Theorem nnnninf2 7467

Description: Canonical embedding of suc om into ℕ_∞. (Contributed by BJ, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf2	|- ( N e. suc om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Distinct variable group:   i, N

Proof of Theorem nnnninf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4548	. 2 |- ( N e. suc om -> ( N e. om \/ N = om ) )
2		nnnninf 7466	. . 3 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
3		iftrue 3645	. . . . . . 7 |- ( i e. om -> if ( i e. om , 1o , (/) ) = 1o )
4	3	eqcomd 2244	. . . . . 6 |- ( i e. om -> 1o = if ( i e. om , 1o , (/) ) )
5		eleq2 2302	. . . . . . . 8 |- ( N = om -> ( i e. N <-> i e. om ) )
6	5	ifbid 3662	. . . . . . 7 |- ( N = om -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( i e. om , 1o , (/) ) )
7	6	eqcomd 2244	. . . . . 6 |- ( N = om -> if ( i e. om , 1o , (/) ) = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
8	4, 7	sylan9eqr 2293	. . . . 5 |- ( ( N = om /\ i e. om ) -> 1o = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
9	8	mpteq2dva 4221	. . . 4 |- ( N = om -> ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
10		infnninf 7464	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
11	9, 10	eqeltrrdi 2330	. . 3 |- ( N = om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
12	2, 11	jaoi 728	. 2 |- ( ( N e. om \/ N = om ) -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
13	1, 12	syl 14	1 |- ( N e. suc om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   ifcif 3638   |-> cmpt 4192   suc csuc 4510   omcom 4737   1oc1o 6680  ℕ_∞xnninf 7459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1o 6687  df-2o 6688  df-map 6924  df-nninf 7460

This theorem is used by: (None)