Theorem ltle 8403

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8401	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		lenlt 8391	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	1, 2	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   RRcr 8168   < clt 8350   <_ cle 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356

This theorem is referenced by:  ltlei  8417  ltled  8435  ltleap  8950  lep1  9165  lem1  9167  letrp1  9168  ltmul12a  9180  bndndx  9541  nn0ge0  9567  zletric  9667  zlelttric  9668  zltnle  9669  zleloe  9670  ltsubnn0  9691  zdcle  9700  uzind  9736  fnn0ind  9741  eluz2b2  9982  rpge0  10046  zltaddlt1le  10389  difelfznle  10520  elfzouz2  10547  elfzo0le  10575  fzosplitprm1  10631  fzostep1  10634  qletric  10654  qlelttric  10655  qltnle  10656  expgt1  10992  expnlbnd2  11081  faclbnd  11157  swrdsbslen  11416  swrdspsleq  11417  pfxccat3  11484  swrdccat  11485  caucvgrelemcau  11724  resqrexlemdecn  11756  mulcn2  12056  efcllemp  12403  sin01bnd  12502  cos01bnd  12503  sin01gt0  12507  cos01gt0  12508  absef  12515  efieq1re  12517  nn0o  12652  pythagtriplem12  13032  pythagtriplem13  13033  pythagtriplem14  13034  pythagtriplem16  13036  pclemub  13044  ballotfilemfrceq  13250  sincosq1lem  15849  tangtx  15862