Theorem eqlelt 8006

Description: Equality in terms of 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 7-Apr-2001.)

Assertion

Ref	Expression
eqlelt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ -. A < B ) ) )

Proof of Theorem eqlelt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letri3 8000	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
2		lenlt 7995	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
3	2	ancoms 266	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
4	3	anbi2d 461	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ A ) <-> ( A <_ B /\ -. A < B ) ) )
5	1, 4	bitrd 187	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ -. A < B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   RRcr 7773   < clt 7954   <_ cle 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-apti 7889

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960

This theorem is referenced by:  eqleltd  8036