Theorem ltnsym 7980

Description: 'Less than' is not symmetric. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
ltnsym	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )

Proof of Theorem ltnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttr 7968	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < A ) -> A < A ) )
2	1	3anidm13 1286	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < A ) -> A < A ) )
3	2	expd 256	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( B < A -> A < A ) ) )
4		ltnr 7971	. . 3 |- ( A e. RR -> -. A < A )
5	4	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. A < A )
6		con3 632	. 2 |- ( ( B < A -> A < A ) -> ( -. A < A -> -. B < A ) )
7	3, 5, 6	syl6ci 1433	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   class class class wbr 3981   RRcr 7748   < clt 7929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-lttrn 7863

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-ltxr 7934

This theorem is referenced by:  ltle  7982  ltnsymi  7994  elnnz  9197  zdclt  9264  xrltnsym  9725  lgsval4a  13523