Theorem ltle 8234

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnsym 8232	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		lenlt 8222	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
3	1, 2	sylibrd 169	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 7998   < clt 8181   <_ cle 8182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187

This theorem is referenced by:  ltlei  8248  ltled  8265  ltleap  8779  lep1  8992  lem1  8994  letrp1  8995  ltmul12a  9007  bndndx  9368  nn0ge0  9394  zletric  9490  zlelttric  9491  zltnle  9492  zleloe  9493  ltsubnn0  9514  zdcle  9523  uzind  9558  fnn0ind  9563  eluz2b2  9798  rpge0  9862  zltaddlt1le  10203  difelfznle  10331  elfzouz2  10358  elfzo0le  10385  fzosplitprm1  10440  fzostep1  10443  qletric  10461  qlelttric  10462  qltnle  10463  expgt1  10799  expnlbnd2  10887  faclbnd  10963  swrdsbslen  11198  swrdspsleq  11199  pfxccat3  11266  swrdccat  11267  caucvgrelemcau  11491  resqrexlemdecn  11523  mulcn2  11823  efcllemp  12169  sin01bnd  12268  cos01bnd  12269  sin01gt0  12273  cos01gt0  12274  absef  12281  efieq1re  12283  nn0o  12418  pythagtriplem12  12798  pythagtriplem13  12799  pythagtriplem14  12800  pythagtriplem16  12802  pclemub  12810  sincosq1lem  15499  tangtx  15512