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Theorem nnmordi 6412
Description: Ordering property of multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 18-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmordi  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )

Proof of Theorem nnmordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 4519 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
21expcom 115 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  om ) )
3 eleq2 2203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  B ) )
4 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  B
) )
54eleq2d 2209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
63, 5imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  B  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
76imbi2d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x
) ) )  <->  ( (
( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
8 eleq2 2203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  (/) ) )
9 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  (/) ) )
109eleq2d 2209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) ) )
118, 10imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  e.  x  -> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  (/) ) ) ) )
12 eleq2 2203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
13 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( C  .o  x )  =  ( C  .o  y
) )
1413eleq2d 2209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x )  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) )
1512, 14imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  x  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  x ) )  <-> 
( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )
16 eleq2 2203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  e.  x  <->  A  e.  suc  y ) )
17 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  .o  x
)  =  ( C  .o  suc  y ) )
1817eleq2d 2209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  suc  y ) ) )
1916, 18imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x ) )  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) )
20 noel 3367 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  A  e.  (/)
2120pm2.21i 635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) )
2221a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  (/) ) ) )
23 elsuci 4325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  suc  y  -> 
( A  e.  y  \/  A  =  y ) )
24 nnmcl 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( C  .o  y
)  e.  om )
25 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  C  e.  om )
2624, 25jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )
)
27 nnaword1 6409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  .o  y
)  C_  ( ( C  .o  y )  +o  C ) )
2827sseld 3096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
2928imim2d 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) ) )
3029imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) )  ->  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C ) ) )
3130adantrl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
32 nna0 6370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( C  .o  y )  e.  om  ->  (
( C  .o  y
)  +o  (/) )  =  ( C  .o  y
) )
3332ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  y )  +o  (/) )  =  ( C  .o  y ) )
34 nnaordi 6404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( C  .o  y
)  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( ( C  .o  y )  +o  (/) )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
3534ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( C  .o  y
)  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( ( C  .o  y )  +o  (/) )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
3635imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  y )  +o  (/) )  e.  (
( C  .o  y
)  +o  C ) )
3733, 36eqeltrrd 2217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) )
38 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  =  ( C  .o  y
) )
3938eleq1d 2208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =  y  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C )  <->  ( C  .o  y )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4037, 39syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4140adantrr 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  =  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4231, 41jaod 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( C  .o  y )  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
4326, 42sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y )  +o  C
) ) )
4423, 43syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
45 nnmsuc 6373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( C  .o  suc  y )  =  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) )
4645eleq2d 2209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4746adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( ( C  .o  y
)  +o  C ) ) )
4844, 47sylibrd 168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( (/)  e.  C  /\  ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) ) ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
) ) )
4948exp43 369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  om  ->  (
y  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5049com12 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5150adantld 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5251impd 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  y ) )  -> 
( A  e.  suc  y  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  suc  y
) ) ) ) )
5311, 15, 19, 22, 52finds2 4515 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  x  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  x
) ) ) )
547, 53vtoclga 2752 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B
) ) ) )
5554com23 78 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( ( A  e. 
om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
5655exp4a 363 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
5756exp4a 363 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) ) )
582, 57mpdd 41 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
5958com34 83 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
6059com24 87 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  -> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) )
6160imp31 254 1  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480   (/)c0 3363   suc csuc 4287   omcom 4504  (class class class)co 5774    +o coa 6310    .o comu 6311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318
This theorem is referenced by:  nnmord  6413  nnm00  6425  mulclpi  7148
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