ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnsym Unicode version

Theorem ltnsym 8060
Description: 'Less than' is not symmetric. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
ltnsym  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  -.  B  <  A
) )

Proof of Theorem ltnsym
StepHypRef Expression
1 lttr 8048 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  A )  ->  A  <  A
) )
213anidm13 1306 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <  A )  ->  A  <  A ) )
32expd 258 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  <  A  ->  A  <  A ) ) )
4 ltnr 8051 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  A  <  A )
54adantr 276 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  -.  A  <  A
)
6 con3 643 . 2  |-  ( ( B  <  A  ->  A  <  A )  -> 
( -.  A  < 
A  ->  -.  B  <  A ) )
73, 5, 6syl6ci 1455 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  -.  B  <  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2159   class class class wbr 4017   RRcr 7827    < clt 8009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-lttrn 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-rab 2476  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-br 4018  df-opab 4079  df-xp 4646  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-ltxr 8014
This theorem is referenced by:  ltle  8062  ltnsymi  8074  elnnz  9280  zdclt  9347  xrltnsym  9810  mulgnegnn  13037  lgsval4a  14806
  Copyright terms: Public domain W3C validator