Theorem letri3 8407

Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letri3	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Proof of Theorem letri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8406	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
2		ancom 266	. . 3 |- ( ( -. B < A /\ -. A < B ) <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) )
3	1, 2	bitr4di 198	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. B < A /\ -. A < B ) ) )
4		lenlt 8402	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5		lenlt 8402	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
6	5	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
7	4, 6	anbi12d 477	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ A ) <-> ( -. B < A /\ -. A < B ) ) )
8	3, 7	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8179   < clt 8361   <_ cle 8362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-apti 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367

This theorem is used by:  eqlelt  8413  letri3i  8426  letri3d  8443  lesub0  8809  lbreu  9278  nnle1eq1  9331  nn0le0eq0  9596  nn0lt10b  9731  zextle  9742  uz11  9955  uzin  9965  nn01to3  10027  elfz1eq  10450  swrdccat3blem  11526  fsum00  12247  dvdsabseq  12632  nn0seqcvgd  12837  infpnlem1  13160  lgsdir  16276  lgsabs1  16280