Theorem letri3 8319

Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letri3	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Proof of Theorem letri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8318	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
2		ancom 266	. . 3 |- ( ( -. B < A /\ -. A < B ) <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) )
3	1, 2	bitr4di 198	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. B < A /\ -. A < B ) ) )
4		lenlt 8314	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5		lenlt 8314	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
6	5	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
7	4, 6	anbi12d 473	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ A ) <-> ( -. B < A /\ -. A < B ) ) )
8	3, 7	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   < clt 8273   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-apti 8207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279

This theorem is referenced by:  eqlelt  8325  letri3i  8337  letri3d  8354  lesub0  8718  lbreu  9184  nnle1eq1  9226  nn0le0eq0  9489  nn0lt10b  9621  zextle  9632  uz11  9840  uzin  9850  nn01to3  9912  elfz1eq  10332  swrdccat3blem  11386  fsum00  12103  dvdsabseq  12488  nn0seqcvgd  12693  infpnlem1  13012  lgsdir  15854  lgsabs1  15858