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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fsumrev | Unicode version |
Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 26-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.) |
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2 | fsumrev.1 |
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3 | fsumrev.3 |
. . . 4
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4 | 2, 3 | zsubcld 9409 |
. . 3
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5 | fsumrev.2 |
. . . 4
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6 | 2, 5 | zsubcld 9409 |
. . 3
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7 | 4, 6 | fzfigd 10461 |
. 2
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8 | eqid 2189 |
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9 | 2 | adantr 276 |
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10 | elfzelz 10054 |
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11 | 10 | adantl 277 |
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12 | 9, 11 | zsubcld 9409 |
. . 3
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13 | 2 | adantr 276 |
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14 | elfzelz 10054 |
. . . . 5
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15 | 14 | adantl 277 |
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16 | 13, 15 | zsubcld 9409 |
. . 3
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17 | simprr 531 |
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18 | simprl 529 |
. . . . . . 7
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19 | 5 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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20 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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21 | 2 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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22 | 18, 10 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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23 | fzrev 10113 |
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24 | 19, 20, 21, 22, 23 | syl22anc 1250 |
. . . . . . 7
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25 | 18, 24 | mpbid 147 |
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26 | 17, 25 | eqeltrd 2266 |
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27 | 17 | oveq2d 5911 |
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28 | zcn 9287 |
. . . . . . . 8
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29 | zcn 9287 |
. . . . . . . 8
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30 | nncan 8215 |
. . . . . . . 8
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31 | 28, 29, 30 | syl2an 289 |
. . . . . . 7
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32 | 21, 22, 31 | syl2anc 411 |
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33 | 27, 32 | eqtr2d 2223 |
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34 | 26, 33 | jca 306 |
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39 | 2 | adantr 276 |
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40 | 36, 14 | syl 14 |
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41 | fzrev2 10114 |
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42 | 37, 38, 39, 40, 41 | syl22anc 1250 |
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43 | 36, 42 | mpbid 147 |
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44 | 35, 43 | eqeltrd 2266 |
. . . . 5
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45 | 35 | oveq2d 5911 |
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46 | zcn 9287 |
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47 | nncan 8215 |
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48 | 28, 46, 47 | syl2an 289 |
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49 | 39, 40, 48 | syl2anc 411 |
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50 | 45, 49 | eqtr2d 2223 |
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51 | 44, 50 | jca 306 |
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52 | 34, 51 | impbida 596 |
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53 | 8, 12, 16, 52 | f1od 6096 |
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54 | simpr 110 |
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56 | elfzelz 10054 |
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58 | 55, 57 | zsubcld 9409 |
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59 | oveq2 5903 |
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60 | 59, 8 | fvmptg 5612 |
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61 | 54, 58, 60 | syl2anc 411 |
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62 | fsumrev.4 |
. 2
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63 | 1, 7, 53, 61, 62 | fsumf1o 11429 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7931 ax-resscn 7932 ax-1cn 7933 ax-1re 7934 ax-icn 7935 ax-addcl 7936 ax-addrcl 7937 ax-mulcl 7938 ax-mulrcl 7939 ax-addcom 7940 ax-mulcom 7941 ax-addass 7942 ax-mulass 7943 ax-distr 7944 ax-i2m1 7945 ax-0lt1 7946 ax-1rid 7947 ax-0id 7948 ax-rnegex 7949 ax-precex 7950 ax-cnre 7951 ax-pre-ltirr 7952 ax-pre-ltwlin 7953 ax-pre-lttrn 7954 ax-pre-apti 7955 ax-pre-ltadd 7956 ax-pre-mulgt0 7957 ax-pre-mulext 7958 ax-arch 7959 ax-caucvg 7960 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-isom 5244 df-riota 5851 df-ov 5898 df-oprab 5899 df-mpo 5900 df-1st 6164 df-2nd 6165 df-recs 6329 df-irdg 6394 df-frec 6415 df-1o 6440 df-oadd 6444 df-er 6558 df-en 6766 df-dom 6767 df-fin 6768 df-pnf 8023 df-mnf 8024 df-xr 8025 df-ltxr 8026 df-le 8027 df-sub 8159 df-neg 8160 df-reap 8561 df-ap 8568 df-div 8659 df-inn 8949 df-2 9007 df-3 9008 df-4 9009 df-n0 9206 df-z 9283 df-uz 9558 df-q 9649 df-rp 9683 df-fz 10038 df-fzo 10172 df-seqfrec 10476 df-exp 10550 df-ihash 10787 df-cj 10882 df-re 10883 df-im 10884 df-rsqrt 11038 df-abs 11039 df-clim 11318 df-sumdc 11393 |
This theorem is referenced by: fisumrev2 11485 |
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