Theorem ltnsym 8060

Description: 'Less than' is not symmetric. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
ltnsym	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )

Proof of Theorem ltnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttr 8048	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < A ) -> A < A ) )
2	1	3anidm13 1306	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < A ) -> A < A ) )
3	2	expd 258	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( B < A -> A < A ) ) )
4		ltnr 8051	. . 3 |- ( A e. RR -> -. A < A )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. A < A )
6		con3 643	. 2 |- ( ( B < A -> A < A ) -> ( -. A < A -> -. B < A ) )
7	3, 5, 6	syl6ci 1455	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2159   class class class wbr 4017   RRcr 7827   < clt 8009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-lttrn 7942

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-rab 2476  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-br 4018  df-opab 4079  df-xp 4646  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-ltxr 8014

This theorem is referenced by:  ltle  8062  ltnsymi  8074  elnnz  9280  zdclt  9347  xrltnsym  9810  mulgnegnn  13037  lgsval4a  14806