Theorem findset 13827

Description: Bounded induction (principle of induction when A is assumed to be a set) allowing a proof from basic constructive axioms. See find 4576 for a nonconstructive proof of the general case. See bdfind 13828 for a proof when A is assumed to be bounded. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
findset	|- ( A e. V -> ( ( A C_ om /\ (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) -> A = om ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem findset

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 993	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( A C_ om /\ (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) ) -> A C_ om )
2		simp2 988	. . . . . 6 |- ( ( A C_ om /\ (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) -> (/) e. A )
3		df-ral 2449	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A suc x e. A <-> A. x ( x e. A -> suc x e. A ) )
4		alral 2511	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( x e. A -> suc x e. A ) -> A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) )
5	3, 4	sylbi 120	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A suc x e. A -> A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) )
6	5	3ad2ant3 1010	. . . . . 6 |- ( ( A C_ om /\ (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) -> A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) )
7	2, 6	jca 304	. . . . 5 |- ( ( A C_ om /\ (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) -> ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
8		3anass 972	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) <-> ( A e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) )
9	8	biimpri 132	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) ) -> ( A e. V /\ (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
10	7, 9	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ ( A C_ om /\ (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) ) -> ( A e. V /\ (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) )
11		speano5 13826	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ (/) e. A /\ A. x e. om ( x e. A -> suc x e. A ) ) -> om C_ A )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. V /\ ( A C_ om /\ (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) ) -> om C_ A )
13	1, 12	eqssd 3159	. 2 |- ( ( A e. V /\ ( A C_ om /\ (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) ) -> A = om )
14	13	ex 114	1 |- ( A e. V -> ( ( A C_ om /\ (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) -> A = om ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   C_ wss 3116   (/)c0 3409   suc csuc 4343   omcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-nul 4108  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-bd0 13695  ax-bdan 13697  ax-bdor 13698  ax-bdex 13701  ax-bdeq 13702  ax-bdel 13703  ax-bdsb 13704  ax-bdsep 13766  ax-infvn 13823

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-suc 4349  df-iom 4568  df-bdc 13723  df-bj-ind 13809

This theorem is referenced by:  bdfind  13828