ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvf1o Unicode version

Theorem cnvf1o 5990
Description: Describe a function that maps the elements of a set to its converse bijectively. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvf1o  |-  ( Rel 
A  ->  ( x  e.  A  |->  U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem cnvf1o
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2088 . 2  |-  ( x  e.  A  |->  U. `' { x } )  =  ( x  e.  A  |->  U. `' { x } )
2 snexg 4019 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  e.  _V )
3 cnvexg 4968 . . . 4  |-  ( { x }  e.  _V  ->  `' { x }  e.  _V )
4 uniexg 4265 . . . 4  |-  ( `' { x }  e.  _V  ->  U. `' { x }  e.  _V )
52, 3, 43syl 17 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  U. `' { x }  e.  _V )
65adantl 271 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  x  e.  A )  ->  U. `' { x }  e.  _V )
7 snexg 4019 . . . 4  |-  ( y  e.  `' A  ->  { y }  e.  _V )
8 cnvexg 4968 . . . 4  |-  ( { y }  e.  _V  ->  `' { y }  e.  _V )
9 uniexg 4265 . . . 4  |-  ( `' { y }  e.  _V  ->  U. `' { y }  e.  _V )
107, 8, 93syl 17 . . 3  |-  ( y  e.  `' A  ->  U. `' { y }  e.  _V )
1110adantl 271 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  y  e.  `' A )  ->  U. `' { y }  e.  _V )
12 cnvf1olem 5989 . . 3  |-  ( ( Rel  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  =  U. `' {
x } ) )  ->  ( y  e.  `' A  /\  x  =  U. `' { y } ) )
13 relcnv 4810 . . . . 5  |-  Rel  `' A
14 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( Rel  A  /\  (
y  e.  `' A  /\  x  =  U. `' { y } ) )  ->  ( y  e.  `' A  /\  x  =  U. `' { y } ) )
15 cnvf1olem 5989 . . . . 5  |-  ( ( Rel  `' A  /\  ( y  e.  `' A  /\  x  =  U. `' { y } ) )  ->  ( x  e.  `' `' A  /\  y  =  U. `' { x } ) )
1613, 14, 15sylancr 405 . . . 4  |-  ( ( Rel  A  /\  (
y  e.  `' A  /\  x  =  U. `' { y } ) )  ->  ( x  e.  `' `' A  /\  y  =  U. `' { x } ) )
17 dfrel2 4881 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
A  <->  `' `' A  =  A
)
18 eleq2 2151 . . . . . . 7  |-  ( `' `' A  =  A  ->  ( x  e.  `' `' A  <->  x  e.  A
) )
1917, 18sylbi 119 . . . . . 6  |-  ( Rel 
A  ->  ( x  e.  `' `' A  <->  x  e.  A
) )
2019anbi1d 453 . . . . 5  |-  ( Rel 
A  ->  ( (
x  e.  `' `' A  /\  y  =  U. `' { x } )  <-> 
( x  e.  A  /\  y  =  U. `' { x } ) ) )
2120adantr 270 . . . 4  |-  ( ( Rel  A  /\  (
y  e.  `' A  /\  x  =  U. `' { y } ) )  ->  ( (
x  e.  `' `' A  /\  y  =  U. `' { x } )  <-> 
( x  e.  A  /\  y  =  U. `' { x } ) ) )
2216, 21mpbid 145 . . 3  |-  ( ( Rel  A  /\  (
y  e.  `' A  /\  x  =  U. `' { y } ) )  ->  ( x  e.  A  /\  y  =  U. `' { x } ) )
2312, 22impbida 563 . 2  |-  ( Rel 
A  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  =  U. `' {
x } )  <->  ( y  e.  `' A  /\  x  =  U. `' { y } ) ) )
241, 6, 11, 23f1od 5847 1  |-  ( Rel 
A  ->  ( x  e.  A  |->  U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   {csn 3446   U.cuni 3653    |-> cmpt 3899   `'ccnv 4437   Rel wrel 4443   -1-1-onto->wf1o 5014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1st 5911  df-2nd 5912
This theorem is referenced by:  tposf12  6034  cnven  6523  xpcomf1o  6539  fsumcnv  10827
  Copyright terms: Public domain W3C validator