Theorem nnmordi 6205

Description: Ordering property of multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 18-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmordi	|- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem nnmordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4383	. . . . . 6 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )
2	1	expcom 114	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A e. om ) )
3		eleq2 2146	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( A e. x <-> A e. B ) )
4		oveq2 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( C .o x ) = ( C .o B ) )
5	4	eleq2d 2152	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
6	3, 5	imbi12d 232	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
7	6	imbi2d 228	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) <-> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
8		eleq2 2146	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( A e. x <-> A e. (/) ) )
9		oveq2 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( C .o x ) = ( C .o (/) ) )
10	9	eleq2d 2152	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) )
11	8, 10	imbi12d 232	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) ) )
12		eleq2 2146	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
13		oveq2 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( C .o x ) = ( C .o y ) )
14	13	eleq2d 2152	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) )
15	12, 14	imbi12d 232	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) )
16		eleq2 2146	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( A e. x <-> A e. suc y ) )
17		oveq2 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( C .o x ) = ( C .o suc y ) )
18	17	eleq2d 2152	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) )
19	16, 18	imbi12d 232	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) )
20		noel 3273	. . . . . . . . . . . 12 |- -. A e. (/)
21	20	pm2.21i 608	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) )
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) )
23		elsuci 4194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. suc y -> ( A e. y \/ A = y ) )
24		nnmcl 6174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( C .o y ) e. om )
25		simpl 107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> C e. om )
26	24, 25	jca 300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) )
27		nnaword1 6202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( C .o y ) C_ ( ( C .o y ) +o C ) )
28	27	sseld 3009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
29	28	imim2d 53	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) )
30	29	imp 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
31	30	adantrl 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
32		nna0 6167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( C .o y ) e. om -> ( ( C .o y ) +o (/) ) = ( C .o y ) )
33	32	ad2antrr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o y ) +o (/) ) = ( C .o y ) )
34		nnaordi 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( C e. om /\ ( C .o y ) e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
35	34	ancoms 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
36	35	imp 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) )
37	33, 36	eqeltrrd 2160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) )
38		oveq2 5599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A = y -> ( C .o A ) = ( C .o y ) )
39	38	eleq1d 2151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A = y -> ( ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) <-> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
40	37, 39	syl5ibrcom 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
41	40	adantrr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
42	31, 41	jaod 670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
43	26, 42	sylan 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
44	23, 43	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
45		nnmsuc 6170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( C .o suc y ) = ( ( C .o y ) +o C ) )
46	45	eleq2d 2152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
47	46	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
48	44, 47	sylibrd 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) )
49	48	exp43 364	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. om -> ( y e. om -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
50	49	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
51	50	adantld 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
52	51	impd 251	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) )
53	11, 15, 19, 22, 52	finds2 4379	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) )
54	7, 53	vtoclga 2675	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
55	54	com23 77	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
56	55	exp4a 358	. . . . . 6 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
57	56	exp4a 358	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( A e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) )
58	2, 57	mpdd 40	. . . 4 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
59	58	com34 82	. . 3 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( (/) e. C -> ( C e. om -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
60	59	com24 86	. 2 |- ( B e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
61	60	imp31 252	1 |- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662   = wceq 1285   e. wcel 1434   (/)c0 3269   suc csuc 4156   omcom 4368  (class class class)co 5591   +o coa 6110   .o comu 6111

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-oadd 6117  df-omul 6118

This theorem is referenced by:  nnmord  6206  nnm00  6218  mulclpi  6790