Theorem fnsng 5377

Description: Functionality and domain of the singleton of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } Fn { A } )

Proof of Theorem fnsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 5376	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> Fun { <. A , B >. } )
2		dmsnopg 5208	. . 3 |- ( B e. W -> dom { <. A , B >. } = { A } )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> dom { <. A , B >. } = { A } )
4		df-fn 5329	. 2 |- ( { <. A , B >. } Fn { A } <-> ( Fun { <. A , B >. } /\ dom { <. A , B >. } = { A } ) )
5	1, 3, 4	sylanbrc 417	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } Fn { A } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   {csn 3669   <.cop 3672   dom cdm 4725   Fun wfun 5320   Fn wfn 5321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-fun 5328  df-fn 5329

This theorem is referenced by:  fnsn  5384  fnunsn  5439  fsnunfv  5854  tfr0dm  6487  ennnfonelemhom  13035