Theorem cnvf1o 6280

Description: Describe a function that maps the elements of a set to its converse bijectively. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnvf1o	|- ( Rel A -> ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cnvf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. 2 |- ( x e. A |-> U. `' { x } ) = ( x e. A |-> U. `' { x } )
2		snexg 4214	. . . 4 |- ( x e. A -> { x } e. _V )
3		cnvexg 5204	. . . 4 |- ( { x } e. _V -> `' { x } e. _V )
4		uniexg 4471	. . . 4 |- ( `' { x } e. _V -> U. `' { x } e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . 3 |- ( x e. A -> U. `' { x } e. _V )
6	5	adantl 277	. 2 |- ( ( Rel A /\ x e. A ) -> U. `' { x } e. _V )
7		snexg 4214	. . . 4 |- ( y e. `' A -> { y } e. _V )
8		cnvexg 5204	. . . 4 |- ( { y } e. _V -> `' { y } e. _V )
9		uniexg 4471	. . . 4 |- ( `' { y } e. _V -> U. `' { y } e. _V )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . 3 |- ( y e. `' A -> U. `' { y } e. _V )
11	10	adantl 277	. 2 |- ( ( Rel A /\ y e. `' A ) -> U. `' { y } e. _V )
12		cnvf1olem 6279	. . 3 |- ( ( Rel A /\ ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) ) -> ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) )
13		relcnv 5044	. . . . 5 |- Rel `' A
14		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) )
15		cnvf1olem 6279	. . . . 5 |- ( ( Rel `' A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( x e. `' `' A /\ y = U. `' { x } ) )
16	13, 14, 15	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( x e. `' `' A /\ y = U. `' { x } ) )
17		dfrel2 5117	. . . . . . 7 |- ( Rel A <-> `' `' A = A )
18		eleq2 2257	. . . . . . 7 |- ( `' `' A = A -> ( x e. `' `' A <-> x e. A ) )
19	17, 18	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( Rel A -> ( x e. `' `' A <-> x e. A ) )
20	19	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( Rel A -> ( ( x e. `' `' A /\ y = U. `' { x } ) <-> ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) ) )
21	20	adantr 276	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( ( x e. `' `' A /\ y = U. `' { x } ) <-> ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) ) )
22	16, 21	mpbid 147	. . 3 |- ( ( Rel A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) )
23	12, 22	impbida 596	. 2 |- ( Rel A -> ( ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) <-> ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) )
24	1, 6, 11, 23	f1od 6123	1 |- ( Rel A -> ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3619   U.cuni 3836   |-> cmpt 4091   `'ccnv 4659   Rel wrel 4665   -1-1-onto->wf1o 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1st 6195  df-2nd 6196

This theorem is referenced by:  tposf12  6324  cnven  6864  xpcomf1o  6881  fsumcnv  11583  fprodcnv  11771