Theorem nnmordi 6315

Description: Ordering property of multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 18-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmordi	|- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem nnmordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4448	. . . . . 6 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )
2	1	expcom 115	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A e. om ) )
3		eleq2 2158	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( A e. x <-> A e. B ) )
4		oveq2 5698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( C .o x ) = ( C .o B ) )
5	4	eleq2d 2164	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
6	3, 5	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
7	6	imbi2d 229	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) <-> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
8		eleq2 2158	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( A e. x <-> A e. (/) ) )
9		oveq2 5698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( C .o x ) = ( C .o (/) ) )
10	9	eleq2d 2164	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) )
11	8, 10	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) ) )
12		eleq2 2158	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
13		oveq2 5698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( C .o x ) = ( C .o y ) )
14	13	eleq2d 2164	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) )
15	12, 14	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) )
16		eleq2 2158	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( A e. x <-> A e. suc y ) )
17		oveq2 5698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( C .o x ) = ( C .o suc y ) )
18	17	eleq2d 2164	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) )
19	16, 18	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) )
20		noel 3306	. . . . . . . . . . . 12 |- -. A e. (/)
21	20	pm2.21i 613	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) )
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) )
23		elsuci 4254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. suc y -> ( A e. y \/ A = y ) )
24		nnmcl 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( C .o y ) e. om )
25		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> C e. om )
26	24, 25	jca 301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) )
27		nnaword1 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( C .o y ) C_ ( ( C .o y ) +o C ) )
28	27	sseld 3038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
29	28	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) )
30	29	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
31	30	adantrl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
32		nna0 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( C .o y ) e. om -> ( ( C .o y ) +o (/) ) = ( C .o y ) )
33	32	ad2antrr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o y ) +o (/) ) = ( C .o y ) )
34		nnaordi 6307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( C e. om /\ ( C .o y ) e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
35	34	ancoms 265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
36	35	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) )
37	33, 36	eqeltrrd 2172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) )
38		oveq2 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A = y -> ( C .o A ) = ( C .o y ) )
39	38	eleq1d 2163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A = y -> ( ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) <-> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
40	37, 39	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
41	40	adantrr 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
42	31, 41	jaod 675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
43	26, 42	sylan 278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
44	23, 43	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
45		nnmsuc 6278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( C .o suc y ) = ( ( C .o y ) +o C ) )
46	45	eleq2d 2164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
47	46	adantr 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
48	44, 47	sylibrd 168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) )
49	48	exp43 365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. om -> ( y e. om -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
50	49	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
51	50	adantld 273	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
52	51	impd 252	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) )
53	11, 15, 19, 22, 52	finds2 4444	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) )
54	7, 53	vtoclga 2699	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
55	54	com23 78	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
56	55	exp4a 359	. . . . . 6 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
57	56	exp4a 359	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( A e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) )
58	2, 57	mpdd 41	. . . 4 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
59	58	com34 83	. . 3 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( (/) e. C -> ( C e. om -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
60	59	com24 87	. 2 |- ( B e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
61	60	imp31 253	1 |- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 667   = wceq 1296   e. wcel 1445   (/)c0 3302   suc csuc 4216   omcom 4433  (class class class)co 5690   +o coa 6216   .o comu 6217

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-oadd 6223  df-omul 6224

This theorem is referenced by:  nnmord  6316  nnm00  6328  mulclpi  6984