Theorem fnsng 5321

Description: Functionality and domain of the singleton of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } Fn { A } )

Proof of Theorem fnsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 5320	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> Fun { <. A , B >. } )
2		dmsnopg 5154	. . 3 |- ( B e. W -> dom { <. A , B >. } = { A } )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> dom { <. A , B >. } = { A } )
4		df-fn 5274	. 2 |- ( { <. A , B >. } Fn { A } <-> ( Fun { <. A , B >. } /\ dom { <. A , B >. } = { A } ) )
5	1, 3, 4	sylanbrc 417	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } Fn { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   {csn 3633   <.cop 3636   dom cdm 4675   Fun wfun 5265   Fn wfn 5266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-fun 5273  df-fn 5274

This theorem is referenced by:  fnsn  5328  fnunsn  5383  fsnunfv  5785  tfr0dm  6408  ennnfonelemhom  12786