Theorem f1od 6121

Description: Describe an implicit one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1od.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
f1od.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
f1od.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑋)
f1od.4	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
f1od	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem f1od

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1od.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
2		f1od.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
3		f1od.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝑋)
4		f1od.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐷)))
5	1, 2, 3, 4	f1ocnvd 6120	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)))
6	5	simpld 112	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ↦ cmpt 4090  ^◡ccnv 4658  –1-1-onto→wf1o 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261

This theorem is referenced by:  cnvf1o  6278  ixpsnf1o  6790  en2d  6822  pw2f1odc  6891  seqf1oglem1  10590  mptfzshft  11585  fsumrev  11586  fprodrev  11762