Theorem ltnsym 8112

Description: 'Less than' is not symmetric. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
ltnsym	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )

Proof of Theorem ltnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttr 8100	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < A ) -> A < A ) )
2	1	3anidm13 1307	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B /\ B < A ) -> A < A ) )
3	2	expd 258	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( B < A -> A < A ) ) )
4		ltnr 8103	. . 3 |- ( A e. RR -> -. A < A )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -. A < A )
6		con3 643	. 2 |- ( ( B < A -> A < A ) -> ( -. A < A -> -. B < A ) )
7	3, 5, 6	syl6ci 1456	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   RRcr 7878   < clt 8061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066

This theorem is referenced by:  ltle  8114  ltnsymi  8126  elnnz  9336  zdclt  9403  xrltnsym  9868  qdclt  10335  mulgnegnn  13262  lgsval4a  15263