Theorem elvvv 4667

Description: Membership in universal class of ordered triples. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
elvvv	|- ( A e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. x E. y E. z A = <. <. x , y >. , z >. )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem elvvv

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4621	. 2 |- ( A e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. w E. z ( A = <. w , z >. /\ ( w e. ( _V X. _V ) /\ z e. _V ) ) )
2		anass 399	. . . . 5 |- ( ( ( A = <. w , z >. /\ w e. ( _V X. _V ) ) /\ z e. _V ) <-> ( A = <. w , z >. /\ ( w e. ( _V X. _V ) /\ z e. _V ) ) )
3		19.42vv 1899	. . . . . 6 |- ( E. x E. y ( A = <. w , z >. /\ w = <. x , y >. ) <-> ( A = <. w , z >. /\ E. x E. y w = <. x , y >. ) )
4		ancom 264	. . . . . . 7 |- ( ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> ( A = <. w , z >. /\ w = <. x , y >. ) )
5	4	2exbii 1594	. . . . . 6 |- ( E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> E. x E. y ( A = <. w , z >. /\ w = <. x , y >. ) )
6		vex 2729	. . . . . . . 8 |- z e. _V
7	6	biantru 300	. . . . . . 7 |- ( ( A = <. w , z >. /\ w e. ( _V X. _V ) ) <-> ( ( A = <. w , z >. /\ w e. ( _V X. _V ) ) /\ z e. _V ) )
8		elvv 4666	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y w = <. x , y >. )
9	8	anbi2i 453	. . . . . . 7 |- ( ( A = <. w , z >. /\ w e. ( _V X. _V ) ) <-> ( A = <. w , z >. /\ E. x E. y w = <. x , y >. ) )
10	7, 9	bitr3i 185	. . . . . 6 |- ( ( ( A = <. w , z >. /\ w e. ( _V X. _V ) ) /\ z e. _V ) <-> ( A = <. w , z >. /\ E. x E. y w = <. x , y >. ) )
11	3, 5, 10	3bitr4ri 212	. . . . 5 |- ( ( ( A = <. w , z >. /\ w e. ( _V X. _V ) ) /\ z e. _V ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) )
12	2, 11	bitr3i 185	. . . 4 |- ( ( A = <. w , z >. /\ ( w e. ( _V X. _V ) /\ z e. _V ) ) <-> E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) )
13	12	2exbii 1594	. . 3 |- ( E. w E. z ( A = <. w , z >. /\ ( w e. ( _V X. _V ) /\ z e. _V ) ) <-> E. w E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) )
14		exrot4 1679	. . . 4 |- ( E. x E. y E. w E. z ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> E. w E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) )
15		excom 1652	. . . . . 6 |- ( E. w E. z ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> E. z E. w ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) )
16		vex 2729	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
17		vex 2729	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
18	16, 17	opex 4207	. . . . . . . 8 |- <. x , y >. e. _V
19		opeq1 3758	. . . . . . . . 9 |- ( w = <. x , y >. -> <. w , z >. = <. <. x , y >. , z >. )
20	19	eqeq2d 2177	. . . . . . . 8 |- ( w = <. x , y >. -> ( A = <. w , z >. <-> A = <. <. x , y >. , z >. ) )
21	18, 20	ceqsexv 2765	. . . . . . 7 |- ( E. w ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> A = <. <. x , y >. , z >. )
22	21	exbii 1593	. . . . . 6 |- ( E. z E. w ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> E. z A = <. <. x , y >. , z >. )
23	15, 22	bitri 183	. . . . 5 |- ( E. w E. z ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> E. z A = <. <. x , y >. , z >. )
24	23	2exbii 1594	. . . 4 |- ( E. x E. y E. w E. z ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> E. x E. y E. z A = <. <. x , y >. , z >. )
25	14, 24	bitr3i 185	. . 3 |- ( E. w E. z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ A = <. w , z >. ) <-> E. x E. y E. z A = <. <. x , y >. , z >. )
26	13, 25	bitri 183	. 2 |- ( E. w E. z ( A = <. w , z >. /\ ( w e. ( _V X. _V ) /\ z e. _V ) ) <-> E. x E. y E. z A = <. <. x , y >. , z >. )
27	1, 26	bitri 183	1 |- ( A e. ( ( _V X. _V ) X. _V ) <-> E. x E. y E. z A = <. <. x , y >. , z >. )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   <.cop 3579   X. cxp 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044  df-xp 4610

This theorem is referenced by:  ssrelrel  4704  dftpos3  6230