Theorem ennnfonelemhom 12348

Description: Lemma for ennnfone 12358. The sequences in H increase in length without bound if you go out far enough. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemhom.m	|- ( ph -> M e. om )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhom	|- ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) )

Distinct variable groups:   i, H, k, j, x, y   i, M   ph, i, k, x, y, j   ph, n   x, N, y, j, k   n, N   j, G   k, F, x, y, j   n, F, j   x, A, y, j   j, J   x, i, y, j   i, n, H, k

Allowed substitution hints:   A( i, k, n)   F( i)   G( x, y, i, k, n)   J( x, y, i, k, n)   M( x, y, j, k, n)   N( i)

Proof of Theorem ennnfonelemhom

Dummy variables q w a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemhom.m	. 2 |- ( ph -> M e. om )
2		eleq1 2229	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> (/) e. dom ( H ` i ) ) )
3	2	rexbidv 2467	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) ) )
4	3	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) ) ) )
5		eleq1 2229	. . . . 5 |- ( w = k -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> k e. dom ( H ` i ) ) )
6	5	rexbidv 2467	. . . 4 |- ( w = k -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) ) )
7	6	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) ) ) )
8		eleq1 2229	. . . . 5 |- ( w = suc k -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. dom ( H ` i ) ) )
9	8	rexbidv 2467	. . . 4 |- ( w = suc k -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) )
10	9	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = suc k -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) ) )
11		eleq1 2229	. . . . 5 |- ( w = M -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> M e. dom ( H ` i ) ) )
12	11	rexbidv 2467	. . . 4 |- ( w = M -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) ) )
13	12	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) ) ) )
14		1nn0 9130	. . . 4 |- 1 e. NN0
15		0ex 4109	. . . . . 6 |- (/) e. _V
16	15	snid 3607	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
17		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
18		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
19		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
20		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
21		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
22		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
23		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 |- H = seq 0 ( G , J )
24	17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	ennnfonelem1 12340	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )
25	24	dmeqd 4806	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( H ` 1 ) = dom { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )
26		peano1 4571	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
27		fof 5410	. . . . . . . . . 10 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
28	18, 27	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om --> A )
29	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (/) e. om )
30	28, 29	ffvelrnd 5621	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` (/) ) e. A )
31		fnsng 5235	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. om /\ ( F ` (/) ) e. A ) -> { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } Fn { (/) } )
32	26, 30, 31	sylancr 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } Fn { (/) } )
33		fndm 5287	. . . . . . 7 |- ( { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } Fn { (/) } -> dom { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } = { (/) } )
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } = { (/) } )
35	25, 34	eqtrd 2198	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( H ` 1 ) = { (/) } )
36	16, 35	eleqtrrid 2256	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. dom ( H ` 1 ) )
37		fveq2 5486	. . . . . . 7 |- ( i = 1 -> ( H ` i ) = ( H ` 1 ) )
38	37	dmeqd 4806	. . . . . 6 |- ( i = 1 -> dom ( H ` i ) = dom ( H ` 1 ) )
39	38	eleq2d 2236	. . . . 5 |- ( i = 1 -> ( (/) e. dom ( H ` i ) <-> (/) e. dom ( H ` 1 ) ) )
40	39	rspcev 2830	. . . 4 |- ( ( 1 e. NN0 /\ (/) e. dom ( H ` 1 ) ) -> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) )
41	14, 36, 40	sylancr 411	. . 3 |- ( ph -> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) )
42	17	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
43	18	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> F : om -onto-> A )
44	19	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
45		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = a -> ( F ` k ) = ( F ` a ) )
46	45	neeq1d 2354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = a -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> ( F ` a ) =/= ( F ` j ) ) )
47	46	ralbidv 2466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = a -> ( A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) ) )
48	47	cbvrexv 2693	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. a e. om A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) )
49	48	ralbii 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. n e. om E. a e. om A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) )
50	44, 49	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> A. n e. om E. a e. om A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) )
51		simplr 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> i e. NN0 )
52	42, 43, 50, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemex 12347	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> E. q e. NN0 dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) )
53	42	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
54	43	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> F : om -onto-> A )
55	44	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
56		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> q e. NN0 )
57	53, 54, 55, 20, 21, 22, 23, 56	ennnfonelemom 12341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> dom ( H ` q ) e. om )
58		nnord 4589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom ( H ` q ) e. om -> Ord dom ( H ` q ) )
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> Ord dom ( H ` q ) )
60		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) )
61		ordsucss 4481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord dom ( H ` q ) -> ( dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) -> suc dom ( H ` i ) C_ dom ( H ` q ) ) )
62	59, 60, 61	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> suc dom ( H ` i ) C_ dom ( H ` q ) )
63		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> k e. dom ( H ` i ) )
64	42, 43, 44, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemom 12341	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> dom ( H ` i ) e. om )
65		nnsucelsuc 6459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom ( H ` i ) e. om -> ( k e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. suc dom ( H ` i ) ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> ( k e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. suc dom ( H ` i ) ) )
67	63, 66	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> suc k e. suc dom ( H ` i ) )
68	67	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> suc k e. suc dom ( H ` i ) )
69	62, 68	sseldd 3143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> suc k e. dom ( H ` q ) )
70	69	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) -> ( dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) -> suc k e. dom ( H ` q ) ) )
71	70	reximdva 2568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> ( E. q e. NN0 dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) -> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) ) )
72	52, 71	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) )
73	72	rexlimdva2 2586	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) -> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) ) )
74		fveq2 5486	. . . . . . . . 9 |- ( i = q -> ( H ` i ) = ( H ` q ) )
75	74	dmeqd 4806	. . . . . . . 8 |- ( i = q -> dom ( H ` i ) = dom ( H ` q ) )
76	75	eleq2d 2236	. . . . . . 7 |- ( i = q -> ( suc k e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. dom ( H ` q ) ) )
77	76	cbvrexv 2693	. . . . . 6 |- ( E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) <-> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) )
78	73, 77	syl6ibr 161	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) )
79	78	expcom 115	. . . 4 |- ( k e. om -> ( ph -> ( E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) ) )
80	79	a2d 26	. . 3 |- ( k e. om -> ( ( ph -> E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) ) -> ( ph -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) ) )
81	4, 7, 10, 13, 41, 80	finds 4577	. 2 |- ( M e. om -> ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) ) )
82	1, 81	mpcom 36	1 |- ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   E.wrex 2445   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ifcif 3520   {csn 3576   <.cop 3579   |-> cmpt 4043   Ord word 4340   suc csuc 4343   omcom 4567   `'ccnv 4603   dom cdm 4604   "cima 4607   Fn wfn 5183   -->wf 5184   -onto->wfo 5186   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844  freccfrec 6358   ^pm cpm 6615   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   - cmin 8069   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pm 6617  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  ennnfonelemdm  12353