Theorem nnaordex 6595

Description: Equivalence for ordering. Compare Exercise 23 of [Enderton] p. 88. (Contributed by NM, 5-Dec-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaordex	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem nnaordex

Dummy variables b y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2260	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( A e. b <-> A e. B ) )
2		eqeq2 2206	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( ( A +o x ) = b <-> ( A +o x ) = B ) )
3	2	anbi2d 464	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
4	3	rexbidv 2498	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
5	1, 4	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( A e. b -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) ) <-> ( A e. B -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) ) )
6	5	imbi2d 230	. . . 4 |- ( b = B -> ( ( A e. om -> ( A e. b -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) ) ) <-> ( A e. om -> ( A e. B -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) ) ) )
7		eleq2 2260	. . . . . 6 |- ( b = (/) -> ( A e. b <-> A e. (/) ) )
8		eqeq2 2206	. . . . . . . 8 |- ( b = (/) -> ( ( A +o x ) = b <-> ( A +o x ) = (/) ) )
9	8	anbi2d 464	. . . . . . 7 |- ( b = (/) -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = (/) ) ) )
10	9	rexbidv 2498	. . . . . 6 |- ( b = (/) -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = (/) ) ) )
11	7, 10	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( b = (/) -> ( ( A e. b -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) ) <-> ( A e. (/) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = (/) ) ) ) )
12		eleq2 2260	. . . . . 6 |- ( b = y -> ( A e. b <-> A e. y ) )
13		eqeq2 2206	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> ( ( A +o x ) = b <-> ( A +o x ) = y ) )
14	13	anbi2d 464	. . . . . . 7 |- ( b = y -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) )
15	14	rexbidv 2498	. . . . . 6 |- ( b = y -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) )
16	12, 15	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( b = y -> ( ( A e. b -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) ) <-> ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) ) )
17		eleq2 2260	. . . . . 6 |- ( b = suc y -> ( A e. b <-> A e. suc y ) )
18		eqeq2 2206	. . . . . . . 8 |- ( b = suc y -> ( ( A +o x ) = b <-> ( A +o x ) = suc y ) )
19	18	anbi2d 464	. . . . . . 7 |- ( b = suc y -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
20	19	rexbidv 2498	. . . . . 6 |- ( b = suc y -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
21	17, 20	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( b = suc y -> ( ( A e. b -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) ) <-> ( A e. suc y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) ) )
22		noel 3455	. . . . . . 7 |- -. A e. (/)
23	22	pm2.21i 647	. . . . . 6 |- ( A e. (/) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = (/) ) )
24	23	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( A e. (/) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = (/) ) ) )
25		elsuci 4439	. . . . . . 7 |- ( A e. suc y -> ( A e. y \/ A = y ) )
26		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ A e. om ) /\ ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) ) -> ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) )
27		peano2 4632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. om -> suc x e. om )
28	27	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. om /\ x e. om ) /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) -> suc x e. om )
29		elelsuc 4445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (/) e. x -> (/) e. suc x )
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( (/) e. x -> (/) e. suc x ) )
31		nnasuc 6543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( A +o suc x ) = suc ( A +o x ) )
32		suceq 4438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A +o x ) = y -> suc ( A +o x ) = suc y )
33	31, 32	sylan9eq 2249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. om /\ x e. om ) /\ ( A +o x ) = y ) -> ( A +o suc x ) = suc y )
34	33	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( A +o x ) = y -> ( A +o suc x ) = suc y ) )
35	30, 34	anim12d 335	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) -> ( (/) e. suc x /\ ( A +o suc x ) = suc y ) ) )
36	35	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. om /\ x e. om ) /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) -> ( (/) e. suc x /\ ( A +o suc x ) = suc y ) )
37		eleq2 2260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = suc x -> ( (/) e. z <-> (/) e. suc x ) )
38		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = suc x -> ( A +o z ) = ( A +o suc x ) )
39	38	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = suc x -> ( ( A +o z ) = suc y <-> ( A +o suc x ) = suc y ) )
40	37, 39	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = suc x -> ( ( (/) e. z /\ ( A +o z ) = suc y ) <-> ( (/) e. suc x /\ ( A +o suc x ) = suc y ) ) )
41	40	rspcev 2868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( suc x e. om /\ ( (/) e. suc x /\ ( A +o suc x ) = suc y ) ) -> E. z e. om ( (/) e. z /\ ( A +o z ) = suc y ) )
42	28, 36, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. om /\ x e. om ) /\ ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) -> E. z e. om ( (/) e. z /\ ( A +o z ) = suc y ) )
43	42	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) -> E. z e. om ( (/) e. z /\ ( A +o z ) = suc y ) ) )
44	43	rexlimdva 2614	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. om -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) -> E. z e. om ( (/) e. z /\ ( A +o z ) = suc y ) ) )
