Theorem nnaordex 6467

Description: Equivalence for ordering. Compare Exercise 23 of [Enderton] p. 88. (Contributed by NM, 5-Dec-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaordex	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem nnaordex

Dummy variables b y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2221	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( A e. b <-> A e. B ) )
2		eqeq2 2167	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( ( A +o x ) = b <-> ( A +o x ) = B ) )
3	2	anbi2d 460	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
4	3	rexbidv 2458	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
5	1, 4	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( A e. b -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) ) <-> ( A e. B -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) ) )
6	5	imbi2d 229	. . . 4 |- ( b = B -> ( ( A e. om -> ( A e. b -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) ) ) <-> ( A e. om -> ( A e. B -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) ) ) )
7		eleq2 2221	. . . . . 6 |- ( b = (/) -> ( A e. b <-> A e. (/) ) )
8		eqeq2 2167	. . . . . . . 8 |- ( b = (/) -> ( ( A +o x ) = b <-> ( A +o x ) = (/) ) )
9	8	anbi2d 460	. . . . . . 7 |- ( b = (/) -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = (/) ) ) )
10	9	rexbidv 2458	. . . . . 6 |- ( b = (/) -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = (/) ) ) )
11	7, 10	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( b = (/) -> ( ( A e. b -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) ) <-> ( A e. (/) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = (/) ) ) ) )
12		eleq2 2221	. . . . . 6 |- ( b = y -> ( A e. b <-> A e. y ) )
13		eqeq2 2167	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> ( ( A +o x ) = b <-> ( A +o x ) = y ) )
14	13	anbi2d 460	. . . . . . 7 |- ( b = y -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) )
15	14	rexbidv 2458	. . . . . 6 |- ( b = y -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) )
16	12, 15	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( b = y -> ( ( A e. b -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) ) <-> ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) ) )
17		eleq2 2221	. . . . . 6 |- ( b = suc y -> ( A e. b <-> A e. suc y ) )
18		eqeq2 2167	. . . . . . . 8 |- ( b = suc y -> ( ( A +o x ) = b <-> ( A +o x ) = suc y ) )
19	18	anbi2d 460	. . . . . . 7 |- ( b = suc y -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
20	19	rexbidv 2458	. . . . . 6 |- ( b = suc y -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
21	17, 20	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( b = suc y -> ( ( A e. b -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) ) <-> ( A e. suc y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) ) )
22		noel 3398	. . . . . . 7 |- -. A e. (/)
23	22	pm2.21i 636	. . . . . 6 |- ( A e. (/) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = (/) ) )
24	23	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( A e. (/) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = (/) ) ) )
25		elsuci 4362	. . . . . . 7 |- ( A e. suc y -> ( A e. y \/ A = y ) )
26		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ A e. om ) /\ ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) ) -> ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) )
27		peano2 4552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. om -> suc x e. om )
28	27	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. om /\ x e. om ) /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) -> suc x e. om )
29		elelsuc 4368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (/) e. x -> (/) e. suc x )
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( (/) e. x -> (/) e. suc x ) )
31		nnasuc 6416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( A +o suc x ) = suc ( A +o x ) )
32		suceq 4361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A +o x ) = y -> suc ( A +o x ) = suc y )
33	31, 32	sylan9eq 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. om /\ x e. om ) /\ ( A +o x ) = y ) -> ( A +o suc x ) = suc y )
34	33	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( A +o x ) = y -> ( A +o suc x ) = suc y ) )
35	30, 34	anim12d 333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) -> ( (/) e. suc x /\ ( A +o suc x ) = suc y ) ) )
36	35	imp 123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. om /\ x e. om ) /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) -> ( (/) e. suc x /\ ( A +o suc x ) = suc y ) )
37		eleq2 2221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = suc x -> ( (/) e. z <-> (/) e. suc x ) )
38		oveq2 5826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = suc x -> ( A +o z ) = ( A +o suc x ) )
39	38	eqeq1d 2166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = suc x -> ( ( A +o z ) = suc y <-> ( A +o suc x ) = suc y ) )
40	37, 39	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = suc x -> ( ( (/) e. z /\ ( A +o z ) = suc y ) <-> ( (/) e. suc x /\ ( A +o suc x ) = suc y ) ) )
41	40	rspcev 2816	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( suc x e. om /\ ( (/) e. suc x /\ ( A +o suc x ) = suc y ) ) -> E. z e. om ( (/) e. z /\ ( A +o z ) = suc y ) )
42	28, 36, 41	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. om /\ x e. om ) /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) -> E. z e. om ( (/) e. z /\ ( A +o z ) = suc y ) )
43	42	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) -> E. z e. om ( (/) e. z /\ ( A +o z ) = suc y ) ) )
44	43	rexlimdva 2574	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. om -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) -> E. z e. om ( (/) e. z /\ ( A +o z ) = suc y ) ) )
