Theorem ltle 8419

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8417	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		lenlt 8407	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	1, 2	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   < clt 8366   <_ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372

This theorem is used by:  ltlei  8434  ltled  8452  ltleap  8968  lep1  9183  lem1  9185  letrp1  9186  ltmul12a  9198  bndndx  9573  nn0ge0  9599  zletric  9697  zlelttric  9698  zltnle  9699  zleloe  9700  ltsubnn0  9721  zdcle  9730  uzind  9767  fnn0ind  9772  eluz2b2  10018  rpge0  10083  zltaddlt1le  10426  difelfznle  10558  elfzouz2  10585  elfzo0le  10613  fzosplitprm1  10669  fzostep1  10672  qletric  10692  qlelttric  10693  qltnle  10694  expgt1  11034  expnlbnd2  11123  faclbnd  11200  swrdsbslen  11459  swrdspsleq  11460  pfxccat3  11527  swrdccat  11528  caucvgrelemcau  11767  resqrexlemdecn  11799  mulcn2  12102  efcllemp  12449  sin01bnd  12548  cos01bnd  12549  sin01gt0  12553  cos01gt0  12554  absef  12561  efieq1re  12563  nn0o  12698  pythagtriplem12  13082  pythagtriplem13  13083  pythagtriplem14  13084  pythagtriplem16  13086  pclemub  13094  ballotfilemfrceq  13329  sincosq1lem  16069  tangtx  16082  chtqub  16313  bposlem9  16336