Theorem ltle 8195

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8193	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		lenlt 8183	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	1, 2	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   RRcr 7959   < clt 8142   <_ cle 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148

This theorem is referenced by:  ltlei  8209  ltled  8226  ltleap  8740  lep1  8953  lem1  8955  letrp1  8956  ltmul12a  8968  bndndx  9329  nn0ge0  9355  zletric  9451  zlelttric  9452  zltnle  9453  zleloe  9454  ltsubnn0  9475  zdcle  9484  uzind  9519  fnn0ind  9524  eluz2b2  9759  rpge0  9823  zltaddlt1le  10164  difelfznle  10292  elfzouz2  10319  elfzo0le  10346  fzosplitprm1  10400  fzostep1  10403  qletric  10421  qlelttric  10422  qltnle  10423  expgt1  10759  expnlbnd2  10847  faclbnd  10923  swrdsbslen  11157  swrdspsleq  11158  pfxccat3  11225  swrdccat  11226  caucvgrelemcau  11406  resqrexlemdecn  11438  mulcn2  11738  efcllemp  12084  sin01bnd  12183  cos01bnd  12184  sin01gt0  12188  cos01gt0  12189  absef  12196  efieq1re  12198  nn0o  12333  pythagtriplem12  12713  pythagtriplem13  12714  pythagtriplem14  12715  pythagtriplem16  12717  pclemub  12725  sincosq1lem  15412  tangtx  15425