Theorem phplem3 6933

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. For a version without the redundant hypotheses, see phplem3g 6935. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	|- A e. _V
phplem2.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
phplem3	|- ( ( A e. om /\ B e. suc A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Proof of Theorem phplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4448	. 2 |- ( B e. suc A -> ( B e. A \/ B = A ) )
2		phplem2.1	. . . 4 |- A e. _V
3		phplem2.2	. . . 4 |- B e. _V
4	2, 3	phplem2 6932	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
5	2	enref 6842	. . . 4 |- A ~~ A
6		nnord 4658	. . . . . 6 |- ( A e. om -> Ord A )
7		orddif 4593	. . . . . 6 |- ( Ord A -> A = ( suc A \ { A } ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. om -> A = ( suc A \ { A } ) )
9		sneq 3643	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A } = { B } )
10	9	difeq2d 3290	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( suc A \ { A } ) = ( suc A \ { B } ) )
11	10	eqcoms 2207	. . . . 5 |- ( B = A -> ( suc A \ { A } ) = ( suc A \ { B } ) )
12	8, 11	sylan9eq 2257	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> A = ( suc A \ { B } ) )
13	5, 12	breqtrid 4080	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
14	4, 13	jaodan 798	. 2 |- ( ( A e. om /\ ( B e. A \/ B = A ) ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
15	1, 14	sylan2 286	1 |- ( ( A e. om /\ B e. suc A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1372   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   \ cdif 3162   {csn 3632   class class class wbr 4043   Ord word 4407   suc csuc 4410   omcom 4636   ~~ cen 6815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-tr 4142  df-id 4338  df-iord 4411  df-on 4413  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-en 6818

This theorem is referenced by:  phplem4  6934  phplem3g  6935