Theorem letri3 8396

Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letri3	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Proof of Theorem letri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8395	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
2		ancom 266	. . 3 |- ( ( -. B < A /\ -. A < B ) <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) )
3	1, 2	bitr4di 198	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( -. B < A /\ -. A < B ) ) )
4		lenlt 8391	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5		lenlt 8391	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
6	5	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
7	4, 6	anbi12d 477	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ A ) <-> ( -. B < A /\ -. A < B ) ) )
8	3, 7	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   RRcr 8168   < clt 8350   <_ cle 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-apti 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356

This theorem is referenced by:  eqlelt  8402  letri3i  8414  letri3d  8431  lesub0  8797  lbreu  9265  nnle1eq1  9307  nn0le0eq0  9570  nn0lt10b  9705  zextle  9716  uz11  9924  uzin  9934  nn01to3  9996  elfz1eq  10418  swrdccat3blem  11489  fsum00  12207  dvdsabseq  12592  nn0seqcvgd  12797  infpnlem1  13116  lgsdir  16068  lgsabs1  16072