Theorem ltle 8326

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8324	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		lenlt 8314	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	1, 2	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   < clt 8273   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-lttrn 8206

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279

This theorem is referenced by:  ltlei  8340  ltled  8357  ltleap  8871  lep1  9084  lem1  9086  letrp1  9087  ltmul12a  9099  bndndx  9460  nn0ge0  9486  zletric  9584  zlelttric  9585  zltnle  9586  zleloe  9587  ltsubnn0  9608  zdcle  9617  uzind  9652  fnn0ind  9657  eluz2b2  9898  rpge0  9962  zltaddlt1le  10304  difelfznle  10432  elfzouz2  10459  elfzo0le  10487  fzosplitprm1  10543  fzostep1  10546  qletric  10564  qlelttric  10565  qltnle  10566  expgt1  10902  expnlbnd2  10990  faclbnd  11066  swrdsbslen  11313  swrdspsleq  11314  pfxccat3  11381  swrdccat  11382  caucvgrelemcau  11620  resqrexlemdecn  11652  mulcn2  11952  efcllemp  12299  sin01bnd  12398  cos01bnd  12399  sin01gt0  12403  cos01gt0  12404  absef  12411  efieq1re  12413  nn0o  12548  pythagtriplem12  12928  pythagtriplem13  12929  pythagtriplem14  12930  pythagtriplem16  12932  pclemub  12940  sincosq1lem  15636  tangtx  15649