Theorem nnnninf2 7255

Description: Canonical embedding of suc om into ℕ_∞. (Contributed by BJ, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf2	|- ( N e. suc om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Distinct variable group:   i, N

Proof of Theorem nnnninf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4468	. 2 |- ( N e. suc om -> ( N e. om \/ N = om ) )
2		nnnninf 7254	. . 3 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
3		iftrue 3584	. . . . . . 7 |- ( i e. om -> if ( i e. om , 1o , (/) ) = 1o )
4	3	eqcomd 2213	. . . . . 6 |- ( i e. om -> 1o = if ( i e. om , 1o , (/) ) )
5		eleq2 2271	. . . . . . . 8 |- ( N = om -> ( i e. N <-> i e. om ) )
6	5	ifbid 3601	. . . . . . 7 |- ( N = om -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( i e. om , 1o , (/) ) )
7	6	eqcomd 2213	. . . . . 6 |- ( N = om -> if ( i e. om , 1o , (/) ) = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
8	4, 7	sylan9eqr 2262	. . . . 5 |- ( ( N = om /\ i e. om ) -> 1o = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
9	8	mpteq2dva 4150	. . . 4 |- ( N = om -> ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
10		infnninf 7252	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
11	9, 10	eqeltrrdi 2299	. . 3 |- ( N = om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
12	2, 11	jaoi 718	. 2 |- ( ( N e. om \/ N = om ) -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
13	1, 12	syl 14	1 |- ( N e. suc om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   (/)c0 3468   ifcif 3579   |-> cmpt 4121   suc csuc 4430   omcom 4656   1oc1o 6518  ℕ_∞xnninf 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1o 6525  df-2o 6526  df-map 6760  df-nninf 7248

This theorem is referenced by: (None)