Theorem fnsng 5235

Description: Functionality and domain of the singleton of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴})

Proof of Theorem fnsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 5234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		dmsnopg 5075	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
3	2	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
4		df-fn 5191	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴} ↔ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴}))
5	1, 3, 4	sylanbrc 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {csn 3576  ⟨cop 3579  dom cdm 4604  Fun wfun 5182   Fn wfn 5183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-fun 5190  df-fn 5191

This theorem is referenced by:  fnsn  5242  fnunsn  5295  fsnunfv  5686  tfr0dm  6290  ennnfonelemhom  12348