Theorem elsuci 4403

Description: Membership in a successor. This one-way implication does not require that either 𝐴 or 𝐵 be sets. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elsuci	⊢ (𝐴 ∈ suc 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem elsuci

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4371	. . . 4 ⊢ suc 𝐵 = (𝐵 ∪ {𝐵})
2	1	eleq2i 2244	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (𝐵 ∪ {𝐵}))
3		elun 3276	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∪ {𝐵}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ {𝐵}))
4	2, 3	bitri 184	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ {𝐵}))
5		elsni 3610	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵} → 𝐴 = 𝐵)
6	5	orim2i 761	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 ∈ {𝐵}) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
7	4, 6	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ suc 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3127  {csn 3592  suc csuc 4365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-sn 3598  df-suc 4371

This theorem is referenced by:  trsucss  4423  onsucelsucexmid  4529  ordsoexmid  4561  ordsuc  4562  ordpwsucexmid  4569  nnsucelsuc  6491  nntri3or  6493  nnmordi  6516  nnaordex  6528  phplem3  6853  nnnninf2  7124  3nelsucpw1  7232  3nsssucpw1  7234