ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnsng Unicode version

Theorem fnsng 5170
Description: Functionality and domain of the singleton of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnsng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. }  Fn  { A } )

Proof of Theorem fnsng
StepHypRef Expression
1 funsng 5169 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  Fun  { <. A ,  B >. } )
2 dmsnopg 5010 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
32adantl 275 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  dom  { <. A ,  B >. }  =  { A } )
4 df-fn 5126 . 2  |-  ( {
<. A ,  B >. }  Fn  { A }  <->  ( Fun  { <. A ,  B >. }  /\  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
) )
51, 3, 4sylanbrc 413 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { <. A ,  B >. }  Fn  { A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   {csn 3527   <.cop 3530   dom cdm 4539   Fun wfun 5117    Fn wfn 5118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-fun 5125  df-fn 5126
This theorem is referenced by:  fnsn  5177  fnunsn  5230  fsnunfv  5621  tfr0dm  6219  ennnfonelemhom  11928
  Copyright terms: Public domain W3C validator