Theorem fnsng 5305

Description: Functionality and domain of the singleton of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴})

Proof of Theorem fnsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 5304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		dmsnopg 5141	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
4		df-fn 5261	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴} ↔ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴}))
5	1, 3, 4	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3622  ⟨cop 3625  dom cdm 4663  Fun wfun 5252   Fn wfn 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-fun 5260  df-fn 5261

This theorem is referenced by:  fnsn  5312  fnunsn  5365  fsnunfv  5763  tfr0dm  6380  ennnfonelemhom  12632