Theorem nnnninf2 7294

Description: Canonical embedding of suc om into ℕ_∞. (Contributed by BJ, 10-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnnninf2	|- ( N e. suc om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Distinct variable group:   i, N

Proof of Theorem nnnninf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4494	. 2 |- ( N e. suc om -> ( N e. om \/ N = om ) )
2		nnnninf 7293	. . 3 |- ( N e. om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
3		iftrue 3607	. . . . . . 7 |- ( i e. om -> if ( i e. om , 1o , (/) ) = 1o )
4	3	eqcomd 2235	. . . . . 6 |- ( i e. om -> 1o = if ( i e. om , 1o , (/) ) )
5		eleq2 2293	. . . . . . . 8 |- ( N = om -> ( i e. N <-> i e. om ) )
6	5	ifbid 3624	. . . . . . 7 |- ( N = om -> if ( i e. N , 1o , (/) ) = if ( i e. om , 1o , (/) ) )
7	6	eqcomd 2235	. . . . . 6 |- ( N = om -> if ( i e. om , 1o , (/) ) = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
8	4, 7	sylan9eqr 2284	. . . . 5 |- ( ( N = om /\ i e. om ) -> 1o = if ( i e. N , 1o , (/) ) )
9	8	mpteq2dva 4174	. . . 4 |- ( N = om -> ( i e. om |-> 1o ) = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
10		infnninf 7291	. . . 4 |- ( i e. om |-> 1o ) e. ℕ∞
11	9, 10	eqeltrrdi 2321	. . 3 |- ( N = om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
12	2, 11	jaoi 721	. 2 |- ( ( N e. om \/ N = om ) -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )
13	1, 12	syl 14	1 |- ( N e. suc om -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) e. ℕ∞ )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   (/)c0 3491   ifcif 3602   |-> cmpt 4145   suc csuc 4456   omcom 4682   1oc1o 6555  ℕ_∞xnninf 7286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1o 6562  df-2o 6563  df-map 6797  df-nninf 7287

This theorem is referenced by: (None)