ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnsym Unicode version

Theorem ltnsym 7625
Description: 'Less than' is not symmetric. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
ltnsym  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  -.  B  <  A
) )

Proof of Theorem ltnsym
StepHypRef Expression
1 lttr 7613 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  A )  ->  A  <  A
) )
213anidm13 1233 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <  A )  ->  A  <  A ) )
32expd 255 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  <  A  ->  A  <  A ) ) )
4 ltnr 7616 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  A  <  A )
54adantr 271 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  -.  A  <  A
)
6 con3 607 . 2  |-  ( ( B  <  A  ->  A  <  A )  -> 
( -.  A  < 
A  ->  -.  B  <  A ) )
73, 5, 6syl6ci 1380 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  -.  B  <  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1439   class class class wbr 3851   RRcr 7403    < clt 7576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-lttrn 7513
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4457  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-ltxr 7581
This theorem is referenced by:  ltle  7626  ltnsymi  7638  elnnz  8814  zdclt  8878  xrltnsym  9317
  Copyright terms: Public domain W3C validator