Theorem ltle 8162

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8160	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		lenlt 8150	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	1, 2	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   RRcr 7926   < clt 8109   <_ cle 8110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-lttrn 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115

This theorem is referenced by:  ltlei  8176  ltled  8193  ltleap  8707  lep1  8920  lem1  8922  letrp1  8923  ltmul12a  8935  bndndx  9296  nn0ge0  9322  zletric  9418  zlelttric  9419  zltnle  9420  zleloe  9421  ltsubnn0  9442  zdcle  9451  uzind  9486  fnn0ind  9491  eluz2b2  9726  rpge0  9790  zltaddlt1le  10131  difelfznle  10259  elfzouz2  10286  elfzo0le  10311  fzosplitprm1  10365  fzostep1  10368  qletric  10386  qlelttric  10387  qltnle  10388  expgt1  10724  expnlbnd2  10812  faclbnd  10888  swrdsbslen  11122  swrdspsleq  11123  caucvgrelemcau  11324  resqrexlemdecn  11356  mulcn2  11656  efcllemp  12002  sin01bnd  12101  cos01bnd  12102  sin01gt0  12106  cos01gt0  12107  absef  12114  efieq1re  12116  nn0o  12251  pythagtriplem12  12631  pythagtriplem13  12632  pythagtriplem14  12633  pythagtriplem16  12635  pclemub  12643  sincosq1lem  15330  tangtx  15343