( N e. om \/ N = om ) -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
13	1, 12	syl 14	1 |- ( N e. suc om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   (/)c0 3422   ifcif 3534   |-> cmpt 4064   suc csuc 4365   omcom 4589   1oc1o 6409  ℕ_∞xnninf 7117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1o 6416  df-2o 6417  df-map 6649  df-nninf 7118

This theorem is referenced by: (None)