Theorem fnsng 5217

Description: Functionality and domain of the singleton of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } Fn { A } )

Proof of Theorem fnsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 5216	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> Fun { <. A , B >. } )
2		dmsnopg 5057	. . 3 |- ( B e. W -> dom { <. A , B >. } = { A } )
3	2	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> dom { <. A , B >. } = { A } )
4		df-fn 5173	. 2 |- ( { <. A , B >. } Fn { A } <-> ( Fun { <. A , B >. } /\ dom { <. A , B >. } = { A } ) )
5	1, 3, 4	sylanbrc 414	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } Fn { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   {csn 3560   <.cop 3563   dom cdm 4586   Fun wfun 5164   Fn wfn 5165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-fun 5172  df-fn 5173

This theorem is referenced by:  fnsn  5224  fnunsn  5277  fsnunfv  5668  tfr0dm  6269  ennnfonelemhom  12155