Theorem mosubopt 4740

Description: "At most one" remains true inside ordered pair quantification. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
mosubopt	|- ( A. y A. z E* x ph -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem mosubopt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfa1 1564	. . 3 |- F/ y A. y A. z E* x ph
2		nfe1 1519	. . . 4 |- F/ y E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
3	2	nfmo 2074	. . 3 |- F/ y E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
4		nfa1 1564	. . . . 5 |- F/ z A. z E* x ph
5		nfe1 1519	. . . . . . 7 |- F/ z E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
6	5	nfex 1660	. . . . . 6 |- F/ z E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
7	6	nfmo 2074	. . . . 5 |- F/ z E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
8		copsexg 4288	. . . . . . . 8 |- ( A = <. y , z >. -> ( ph <-> E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
9	8	mobidv 2090	. . . . . . 7 |- ( A = <. y , z >. -> ( E* x ph <-> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
10	9	biimpcd 159	. . . . . 6 |- ( E* x ph -> ( A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
11	10	sps 1560	. . . . 5 |- ( A. z E* x ph -> ( A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
12	4, 7, 11	exlimd 1620	. . . 4 |- ( A. z E* x ph -> ( E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
13	12	sps 1560	. . 3 |- ( A. y A. z E* x ph -> ( E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
14	1, 3, 13	exlimd 1620	. 2 |- ( A. y A. z E* x ph -> ( E. y E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
15		moanimv 2129	. . 3 |- ( E* x ( E. y E. z A = <. y , z >. /\ E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) <-> ( E. y E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
16		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> A = <. y , z >. )
17	16	2eximi 1624	. . . . 5 |- ( E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> E. y E. z A = <. y , z >. )
18	17	ancri 324	. . . 4 |- ( E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> ( E. y E. z A = <. y , z >. /\ E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
19	18	moimi 2119	. . 3 |- ( E* x ( E. y E. z A = <. y , z >. /\ E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )
20	15, 19	sylbir 135	. 2 |- ( ( E. y E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )
21	14, 20	syl 14	1 |- ( A. y A. z E* x ph -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1371   = wceq 1373   E.wex 1515   E*wmo 2055   <.cop 3636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642

This theorem is referenced by:  mosubop  4741  funoprabg  6044