Theorem ltle 8160

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8158	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		lenlt 8148	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	1, 2	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   RRcr 7924   < clt 8107   <_ cle 8108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113

This theorem is referenced by:  ltlei  8174  ltled  8191  ltleap  8705  lep1  8918  lem1  8920  letrp1  8921  ltmul12a  8933  bndndx  9294  nn0ge0  9320  zletric  9416  zlelttric  9417  zltnle  9418  zleloe  9419  ltsubnn0  9440  zdcle  9449  uzind  9484  fnn0ind  9489  eluz2b2  9724  rpge0  9788  zltaddlt1le  10129  difelfznle  10257  elfzouz2  10284  elfzo0le  10309  fzosplitprm1  10363  fzostep1  10366  qletric  10384  qlelttric  10385  qltnle  10386  expgt1  10722  expnlbnd2  10810  faclbnd  10886  swrdsbslen  11119  swrdspsleq  11120  caucvgrelemcau  11291  resqrexlemdecn  11323  mulcn2  11623  efcllemp  11969  sin01bnd  12068  cos01bnd  12069  sin01gt0  12073  cos01gt0  12074  absef  12081  efieq1re  12083  nn0o  12218  pythagtriplem12  12598  pythagtriplem13  12599  pythagtriplem14  12600  pythagtriplem16  12602  pclemub  12610  sincosq1lem  15297  tangtx  15310