Theorem mosubopt 4612

Description: "At most one" remains true inside ordered pair quantification. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
mosubopt	|- ( A. y A. z E* x ph -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem mosubopt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfa1 1522	. . 3 |- F/ y A. y A. z E* x ph
2		nfe1 1473	. . . 4 |- F/ y E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
3	2	nfmo 2020	. . 3 |- F/ y E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
4		nfa1 1522	. . . . 5 |- F/ z A. z E* x ph
5		nfe1 1473	. . . . . . 7 |- F/ z E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
6	5	nfex 1617	. . . . . 6 |- F/ z E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
7	6	nfmo 2020	. . . . 5 |- F/ z E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph )
8		copsexg 4174	. . . . . . . 8 |- ( A = <. y , z >. -> ( ph <-> E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
9	8	mobidv 2036	. . . . . . 7 |- ( A = <. y , z >. -> ( E* x ph <-> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
10	9	biimpcd 158	. . . . . 6 |- ( E* x ph -> ( A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
11	10	sps 1518	. . . . 5 |- ( A. z E* x ph -> ( A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
12	4, 7, 11	exlimd 1577	. . . 4 |- ( A. z E* x ph -> ( E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
13	12	sps 1518	. . 3 |- ( A. y A. z E* x ph -> ( E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
14	1, 3, 13	exlimd 1577	. 2 |- ( A. y A. z E* x ph -> ( E. y E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
15		moanimv 2075	. . 3 |- ( E* x ( E. y E. z A = <. y , z >. /\ E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) <-> ( E. y E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
16		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> A = <. y , z >. )
17	16	2eximi 1581	. . . . 5 |- ( E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> E. y E. z A = <. y , z >. )
18	17	ancri 322	. . . 4 |- ( E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) -> ( E. y E. z A = <. y , z >. /\ E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) )
19	18	moimi 2065	. . 3 |- ( E* x ( E. y E. z A = <. y , z >. /\ E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )
20	15, 19	sylbir 134	. 2 |- ( ( E. y E. z A = <. y , z >. -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) ) -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )
21	14, 20	syl 14	1 |- ( A. y A. z E* x ph -> E* x E. y E. z ( A = <. y , z >. /\ ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1330   = wceq 1332   E.wex 1469   E*wmo 2001   <.cop 3535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541

This theorem is referenced by:  mosubop  4613  funoprabg  5878