45		eleq2 2260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( (/) e. z <-> (/) e. x ) )
46		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( A +o z ) = ( A +o x ) )
47	46	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( ( A +o z ) = suc y <-> ( A +o x ) = suc y ) )
48	45, 47	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( (/) e. z /\ ( A +o z ) = suc y ) <-> ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
49	48	cbvrexv 2730	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. om ( (/) e. z /\ ( A +o z ) = suc y ) <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) )
50	44, 49	imbitrdi 161	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. om -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
51	50	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. om /\ A e. om ) /\ ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) ) -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
52	26, 51	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. om /\ A e. om ) /\ ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) ) -> ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
53		0lt1o 6507	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 1o
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ A = y ) -> (/) e. 1o )
55		nnon 4647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. om -> A e. On )
56		oa1suc 6534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. On -> ( A +o 1o ) = suc A )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. om -> ( A +o 1o ) = suc A )
58		suceq 4438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = y -> suc A = suc y )
59	57, 58	sylan9eq 2249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ A = y ) -> ( A +o 1o ) = suc y )
60		1onn 6587	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. om
61		eleq2 2260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1o -> ( (/) e. x <-> (/) e. 1o ) )
62		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 1o -> ( A +o x ) = ( A +o 1o ) )
63	62	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 1o -> ( ( A +o x ) = suc y <-> ( A +o 1o ) = suc y ) )
64	61, 63	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1o -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) <-> ( (/) e. 1o /\ ( A +o 1o ) = suc y ) ) )
65	64	rspcev 2868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. om /\ ( (/) e. 1o /\ ( A +o 1o ) = suc y ) ) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) )
66	60, 65	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) e. 1o /\ ( A +o 1o ) = suc y ) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) )
67	54, 59, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ A = y ) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) )
68	67	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( A = y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
69	68	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. om /\ A e. om ) /\ ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) ) -> ( A = y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
70	52, 69	jaod 718	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. om /\ A e. om ) /\ ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
71	25, 70	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. om /\ A e. om ) /\ ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) ) -> ( A e. suc y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) )
72	71	exp31 364	. . . . 5 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A e. y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = y ) ) -> ( A e. suc y -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = suc y ) ) ) ) )
73	11, 16, 21, 24, 72	finds2 4638	. . . 4 |- ( b e. om -> ( A e. om -> ( A e. b -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = b ) ) ) )
74	6, 73	vtoclga 2830	. . 3 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A e. B -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) ) )
75	74	impcom 125	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
76		peano1 4631	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
77		nnaord 6576	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) e. om /\ x e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. x <-> ( A +o (/) ) e. ( A +o x ) ) )
78	76, 77	mp3an1 1335	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ A e. om ) -> ( (/) e. x <-> ( A +o (/) ) e. ( A +o x ) ) )
79	78	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( (/) e. x <-> ( A +o (/) ) e. ( A +o x ) ) )
80		nna0 6541	. . . . . . . . 9 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
81	80	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( A +o (/) ) = A )
82	81	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( A +o (/) ) e. ( A +o x ) <-> A e. ( A +o x ) ) )
83	79, 82	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( (/) e. x <-> A e. ( A +o x ) ) )
84	83	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) <-> ( A e. ( A +o x ) /\ ( A +o x ) = B ) ) )
85		eleq2 2260	. . . . . 6 |- ( ( A +o x ) = B -> ( A e. ( A +o x ) <-> A e. B ) )
86	85	biimpac 298	. . . . 5 |- ( ( A e. ( A +o x ) /\ ( A +o x ) = B ) -> A e. B )
87	84, 86	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) -> A e. B ) )
88	87	rexlimdva 2614	. . 3 |- ( A e. om -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) -> A e. B ) )
89	88	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) -> A e. B ) )
90	75, 89	impbid 129	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   (/)c0 3451   Oncon0 4399   suc csuc 4401   omcom 4627  (class class class)co 5925   1oc1o 6476   +o coa 6480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-oadd 6487

This theorem is referenced by:  nnawordex  6596  ltexpi  7421