Theorem phplem3 6568

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. For a version without the redundant hypotheses, see phplem3g 6570. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	|- A e. _V
phplem2.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
phplem3	|- ( ( A e. om /\ B e. suc A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Proof of Theorem phplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4230	. 2 |- ( B e. suc A -> ( B e. A \/ B = A ) )
2		phplem2.1	. . . 4 |- A e. _V
3		phplem2.2	. . . 4 |- B e. _V
4	2, 3	phplem2 6567	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
5	2	enref 6480	. . . 4 |- A ~~ A
6		nnord 4426	. . . . . 6 |- ( A e. om -> Ord A )
7		orddif 4363	. . . . . 6 |- ( Ord A -> A = ( suc A \ { A } ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. om -> A = ( suc A \ { A } ) )
9		sneq 3457	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A } = { B } )
10	9	difeq2d 3118	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( suc A \ { A } ) = ( suc A \ { B } ) )
11	10	eqcoms 2091	. . . . 5 |- ( B = A -> ( suc A \ { A } ) = ( suc A \ { B } ) )
12	8, 11	sylan9eq 2140	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> A = ( suc A \ { B } ) )
13	5, 12	syl5breq 3880	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
14	4, 13	jaodan 746	. 2 |- ( ( A e. om /\ ( B e. A \/ B = A ) ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
15	1, 14	sylan2 280	1 |- ( ( A e. om /\ B e. suc A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 664   = wceq 1289   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   \ cdif 2996   {csn 3446   class class class wbr 3845   Ord word 4189   suc csuc 4192   omcom 4405   ~~ cen 6453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-en 6456

This theorem is referenced by:  phplem4  6569  phplem3g  6570