Theorem ennnfonelemhom 12819

Description: Lemma for ennnfone 12829. The sequences in H increase in length without bound if you go out far enough. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemhom.m	|- ( ph -> M e. om )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhom	|- ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) )

Distinct variable groups:   i, H, k, j, x, y   i, M   ph, i, k, x, y, j   ph, n   x, N, y, j, k   n, N   j, G   k, F, x, y, j   n, F, j   x, A, y, j   j, J   x, i, y, j   i, n, H, k

Allowed substitution hints:   A( i, k, n)   F( i)   G( x, y, i, k, n)   J( x, y, i, k, n)   M( x, y, j, k, n)   N( i)

Proof of Theorem ennnfonelemhom

Dummy variables q w a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemhom.m	. 2 |- ( ph -> M e. om )
2		eleq1 2268	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> (/) e. dom ( H ` i ) ) )
3	2	rexbidv 2507	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) ) )
4	3	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) ) ) )
5		eleq1 2268	. . . . 5 |- ( w = k -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> k e. dom ( H ` i ) ) )
6	5	rexbidv 2507	. . . 4 |- ( w = k -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) ) )
7	6	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) ) ) )
8		eleq1 2268	. . . . 5 |- ( w = suc k -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. dom ( H ` i ) ) )
9	8	rexbidv 2507	. . . 4 |- ( w = suc k -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = suc k -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) ) )
11		eleq1 2268	. . . . 5 |- ( w = M -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> M e. dom ( H ` i ) ) )
12	11	rexbidv 2507	. . . 4 |- ( w = M -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) ) ) )
14		1nn0 9313	. . . 4 |- 1 e. NN0
15		0ex 4172	. . . . . 6 |- (/) e. _V
16	15	snid 3664	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
17		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
18		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
19		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
20		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
21		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
22		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
23		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 |- H = seq 0 ( G , J )
24	17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	ennnfonelem1 12811	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )
25	24	dmeqd 4881	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( H ` 1 ) = dom { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )
26		peano1 4643	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
27		fof 5500	. . . . . . . . . 10 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
28	18, 27	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om --> A )
29	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (/) e. om )
30	28, 29	ffvelcdmd 5718	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` (/) ) e. A )
31		fnsng 5322	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. om /\ ( F ` (/) ) e. A ) -> { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } Fn { (/) } )
32	26, 30, 31	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } Fn { (/) } )
33		fndm 5374	. . . . . . 7 |- ( { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } Fn { (/) } -> dom { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } = { (/) } )
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } = { (/) } )
35	25, 34	eqtrd 2238	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( H ` 1 ) = { (/) } )
36	16, 35	eleqtrrid 2295	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. dom ( H ` 1 ) )
37		fveq2 5578	. . . . . . 7 |- ( i = 1 -> ( H ` i ) = ( H ` 1 ) )
38	37	dmeqd 4881	. . . . . 6 |- ( i = 1 -> dom ( H ` i ) = dom ( H ` 1 ) )
39	38	eleq2d 2275	. . . . 5 |- ( i = 1 -> ( (/) e. dom ( H ` i ) <-> (/) e. dom ( H ` 1 ) ) )
40	39	rspcev 2877	. . . 4 |- ( ( 1 e. NN0 /\ (/) e. dom ( H ` 1 ) ) -> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) )
41	14, 36, 40	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) )
42	17	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
43	18	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> F : om -onto-> A )
44	19	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
45		fveq2 5578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = a -> ( F ` k ) = ( F ` a ) )
46	45	neeq1d 2394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = a -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> ( F ` a ) =/= ( F ` j ) ) )
47	46	ralbidv 2506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = a -> ( A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) ) )
48	47	cbvrexv 2739	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. a e. om A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) )
49	48	ralbii 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. n e. om E. a e. om A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) )
50	44, 49	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> A. n e. om E. a e. om A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) )
51		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> i e. NN0 )
52	42, 43, 50, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemex 12818	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> E. q e. NN0 dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) )
53	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
54	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> F : om -onto-> A )
55	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
56		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> q e. NN0 )
57	53, 54, 55, 20, 21, 22, 23, 56	ennnfonelemom 12812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> dom ( H ` q ) e. om )
58		nnord 4661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom ( H ` q ) e. om -> Ord dom ( H ` q ) )
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> Ord dom ( H ` q ) )
60		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) )
61		ordsucss 4553	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord dom ( H ` q ) -> ( dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) -> suc dom ( H ` i ) C_ dom ( H ` q ) ) )
62	59, 60, 61	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> suc dom ( H ` i ) C_ dom ( H ` q ) )
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> k e. dom ( H ` i ) )
64	42, 43, 44, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemom 12812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> dom ( H ` i ) e. om )
65		nnsucelsuc 6579	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom ( H ` i ) e. om -> ( k e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. suc dom ( H ` i ) ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> ( k e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. suc dom ( H ` i ) ) )
67	63, 66	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> suc k e. suc dom ( H ` i ) )
68	67	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> suc k e. suc dom ( H ` i ) )
69	62, 68	sseldd 3194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> suc k e. dom ( H ` q ) )
70	69	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) -> ( dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) -> suc k e. dom ( H ` q ) ) )
71	70	reximdva 2608	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> ( E. q e. NN0 dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) -> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) ) )
72	52, 71	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) )
73	72	rexlimdva2 2626	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) -> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) ) )
74		fveq2 5578	. . . . . . . . 9 |- ( i = q -> ( H ` i ) = ( H ` q ) )
75	74	dmeqd 4881	. . . . . . . 8 |- ( i = q -> dom ( H ` i ) = dom ( H ` q ) )
76	75	eleq2d 2275	. . . . . . 7 |- ( i = q -> ( suc k e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. dom ( H ` q ) ) )
77	76	cbvrexv 2739	. . . . . 6 |- ( E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) <-> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) )
78	73, 77	imbitrrdi 162	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) )
79	78	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. om -> ( ph -> ( E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) ) )
80	79	a2d 26	. . 3 |- ( k e. om -> ( ( ph -> E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) ) -> ( ph -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) ) )
81	4, 7, 10, 13, 41, 80	finds 4649	. 2 |- ( M e. om -> ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) ) )
82	1, 81	mpcom 36	1 |- ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   A.wral 2484   E.wrex 2485   u. cun 3164   C_ wss 3166   (/)c0 3460   ifcif 3571   {csn 3633   <.cop 3636   |-> cmpt 4106   Ord word 4410   suc csuc 4413   omcom 4639   `'ccnv 4675   dom cdm 4676   "cima 4679   Fn wfn 5267   -->wf 5268   -onto->wfo 5270   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   e. cmpo 5948  freccfrec 6478   ^pm cpm 6738   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   - cmin 8245   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   seqcseq 10594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pm 6740  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-seqfrec 10595

This theorem is referenced by:  ennnfonelemdm  12824