Theorem ltle 7570

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 7569	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		lenlt 7559	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	1, 2	sylibrd 167	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1438   class class class wbr 3845   RRcr 7347   < clt 7520   <_ cle 7521

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-lttrn 7457

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-cnv 4446  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526

This theorem is referenced by:  ltlei  7584  ltled  7600  ltleap  8105  lep1  8304  lem1  8306  letrp1  8307  ltmul12a  8319  bndndx  8670  nn0ge0  8696  zletric  8792  zlelttric  8793  zltnle  8794  zleloe  8795  zdcle  8821  uzind  8855  fnn0ind  8860  eluz2b2  9088  rpge0  9144  zltaddlt1le  9421  difelfznle  9542  elfzouz2  9568  elfzo0le  9592  fzosplitprm1  9641  fzostep1  9644  qletric  9651  qlelttric  9652  qltnle  9653  expgt1  9989  expnlbnd2  10075  faclbnd  10145  caucvgrelemcau  10409  resqrexlemdecn  10441  mulcn2  10697  efcllemp  10944  sin01bnd  11044  cos01bnd  11045  sin01gt0  11048  cos01gt0  11049  absef  11055  efieq1re  11057  nn0o  11181