Theorem nnmordi 6683

Description: Ordering property of multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 18-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmordi	|- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem nnmordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4704	. . . . . 6 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )
2	1	expcom 116	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A e. om ) )
3		eleq2 2295	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( A e. x <-> A e. B ) )
4		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( C .o x ) = ( C .o B ) )
5	4	eleq2d 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
6	3, 5	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
7	6	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) <-> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
8		eleq2 2295	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( A e. x <-> A e. (/) ) )
9		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( C .o x ) = ( C .o (/) ) )
10	9	eleq2d 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) )
11	8, 10	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) ) )
12		eleq2 2295	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
13		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( C .o x ) = ( C .o y ) )
14	13	eleq2d 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) )
15	12, 14	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) )
16		eleq2 2295	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( A e. x <-> A e. suc y ) )
17		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( C .o x ) = ( C .o suc y ) )
18	17	eleq2d 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) )
19	16, 18	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) )
20		noel 3498	. . . . . . . . . . . 12 |- -. A e. (/)
21	20	pm2.21i 651	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) )
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) )
23		elsuci 4500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. suc y -> ( A e. y \/ A = y ) )
24		nnmcl 6648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( C .o y ) e. om )
25		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> C e. om )
26	24, 25	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) )
27		nnaword1 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( C .o y ) C_ ( ( C .o y ) +o C ) )
28	27	sseld 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
29	28	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) )
30	29	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
31	30	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
32		nna0 6641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( C .o y ) e. om -> ( ( C .o y ) +o (/) ) = ( C .o y ) )
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o y ) +o (/) ) = ( C .o y ) )
34		nnaordi 6675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( C e. om /\ ( C .o y ) e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
35	34	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
36	35	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) )
37	33, 36	eqeltrrd 2309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) )
38		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A = y -> ( C .o A ) = ( C .o y ) )
39	38	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A = y -> ( ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) <-> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
40	37, 39	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
41	40	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
42	31, 41	jaod 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
43	26, 42	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
44	23, 43	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
45		nnmsuc 6644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( C .o suc y ) = ( ( C .o y ) +o C ) )
46	45	eleq2d 2301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
48	44, 47	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) )
49	48	exp43 372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. om -> ( y e. om -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
50	49	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
51	50	adantld 278	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
52	51	impd 254	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) )
53	11, 15, 19, 22, 52	finds2 4699	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) )
54	7, 53	vtoclga 2870	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
55	54	com23 78	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
56	55	exp4a 366	. . . . . 6 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
57	56	exp4a 366	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( A e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) )
58	2, 57	mpdd 41	. . . 4 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
59	58	com34 83	. . 3 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( (/) e. C -> ( C e. om -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
60	59	com24 87	. 2 |- ( B e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
61	60	imp31 256	1 |- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   (/)c0 3494   suc csuc 4462   omcom 4688  (class class class)co 6017   +o coa 6578   .o comu 6579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-oadd 6585  df-omul 6586

This theorem is referenced by:  nnmord  6684  nnm00  6697  mulclpi  7547