Theorem elvvv 4686

Description: Membership in universal class of ordered triples. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
elvvv	|- ( A e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. x E. y E. z A = <. <. x , y >. , z >. )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem elvvv

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4640	. 2 |- ( A e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. w E. z ( A = <. w , z >. /\ ( w e. ( _V X. _V ) /\ z e. _V ) ) )
2		anass 401	. . . . 5 |- ( ( ( A = <. w , z >. /\ w e. ( _V X. _V ) ) /\ z e. _V ) <-> ( A = <. w , z >. /\ ( w e. ( _V X. _V ) /\ z e. _V ) ) )
3		19.42vv 1911	. . . . . 6 |- ( E. x E. y ( A = <. w , z >. /\ w = <. x , y >. ) <-> ( A = <. w , z >. /\ E. x E. y w = <. x , y >. ) )
4		ancom 266	. . . . . . 7 |- ( ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> ( A = <. w , z >. /\ w = <. x , y >. ) )
5	4	2exbii 1606	. . . . . 6 |- ( E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> E. x E. y ( A = <. w , z >. /\ w = <. x , y >. ) )
6		vex 2740	. . . . . . . 8 |- z e. _V
7	6	biantru 302	. . . . . . 7 |- ( ( A = <. w , z >. /\ w e. ( _V X. _V ) ) <-> ( ( A = <. w , z >. /\ w e. ( _V X. _V ) ) /\ z e. _V ) )
8		elvv 4685	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y w = <. x , y >. )
9	8	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( A = <. w , z >. /\ w e. ( _V X. _V ) ) <-> ( A = <. w , z >. /\ E. x E. y w = <. x , y >. ) )
10	7, 9	bitr3i 186	. . . . . 6 |- ( ( ( A = <. w , z >. /\ w e. ( _V X. _V ) ) /\ z e. _V ) <-> ( A = <. w , z >. /\ E. x E. y w = <. x , y >. ) )
11	3, 5, 10	3bitr4ri 213	. . . . 5 |- ( ( ( A = <. w , z >. /\ w e. ( _V X. _V ) ) /\ z e. _V ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) )
12	2, 11	bitr3i 186	. . . 4 |- ( ( A = <. w , z >. /\ ( w e. ( _V X. _V ) /\ z e. _V ) ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) )
13	12	2exbii 1606	. . 3 |- ( E. w E. z ( A = <. w , z >. /\ ( w e. ( _V X. _V ) /\ z e. _V ) ) <-> E. w E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) )
14		exrot4 1691	. . . 4 |- ( E. x E. y E. w E. z ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> E. w E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) )
15		excom 1664	. . . . . 6 |- ( E. w E. z ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> E. z E. w ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) )
16		vex 2740	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
17		vex 2740	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
18	16, 17	opex 4226	. . . . . . . 8 |- <. x , y >. e. _V
19		opeq1 3776	. . . . . . . . 9 |- ( w = <. x , y >. -> <. w , z >. = <. <. x , y >. , z >. )
20	19	eqeq2d 2189	. . . . . . . 8 |- ( w = <. x , y >. -> ( A = <. w , z >. <-> A = <. <. x , y >. , z >. ) )
21	18, 20	ceqsexv 2776	. . . . . . 7 |- ( E. w ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> A = <. <. x , y >. , z >. )
22	21	exbii 1605	. . . . . 6 |- ( E. z E. w ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> E. z A = <. <. x , y >. , z >. )
23	15, 22	bitri 184	. . . . 5 |- ( E. w E. z ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> E. z A = <. <. x , y >. , z >. )
24	23	2exbii 1606	. . . 4 |- ( E. x E. y E. w E. z ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> E. x E. y E. z A = <. <. x , y >. , z >. )
25	14, 24	bitr3i 186	. . 3 |- ( E. w E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> E. x E. y E. z A = <. <. x , y >. , z >. )
26	13, 25	bitri 184	. 2 |- ( E. w E. z ( A = <. w , z >. /\ ( w e. ( _V X. _V ) /\ z e. _V ) ) <-> E. x E. y E. z A = <. <. x , y >. , z >. )
27	1, 26	bitri 184	1 |- ( A e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. x E. y E. z A = <. <. x , y >. , z >. )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   <.cop 3594   X. cxp 4621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-opab 4062  df-xp 4629

This theorem is referenced by:  ssrelrel  4723  dftpos3  6257