Theorem phplem3 6856

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. For a version without the redundant hypotheses, see phplem3g 6858. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	|- A e. _V
phplem2.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
phplem3	|- ( ( A e. om /\ B e. suc A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Proof of Theorem phplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4405	. 2 |- ( B e. suc A -> ( B e. A \/ B = A ) )
2		phplem2.1	. . . 4 |- A e. _V
3		phplem2.2	. . . 4 |- B e. _V
4	2, 3	phplem2 6855	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
5	2	enref 6767	. . . 4 |- A ~~ A
6		nnord 4613	. . . . . 6 |- ( A e. om -> Ord A )
7		orddif 4548	. . . . . 6 |- ( Ord A -> A = ( suc A \ { A } ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. om -> A = ( suc A \ { A } ) )
9		sneq 3605	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A } = { B } )
10	9	difeq2d 3255	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( suc A \ { A } ) = ( suc A \ { B } ) )
11	10	eqcoms 2180	. . . . 5 |- ( B = A -> ( suc A \ { A } ) = ( suc A \ { B } ) )
12	8, 11	sylan9eq 2230	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> A = ( suc A \ { B } ) )
13	5, 12	breqtrid 4042	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
14	4, 13	jaodan 797	. 2 |- ( ( A e. om /\ ( B e. A \/ B = A ) ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
15	1, 14	sylan2 286	1 |- ( ( A e. om /\ B e. suc A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   \ cdif 3128   {csn 3594   class class class wbr 4005   Ord word 4364   suc csuc 4367   omcom 4591   ~~ cen 6740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-en 6743

This theorem is referenced by:  phplem4  6857  phplem3g  6858