Theorem ltle 8044

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8042	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		lenlt 8032	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	1, 2	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   class class class wbr 4003   RRcr 7809   < clt 7991   <_ cle 7992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-cnv 4634  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997

This theorem is referenced by:  ltlei  8058  ltled  8075  ltleap  8588  lep1  8801  lem1  8803  letrp1  8804  ltmul12a  8816  bndndx  9174  nn0ge0  9200  zletric  9296  zlelttric  9297  zltnle  9298  zleloe  9299  ltsubnn0  9319  zdcle  9328  uzind  9363  fnn0ind  9368  eluz2b2  9602  rpge0  9665  zltaddlt1le  10006  difelfznle  10134  elfzouz2  10160  elfzo0le  10184  fzosplitprm1  10233  fzostep1  10236  qletric  10243  qlelttric  10244  qltnle  10245  expgt1  10557  expnlbnd2  10645  faclbnd  10720  caucvgrelemcau  10988  resqrexlemdecn  11020  mulcn2  11319  efcllemp  11665  sin01bnd  11764  cos01bnd  11765  sin01gt0  11768  cos01gt0  11769  absef  11776  efieq1re  11778  nn0o  11911  pythagtriplem12  12274  pythagtriplem13  12275  pythagtriplem14  12276  pythagtriplem16  12278  pclemub  12286  sincosq1lem  14216  tangtx  14229