Theorem ltle 8045

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8043	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		lenlt 8033	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	1, 2	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   class class class wbr 4004   RRcr 7810   < clt 7992   <_ cle 7993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998

This theorem is referenced by:  ltlei  8059  ltled  8076  ltleap  8589  lep1  8802  lem1  8804  letrp1  8805  ltmul12a  8817  bndndx  9175  nn0ge0  9201  zletric  9297  zlelttric  9298  zltnle  9299  zleloe  9300  ltsubnn0  9320  zdcle  9329  uzind  9364  fnn0ind  9369  eluz2b2  9603  rpge0  9666  zltaddlt1le  10007  difelfznle  10135  elfzouz2  10161  elfzo0le  10185  fzosplitprm1  10234  fzostep1  10237  qletric  10244  qlelttric  10245  qltnle  10246  expgt1  10558  expnlbnd2  10646  faclbnd  10721  caucvgrelemcau  10989  resqrexlemdecn  11021  mulcn2  11320  efcllemp  11666  sin01bnd  11765  cos01bnd  11766  sin01gt0  11769  cos01gt0  11770  absef  11777  efieq1re  11779  nn0o  11912  pythagtriplem12  12275  pythagtriplem13  12276  pythagtriplem14  12277  pythagtriplem16  12279  pclemub  12287  sincosq1lem  14249  tangtx  14262