Theorem nnnninf2 7064

Description: Canonical embedding of suc om into ℕ_∞. (Contributed by BJ, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf2	|- ( N e. suc om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Distinct variable group:   i, N

Proof of Theorem nnnninf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4363	. 2 |- ( N e. suc om -> ( N e. om \/ N = om ) )
2		nnnninf 7063	. . 3 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
3		iftrue 3510	. . . . . . 7 |- ( i e. om -> if ( i e. om , 1o , (/) ) = 1o )
4	3	eqcomd 2163	. . . . . 6 |- ( i e. om -> 1o = if ( i e. om , 1o , (/) ) )
5		eleq2 2221	. . . . . . . 8 |- ( N = om -> ( i e. N <-> i e. om ) )
6	5	ifbid 3526	. . . . . . 7 |- ( N = om -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( i e. om , 1o , (/) ) )
7	6	eqcomd 2163	. . . . . 6 |- ( N = om -> if ( i e. om , 1o , (/) ) = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
8	4, 7	sylan9eqr 2212	. . . . 5 |- ( ( N = om /\ i e. om ) -> 1o = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
9	8	mpteq2dva 4054	. . . 4 |- ( N = om -> ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
10		infnninf 7061	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
11	9, 10	eqeltrrdi 2249	. . 3 |- ( N = om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
12	2, 11	jaoi 706	. 2 |- ( ( N e. om \/ N = om ) -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
13	1, 12	syl 14	1 |- ( N e. suc om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 698   = wceq 1335   e. wcel 2128   (/)c0 3394   ifcif 3505   |-> cmpt 4025   suc csuc 4325   omcom 4548   1oc1o 6353  ℕ_∞xnninf 7057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1o 6360  df-2o 6361  df-map 6592  df-nninf 7058

This theorem is referenced by: (None)