Theorem ltle 7964

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 7963	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		lenlt 7953	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	1, 2	sylibrd 168	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   RRcr 7731   < clt 7912   <_ cle 7913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-lttrn 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-cnv 4594  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918

This theorem is referenced by:  ltlei  7978  ltled  7994  ltleap  8507  lep1  8716  lem1  8718  letrp1  8719  ltmul12a  8731  bndndx  9089  nn0ge0  9115  zletric  9211  zlelttric  9212  zltnle  9213  zleloe  9214  zdcle  9240  uzind  9275  fnn0ind  9280  eluz2b2  9514  rpge0  9573  zltaddlt1le  9911  difelfznle  10034  elfzouz2  10060  elfzo0le  10084  fzosplitprm1  10133  fzostep1  10136  qletric  10143  qlelttric  10144  qltnle  10145  expgt1  10457  expnlbnd2  10543  faclbnd  10615  caucvgrelemcau  10880  resqrexlemdecn  10912  mulcn2  11209  efcllemp  11555  sin01bnd  11654  cos01bnd  11655  sin01gt0  11658  cos01gt0  11659  absef  11666  efieq1re  11668  nn0o  11797  sincosq1lem  13146  tangtx  13159