Theorem fnsng 5302

Description: Functionality and domain of the singleton of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } Fn { A } )

Proof of Theorem fnsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 5301	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> Fun { <. A , B >. } )
2		dmsnopg 5138	. . 3 |- ( B e. W -> dom { <. A , B >. } = { A } )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> dom { <. A , B >. } = { A } )
4		df-fn 5258	. 2 |- ( { <. A , B >. } Fn { A } <-> ( Fun { <. A , B >. } /\ dom { <. A , B >. } = { A } ) )
5	1, 3, 4	sylanbrc 417	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } Fn { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {csn 3619   <.cop 3622   dom cdm 4660   Fun wfun 5249   Fn wfn 5250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-fun 5257  df-fn 5258

This theorem is referenced by:  fnsn  5309  fnunsn  5362  fsnunfv  5760  tfr0dm  6377  ennnfonelemhom  12575