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Theorem nnaordex 6389
Description: Equivalence for ordering. Compare Exercise 23 of [Enderton] p. 88. (Contributed by NM, 5-Dec-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaordex  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nnaordex
Dummy variables  b  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2179 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A  e.  b  <->  A  e.  B ) )
2 eqeq2 2125 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  +o  x
)  =  b  <->  ( A  +o  x )  =  B ) )
32anbi2d 457 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b )  <-> 
( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
43rexbidv 2413 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b )  <->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
51, 4imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  b  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b ) )  <->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) ) )
65imbi2d 229 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  e.  b  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b ) ) )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) ) ) )
7 eleq2 2179 . . . . . 6  |-  ( b  =  (/)  ->  ( A  e.  b  <->  A  e.  (/) ) )
8 eqeq2 2125 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x )  =  b  <->  ( A  +o  x )  =  (/) ) )
98anbi2d 457 . . . . . . 7  |-  ( b  =  (/)  ->  ( (
(/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b )  <-> 
( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  (/) ) ) )
109rexbidv 2413 . . . . . 6  |-  ( b  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  b )  <->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  (/) ) ) )
117, 10imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( b  =  (/)  ->  ( ( A  e.  b  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b ) )  <->  ( A  e.  (/)  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  (/) ) ) ) )
12 eleq2 2179 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  ( A  e.  b  <->  A  e.  y ) )
13 eqeq2 2125 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  =  b  <->  ( A  +o  x )  =  y ) )
1413anbi2d 457 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b )  <-> 
( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )
1514rexbidv 2413 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  ( E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b )  <->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )
1612, 15imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
( A  e.  b  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b ) )  <->  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) ) )
17 eleq2 2179 . . . . . 6  |-  ( b  =  suc  y  -> 
( A  e.  b  <-> 
A  e.  suc  y
) )
18 eqeq2 2125 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  =  b  <-> 
( A  +o  x
)  =  suc  y
) )
1918anbi2d 457 . . . . . . 7  |-  ( b  =  suc  y  -> 
( ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b )  <-> 
( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) )
2019rexbidv 2413 . . . . . 6  |-  ( b  =  suc  y  -> 
( E. x  e. 
om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b )  <->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) )
2117, 20imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( b  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  b  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b ) )  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) ) )
22 noel 3335 . . . . . . 7  |-  -.  A  e.  (/)
2322pm2.21i 618 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (/)  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  (/) ) )
2423a1i 9 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  (/)  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  (/) ) ) )
25 elsuci 4293 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  suc  y  -> 
( A  e.  y  \/  A  =  y ) )
26 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )  ->  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  y ) ) )
27 peano2 4477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  om  ->  suc  x  e.  om )
2827ad2antlr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  /\  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) )  ->  suc  x  e. 
om )
29 elelsuc 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  e.  x  ->  (/)  e.  suc  x )
3029a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( (/)  e.  x  -> 
(/)  e.  suc  x ) )
31 nnasuc 6338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  ( A  +o  x
) )
32 suceq 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  +o  x )  =  y  ->  suc  ( A  +o  x
)  =  suc  y
)
3331, 32sylan9eq 2168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  y )
3433ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( ( A  +o  x )  =  y  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  y ) )
3530, 34anim12d 331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  ( (/)  e.  suc  x  /\  ( A  +o  suc  x )  =  suc  y ) ) )
3635imp 123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  /\  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) )  ->  ( (/)  e.  suc  x  /\  ( A  +o  suc  x )  =  suc  y ) )
37 eleq2 2179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( (/)  e.  z  <->  (/)  e.  suc  x ) )
38 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( A  +o  z
)  =  ( A  +o  suc  x ) )
3938eqeq1d 2124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( ( A  +o  z )  =  suc  y 
<->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  y ) )
4037, 39anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  suc  x  -> 
( ( (/)  e.  z  /\  ( A  +o  z )  =  suc  y )  <->  ( (/)  e.  suc  x  /\  ( A  +o  suc  x )  =  suc  y ) ) )
4140rspcev 2761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( suc  x  e.  om  /\  ( (/)  e.  suc  x  /\  ( A  +o  suc  x )  =  suc  y ) )  ->  E. z  e.  om  ( (/)  e.  z  /\  ( A  +o  z
)  =  suc  y
) )
4228, 36, 41syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  /\  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) )  ->  E. z  e.  om  ( (/)  e.  z  /\  ( A  +o  z )  =  suc  y ) )
