Theorem phplem3 6966

Description: Lemma for Pigeonhole Principle. A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. For a version without the redundant hypotheses, see phplem3g 6968. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
phplem2.1	|- A e. _V
phplem2.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
phplem3	|- ( ( A e. om /\ B e. suc A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Proof of Theorem phplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsuci 4458	. 2 |- ( B e. suc A -> ( B e. A \/ B = A ) )
2		phplem2.1	. . . 4 |- A e. _V
3		phplem2.2	. . . 4 |- B e. _V
4	2, 3	phplem2 6965	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
5	2	enref 6869	. . . 4 |- A ~~ A
6		nnord 4668	. . . . . 6 |- ( A e. om -> Ord A )
7		orddif 4603	. . . . . 6 |- ( Ord A -> A = ( suc A \ { A } ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. om -> A = ( suc A \ { A } ) )
9		sneq 3649	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A } = { B } )
10	9	difeq2d 3295	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( suc A \ { A } ) = ( suc A \ { B } ) )
11	10	eqcoms 2209	. . . . 5 |- ( B = A -> ( suc A \ { A } ) = ( suc A \ { B } ) )
12	8, 11	sylan9eq 2259	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> A = ( suc A \ { B } ) )
13	5, 12	breqtrid 4088	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
14	4, 13	jaodan 799	. 2 |- ( ( A e. om /\ ( B e. A \/ B = A ) ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )
15	1, 14	sylan2 286	1 |- ( ( A e. om /\ B e. suc A ) -> A ~~ ( suc A \ { B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   \ cdif 3167   {csn 3638   class class class wbr 4051   Ord word 4417   suc csuc 4420   omcom 4646   ~~ cen 6838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-en 6841

This theorem is referenced by:  phplem4  6967  phplem3g  6968