Theorem nnmordi 6779

Description: Ordering property of multiplication. Half of Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 18-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnmordi	|- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Proof of Theorem nnmordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4748	. . . . . 6 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )
2	1	expcom 116	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A e. om ) )
3		eleq2 2302	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( A e. x <-> A e. B ) )
4		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( C .o x ) = ( C .o B ) )
5	4	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
6	3, 5	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
7	6	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) <-> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
8		eleq2 2302	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( A e. x <-> A e. (/) ) )
9		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( C .o x ) = ( C .o (/) ) )
10	9	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) )
11	8, 10	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) ) )
12		eleq2 2302	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
13		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( C .o x ) = ( C .o y ) )
14	13	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) )
15	12, 14	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) )
16		eleq2 2302	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( A e. x <-> A e. suc y ) )
17		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( C .o x ) = ( C .o suc y ) )
18	17	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) )
19	16, 18	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) )
20		noel 3525	. . . . . . . . . . . 12 |- -. A e. (/)
21	20	pm2.21i 655	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) )
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) )
23		elsuci 4543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. suc y -> ( A e. y \/ A = y ) )
24		nnmcl 6744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( C .o y ) e. om )
25		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> C e. om )
26	24, 25	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) )
27		nnaword1 6776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( C .o y ) C_ ( ( C .o y ) +o C ) )
28	27	sseld 3247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
29	28	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) )
30	29	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
31	30	adantrl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
32		nna0 6737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( C .o y ) e. om -> ( ( C .o y ) +o (/) ) = ( C .o y ) )
33	32	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o y ) +o (/) ) = ( C .o y ) )
34		nnaordi 6771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( C e. om /\ ( C .o y ) e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
35	34	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
36	35	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( C .o y ) +o (/) ) e. ( ( C .o y ) +o C ) )
37	33, 36	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) )
38		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A = y -> ( C .o A ) = ( C .o y ) )
39	38	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A = y -> ( ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) <-> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
40	37, 39	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
41	40	adantrr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
42	31, 41	jaod 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( C .o y ) e. om /\ C e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
43	26, 42	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
44	23, 43	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
45		nnmsuc 6740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( C .o suc y ) = ( ( C .o y ) +o C ) )
46	45	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. om /\ y e. om ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
47	46	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) )
48	44, 47	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. om /\ y e. om ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) )
49	48	exp43 372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. om -> ( y e. om -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
50	49	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
51	50	adantld 278	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) )
52	51	impd 254	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) )
53	11, 15, 19, 22, 52	finds2 4743	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) )
54	7, 53	vtoclga 2889	. . . . . . . 8 |- ( B e. om -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
55	54	com23 78	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( ( ( A e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
56	55	exp4a 366	. . . . . 6 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
57	56	exp4a 366	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( A e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) )
58	2, 57	mpdd 41	. . . 4 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
59	58	com34 83	. . 3 |- ( B e. om -> ( A e. B -> ( (/) e. C -> ( C e. om -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
60	59	com24 87	. 2 |- ( B e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) )
61	60	imp31 256	1 |- ( ( ( B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   suc csuc 4505   omcom 4732  (class class class)co 6075   +o coa 6674   .o comu 6675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-oadd 6681  df-omul 6682

This theorem is referenced by:  nnmord  6780  nnm00  6793  mulclpi  7685