ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnsym Unicode version

Theorem ltnsym 7843
Description: 'Less than' is not symmetric. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
ltnsym  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  -.  B  <  A
) )

Proof of Theorem ltnsym
StepHypRef Expression
1 lttr 7831 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  A )  ->  A  <  A
) )
213anidm13 1274 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <  A )  ->  A  <  A ) )
32expd 256 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  <  A  ->  A  <  A ) ) )
4 ltnr 7834 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  A  <  A )
54adantr 274 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  -.  A  <  A
)
6 con3 631 . 2  |-  ( ( B  <  A  ->  A  <  A )  -> 
( -.  A  < 
A  ->  -.  B  <  A ) )
73, 5, 6syl6ci 1421 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  -.  B  <  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1480   class class class wbr 3924   RRcr 7612    < clt 7793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-lttrn 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-ltxr 7798
This theorem is referenced by:  ltle  7844  ltnsymi  7856  elnnz  9057  zdclt  9121  xrltnsym  9572
  Copyright terms: Public domain W3C validator