4342ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  E. z  e.  om  ( (/)  e.  z  /\  ( A  +o  z
)  =  suc  y
) ) )
4443rexlimdva 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  E. z  e.  om  ( (/)  e.  z  /\  ( A  +o  z
)  =  suc  y
) ) )
45 eleq2 2179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( (/) 
e.  z  <->  (/)  e.  x
) )
46 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( A  +o  z )  =  ( A  +o  x
) )
4746eqeq1d 2124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( A  +o  z
)  =  suc  y  <->  ( A  +o  x )  =  suc  y ) )
4845, 47anbi12d 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( (/)  e.  z  /\  ( A  +o  z
)  =  suc  y
)  <->  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) )
4948cbvrexv 2630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  om  ( (/) 
e.  z  /\  ( A  +o  z )  =  suc  y )  <->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) )
5044, 49syl6ib 160 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) )
5150ad2antlr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )  ->  ( E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y )  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) )
5226, 51syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )  ->  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  suc  y ) ) )
53 0lt1o 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  1o
5453a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  A  =  y )  -> 
(/)  e.  1o )
55 nnon 4491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
56 oa1suc 6329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  1o )  =  suc  A )
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  1o )  =  suc  A )
58 suceq 4292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  y  ->  suc  A  =  suc  y )
5957, 58sylan9eq 2168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  A  =  y )  ->  ( A  +o  1o )  =  suc  y )
60 1onn 6382 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  om
61 eleq2 2179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1o  ->  ( (/) 
e.  x  <->  (/)  e.  1o ) )
62 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1o  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  1o ) )
6362eqeq1d 2124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1o  ->  (
( A  +o  x
)  =  suc  y  <->  ( A  +o  1o )  =  suc  y ) )
6461, 63anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1o  ->  (
( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
)  <->  ( (/)  e.  1o  /\  ( A  +o  1o )  =  suc  y ) ) )
6564rspcev 2761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  ( (/)  e.  1o  /\  ( A  +o  1o )  =  suc  y ) )  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) )
6660, 65mpan 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  1o  /\  ( A  +o  1o )  =  suc  y )  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) )
6754, 59, 66syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  A  =  y )  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) )
6867ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  =  y  ->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  suc  y ) ) )
6968ad2antlr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )  ->  ( A  =  y  ->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  suc  y ) ) )
7052, 69jaod 689 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )  ->  (
( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) )
7125, 70syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) )
7271exp31 359 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( A  e.  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  suc  y
) ) ) ) )
7311, 16, 21, 24, 72finds2 4483 . . . 4  |-  ( b  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  b  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  b ) ) ) )
746, 73vtoclga 2724 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) ) )
7574impcom 124 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B ) ) )
76 peano1 4476 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
77 nnaord 6371 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  x  e.  om  /\  A  e. 
om )  ->  ( (/) 
e.  x  <->  ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  x ) ) )
7876, 77mp3an1 1285 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( (/)  e.  x  <->  ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  x
) ) )
7978ancoms 266 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( (/)  e.  x  <->  ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  x
) ) )
80 nna0 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
8180adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
8281eleq1d 2184 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( ( A  +o  (/) )  e.  ( A  +o  x )  <->  A  e.  ( A  +o  x
) ) )
8379, 82bitrd 187 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( (/)  e.  x  <->  A  e.  ( A  +o  x ) ) )
8483anbi1d 458 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  <-> 
( A  e.  ( A  +o  x )  /\  ( A  +o  x )  =  B ) ) )
85 eleq2 2179 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  x )  =  B  ->  ( A  e.  ( A  +o  x )  <->  A  e.  B ) )
8685biimpac 294 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( A  +o  x )  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  ->  A  e.  B
)
8784, 86syl6bi 162 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  ->  A  e.  B
) )
8887rexlimdva 2524 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  ->  A  e.  B
) )
8988adantr 272 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( E. x  e. 
om  ( (/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  ->  A  e.  B
) )
9075, 89impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1314    e. wcel 1463   E.wrex 2392   (/)c0 3331   Oncon0 4253   suc csuc 4255   omcom 4472  (class class class)co 5740   1oc1o 6272    +o coa 6276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-oadd 6283
This theorem is referenced by:  nnawordex  6390  ltexpi  7109
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