45		eleq2 2221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( (/) e. z <-> (/) e. x ) )
46		oveq2 5826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( A +o z ) = ( A +o x ) )
47	46	eqeq1d 2166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( ( A +o z ) = suc y <-> ( A +o x ) = suc y ) )
48	45, 47	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( (/) e. z /\ ( A +o z ) = suc y ) <-> ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
49	48	cbvrexv 2681	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. om ( (/) e. z /\ ( A +o z ) = suc y ) <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) )
50	44, 49	syl6ib 160	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
51	50	ad2antlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ A e. om ) /\ ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) ) -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
52	26, 51	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. om /\ A e. om ) /\ ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) ) -> ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
53		0lt1o 6381	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 1o
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ A = y ) -> (/) e. 1o )
55		nnon 4567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. om -> A e. On )
56		oa1suc 6407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. On -> ( A +o 1o ) = suc A )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> ( A +o 1o ) = suc A )
58		suceq 4361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = y -> suc A = suc y )
59	57, 58	sylan9eq 2210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ A = y ) -> ( A +o 1o ) = suc y )
60		1onn 6460	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. om
61		eleq2 2221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1o -> ( (/) e. x <-> (/) e. 1o ) )
62		oveq2 5826	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 1o -> ( A +o x ) = ( A +o 1o ) )
63	62	eqeq1d 2166	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1o -> ( ( A +o x ) = suc y <-> ( A +o 1o ) = suc y ) )
64	61, 63	anbi12d 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1o -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) <-> ( (/) e. 1o /\ ( A +o 1o ) = suc y ) ) )
65	64	rspcev 2816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. om /\ ( (/) e. 1o /\ ( A +o 1o ) = suc y ) ) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) )
66	60, 65	mpan 421	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) e. 1o /\ ( A +o 1o ) = suc y ) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) )
67	54, 59, 66	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ A = y ) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) )
68	67	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( A = y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
69	68	ad2antlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. om /\ A e. om ) /\ ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) ) -> ( A = y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
70	52, 69	jaod 707	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. om /\ A e. om ) /\ ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
71	25, 70	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. om /\ A e. om ) /\ ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) ) -> ( A e. suc y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
72	71	exp31 362	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) -> ( A e. suc y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) ) ) )
73	11, 16, 21, 24, 72	finds2 4558	. . . 4 |- ( b e. om -> ( A e. om -> ( A e. b -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) ) ) )
74	6, 73	vtoclga 2778	. . 3 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A e. B -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) ) )
75	74	impcom 124	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
76		peano1 4551	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
77		nnaord 6449	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) e. om /\ x e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. x <-> ( A +o (/) ) e. ( A +o x ) ) )
78	76, 77	mp3an1 1306	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. x <-> ( A +o (/) ) e. ( A +o x ) ) )
79	78	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( (/) e. x <-> ( A +o (/) ) e. ( A +o x ) ) )
80		nna0 6414	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
81	80	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( A +o (/) ) = A )
82	81	eleq1d 2226	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( A +o (/) ) e. ( A +o x ) <-> A e. ( A +o x ) ) )
83	79, 82	bitrd 187	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( (/) e. x <-> A e. ( A +o x ) ) )
84	83	anbi1d 461	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( A e. ( A +o x ) /\ ( A +o x ) = B ) ) )
85		eleq2 2221	. . . . . 6 |- ( ( A +o x ) = B -> ( A e. ( A +o x ) <-> A e. B ) )
86	85	biimpac 296	. . . . 5 |- ( ( A e. ( A +o x ) /\ ( A +o x ) = B ) -> A e. B )
87	84, 86	syl6bi 162	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) -> A e. B ) )
88	87	rexlimdva 2574	. . 3 |- ( A e. om -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) -> A e. B ) )
89	88	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) -> A e. B ) )
90	75, 89	impbid 128	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1335   e. wcel 2128   E.wrex 2436   (/)c0 3394   Oncon0 4322   suc csuc 4324   omcom 4547  (class class class)co 5818   1oc1o 6350   +o coa 6354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-1o 6357  df-oadd 6361

This theorem is referenced by:  nnawordex  6468  ltexpi  7240