Theorem f1od 6035

Description: Describe an implicit one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1od.1	|- F = ( x e. A |-> C )
f1od.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. W )
f1od.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> D e. X )
f1od.4	|- ( ph -> ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
f1od	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D   ph, x, y

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)   F( x, y)   W( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem f1od

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1od.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> C )
2		f1od.2	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. W )
3		f1od.3	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> D e. X )
4		f1od.4	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) ) )
5	1, 2, 3, 4	f1ocnvd 6034	. 2 |- ( ph -> ( F : A -1-1-onto-> B /\ `' F = ( y e. B |-> D ) ) )
6	5	simpld 111	1 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1342   e. wcel 2135   |-> cmpt 4037   `'ccnv 4597   -1-1-onto->wf1o 5181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189

This theorem is referenced by:  cnvf1o  6184  ixpsnf1o  6693  en2d  6725  mptfzshft  11369  fsumrev  11370  fprodrev  11546