ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mosubopt Unicode version

Theorem mosubopt 4676
Description: "At most one" remains true inside ordered pair quantification. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
mosubopt  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem mosubopt
StepHypRef Expression
1 nfa1 1534 . . 3  |-  F/ y A. y A. z E* x ph
2 nfe1 1489 . . . 4  |-  F/ y E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )
32nfmo 2039 . . 3  |-  F/ y E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )
4 nfa1 1534 . . . . 5  |-  F/ z A. z E* x ph
5 nfe1 1489 . . . . . . 7  |-  F/ z E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph )
65nfex 1630 . . . . . 6  |-  F/ z E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )
76nfmo 2039 . . . . 5  |-  F/ z E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph )
8 copsexg 4229 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
98mobidv 2055 . . . . . . 7  |-  ( A  =  <. y ,  z
>.  ->  ( E* x ph 
<->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
109biimpcd 158 . . . . . 6  |-  ( E* x ph  ->  ( A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
1110sps 1530 . . . . 5  |-  ( A. z E* x ph  ->  ( A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
124, 7, 11exlimd 1590 . . . 4  |-  ( A. z E* x ph  ->  ( E. z  A  = 
<. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
1312sps 1530 . . 3  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  ( E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
141, 3, 13exlimd 1590 . 2  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  ( E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
15 moanimv 2094 . . 3  |-  ( E* x ( E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  /\  E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )  <->  ( E. y E. z  A  = 
<. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  = 
<. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
16 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )  ->  A  =  <. y ,  z >. )
17162eximi 1594 . . . . 5  |-  ( E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )  ->  E. y E. z  A  =  <. y ,  z >. )
1817ancri 322 . . . 4  |-  ( E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph )  ->  ( E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  /\  E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) ) )
1918moimi 2084 . . 3  |-  ( E* x ( E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  /\  E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )  ->  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
2015, 19sylbir 134 . 2  |-  ( ( E. y E. z  A  =  <. y ,  z >.  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )  ->  E* x E. y E. z
( A  =  <. y ,  z >.  /\  ph ) )
2114, 20syl 14 1  |-  ( A. y A. z E* x ph  ->  E* x E. y E. z ( A  =  <. y ,  z
>.  /\  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1346    = wceq 1348   E.wex 1485   E*wmo 2020   <.cop 3586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592
This theorem is referenced by:  mosubop  4677  funoprabg  5952
  Copyright terms: Public domain W3C validator