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Theorem nnmordi 6315
Description: Ordering property of multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 18-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmordi  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )

Proof of Theorem nnmordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 4448 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
21expcom 115 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  om ) )
3 eleq2 2158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  B ) )
4 oveq2 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  B
) )
54eleq2d 2164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
63, 5imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  B  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
76imbi2d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x
) ) )  <->  ( (
( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8 eleq2 2158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  (/) ) )
9 oveq2 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  (/) ) )
109eleq2d 2164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) ) )
118, 10imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  e.  x  -> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  (/) ) ) ) )
12 eleq2 2158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
13 oveq2 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  y
) )
1413eleq2d 2164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) )
1512, 14imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )
16 eleq2 2158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  e.  x  <->  A  e.  suc  y ) )
17 oveq2 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  .o  x
)  =  ( C  .o  suc  y ) )
1817eleq2d 2164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  suc  y ) ) )
1916, 18imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) )  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) )
20 noel 3306 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  A  e.  (/)
2120pm2.21i 613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) )
2221a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) ) )
23 elsuci 4254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  suc  y  -> 
( A  e.  y  \/  A  =  y ) )
24 nnmcl 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( C  .o  y
)  e.  om )
25 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  C  e.  om )
2624, 25jca 301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )
)
27 nnaword1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  .o  y
)  C_  ( ( C  .o  y )  +o  C ) )
2827sseld 3038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
2928imim2d 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) ) )
3029imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C ) ) )
3130adantrl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
32 nna0 6275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( C  .o  y )  e.  om  ->  (
( C  .o  y
)  +o  (/) )  =  ( C  .o  y
) )
3332ad2antrr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  y )  +o  (/) )  =  ( C  .o  y ) )
34 nnaordi 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( C  .o  y
)  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( ( C  .o  y )  +o  (/) )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
3534ancoms 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( ( C  .o  y )  +o  (/) )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
3635imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  y )  +o  (/) )  e.  (
( C  .o  y
)  +o  C ) )
3733, 36eqeltrrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) )
38 oveq2 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  =  ( C  .o  y
) )
3938eleq1d 2163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =  y  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C )  <->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4037, 39syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4140adantrr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4231, 41jaod 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
4326, 42sylan 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
4423, 43syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
45 nnmsuc 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( C  .o  suc  y )  =  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) )
4645eleq2d 2164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4746adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4844, 47sylibrd 168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
) ) )
4948exp43 365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5049com12 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5150adantld 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5251impd 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
) ) ) ) )
5311, 15, 19, 22, 52finds2 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x
) ) ) )
547, 53vtoclga 2699 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B
) ) ) )
5554com23 78 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
5655exp4a 359 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
5756exp4a 359 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) ) )
582, 57mpdd 41 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
5958com34 83 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
6059com24 87 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  -> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
6160imp31 253 1  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 667    = wceq 1296    e. wcel 1445   (/)c0 3302   suc csuc 4216   omcom 4433  (class class class)co 5690    +o coa 6216    .o comu 6217
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-oadd 6223  df-omul 6224
This theorem is referenced by:  nnmord  6316  nnm00  6328  mulclpi  6984
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