Theorem ltle 7851

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 7850	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		lenlt 7840	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	1, 2	sylibrd 168	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7619   < clt 7800   <_ cle 7801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-lttrn 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806

This theorem is referenced by:  ltlei  7865  ltled  7881  ltleap  8394  lep1  8603  lem1  8605  letrp1  8606  ltmul12a  8618  bndndx  8976  nn0ge0  9002  zletric  9098  zlelttric  9099  zltnle  9100  zleloe  9101  zdcle  9127  uzind  9162  fnn0ind  9167  eluz2b2  9397  rpge0  9454  zltaddlt1le  9789  difelfznle  9912  elfzouz2  9938  elfzo0le  9962  fzosplitprm1  10011  fzostep1  10014  qletric  10021  qlelttric  10022  qltnle  10023  expgt1  10331  expnlbnd2  10417  faclbnd  10487  caucvgrelemcau  10752  resqrexlemdecn  10784  mulcn2  11081  efcllemp  11364  sin01bnd  11464  cos01bnd  11465  sin01gt0  11468  cos01gt0  11469  absef  11476  efieq1re  11478  nn0o  11604  sincosq1lem  12906  tangtx  12919