ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mosubopt Unicode version

Theorem mosubopt 4651
Description: "At most one" remains true inside ordered pair quantification. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
mosubopt  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem mosubopt
StepHypRef Expression
1 nfa1 1521 . . 3  |-  F/ y A. y A. z E* x ph
2 nfe1 1476 . . . 4  |-  F/ y E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )
32nfmo 2026 . . 3  |-  F/ y E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )
4 nfa1 1521 . . . . 5  |-  F/ z A. z E* x ph
5 nfe1 1476 . . . . . . 7  |-  F/ z E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph )
65nfex 1617 . . . . . 6  |-  F/ z E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )
76nfmo 2026 . . . . 5  |-  F/ z E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )
8 copsexg 4204 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
98mobidv 2042 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. y ,  z
>.  ->  ( E* x ph 
<->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
109biimpcd 158 . . . . . 6  |-  ( E* x ph  ->  ( A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
1110sps 1517 . . . . 5  |-  ( A. z E* x ph  ->  ( A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
124, 7, 11exlimd 1577 . . . 4  |-  ( A. z E* x ph  ->  ( E. z  A  = 
<. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
1312sps 1517 . . 3  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  ( E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
141, 3, 13exlimd 1577 . 2  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  ( E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
15 moanimv 2081 . . 3  |-  ( E* x ( E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  /\  E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )  <->  ( E. y E. z  A  = 
<. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
16 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )  ->  A  =  <. y ,  z >. )
17162eximi 1581 . . . . 5  |-  ( E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )  ->  E. y E. z  A  =  <. y ,  z >. )
1817ancri 322 . . . 4  |-  ( E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )  ->  ( E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  /\  E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
1918moimi 2071 . . 3  |-  ( E* x ( E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  /\  E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )  ->  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
2015, 19sylbir 134 . 2  |-  ( ( E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )  ->  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
2114, 20syl 14 1  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1333    = wceq 1335   E.wex 1472   E*wmo 2007   <.cop 3563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569
This theorem is referenced by:  mosubop  4652  funoprabg  5920
  Copyright terms: Public domain W3C validator