Theorem eqlelt 8256

Description: Equality in terms of 'less than or equal to', 'less than'. (Contributed by NM, 7-Apr-2001.)

Assertion

Ref	Expression
eqlelt	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ -. A < B ) ) )

Proof of Theorem eqlelt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letri3 8250	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
2		lenlt 8245	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
4	3	anbi2d 464	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ A ) <-> ( A <_ B /\ -. A < B ) ) )
5	1, 4	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ -. A < B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4086   RRcr 8021   < clt 8204   <_ cle 8205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-apti 8137

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210

This theorem is referenced by:  eqleltd  8286