Theorem ennnfonelemhom 12632

Description: Lemma for ennnfone 12642. The sequences in H increase in length without bound if you go out far enough. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemhom.m	|- ( ph -> M e. om )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhom	|- ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) )

Distinct variable groups:   i, H, k, j, x, y   i, M   ph, i, k, x, y, j   ph, n   x, N, y, j, k   n, N   j, G   k, F, x, y, j   n, F, j   x, A, y, j   j, J   x, i, y, j   i, n, H, k

Allowed substitution hints:   A( i, k, n)   F( i)   G( x, y, i, k, n)   J( x, y, i, k, n)   M( x, y, j, k, n)   N( i)

Proof of Theorem ennnfonelemhom

Dummy variables q w a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemhom.m	. 2 |- ( ph -> M e. om )
2		eleq1 2259	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> (/) e. dom ( H ` i ) ) )
3	2	rexbidv 2498	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) ) )
4	3	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) ) ) )
5		eleq1 2259	. . . . 5 |- ( w = k -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> k e. dom ( H ` i ) ) )
6	5	rexbidv 2498	. . . 4 |- ( w = k -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) ) )
7	6	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) ) ) )
8		eleq1 2259	. . . . 5 |- ( w = suc k -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. dom ( H ` i ) ) )
9	8	rexbidv 2498	. . . 4 |- ( w = suc k -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = suc k -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) ) )
11		eleq1 2259	. . . . 5 |- ( w = M -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> M e. dom ( H ` i ) ) )
12	11	rexbidv 2498	. . . 4 |- ( w = M -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) ) ) )
14		1nn0 9265	. . . 4 |- 1 e. NN0
15		0ex 4160	. . . . . 6 |- (/) e. _V
16	15	snid 3653	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
17		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
18		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
19		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
20		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
21		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
22		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
23		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 |- H = seq 0 ( G , J )
24	17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	ennnfonelem1 12624	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )
25	24	dmeqd 4868	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( H ` 1 ) = dom { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )
26		peano1 4630	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
27		fof 5480	. . . . . . . . . 10 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
28	18, 27	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om --> A )
29	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (/) e. om )
30	28, 29	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` (/) ) e. A )
31		fnsng 5305	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. om /\ ( F ` (/) ) e. A ) -> { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } Fn { (/) } )
32	26, 30, 31	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } Fn { (/) } )
33		fndm 5357	. . . . . . 7 |- ( { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } Fn { (/) } -> dom { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } = { (/) } )
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } = { (/) } )
35	25, 34	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( H ` 1 ) = { (/) } )
36	16, 35	eleqtrrid 2286	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. dom ( H ` 1 ) )
37		fveq2 5558	. . . . . . 7 |- ( i = 1 -> ( H ` i ) = ( H ` 1 ) )
38	37	dmeqd 4868	. . . . . 6 |- ( i = 1 -> dom ( H ` i ) = dom ( H ` 1 ) )
39	38	eleq2d 2266	. . . . 5 |- ( i = 1 -> ( (/) e. dom ( H ` i ) <-> (/) e. dom ( H ` 1 ) ) )
40	39	rspcev 2868	. . . 4 |- ( ( 1 e. NN0 /\ (/) e. dom ( H ` 1 ) ) -> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) )
41	14, 36, 40	sylancr 414	. . 3 |- ( ph -> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) )
42	17	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
43	18	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> F : om -onto-> A )
44	19	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
45		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = a -> ( F ` k ) = ( F ` a ) )
46	45	neeq1d 2385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = a -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> ( F ` a ) =/= ( F ` j ) ) )
47	46	ralbidv 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = a -> ( A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) ) )
48	47	cbvrexv 2730	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. a e. om A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) )
49	48	ralbii 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. n e. om E. a e. om A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) )
50	44, 49	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> A. n e. om E. a e. om A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) )
51		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> i e. NN0 )
52	42, 43, 50, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemex 12631	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> E. q e. NN0 dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) )
53	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
54	43	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> F : om -onto-> A )
55	44	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
56		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> q e. NN0 )
57	53, 54, 55, 20, 21, 22, 23, 56	ennnfonelemom 12625	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> dom ( H ` q ) e. om )
58		nnord 4648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom ( H ` q ) e. om -> Ord dom ( H ` q ) )
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> Ord dom ( H ` q ) )
60		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) )
61		ordsucss 4540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord dom ( H ` q ) -> ( dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) -> suc dom ( H ` i ) C_ dom ( H ` q ) ) )
62	59, 60, 61	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> suc dom ( H ` i ) C_ dom ( H ` q ) )
63		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> k e. dom ( H ` i ) )
64	42, 43, 44, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemom 12625	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> dom ( H ` i ) e. om )
65		nnsucelsuc 6549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom ( H ` i ) e. om -> ( k e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. suc dom ( H ` i ) ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> ( k e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. suc dom ( H ` i ) ) )
67	63, 66	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> suc k e. suc dom ( H ` i ) )
68	67	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> suc k e. suc dom ( H ` i ) )
69	62, 68	sseldd 3184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> suc k e. dom ( H ` q ) )
70	69	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) -> ( dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) -> suc k e. dom ( H ` q ) ) )
71	70	reximdva 2599	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> ( E. q e. NN0 dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) -> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) ) )
72	52, 71	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) )
73	72	rexlimdva2 2617	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) -> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) ) )
74		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 |- ( i = q -> ( H ` i ) = ( H ` q ) )
75	74	dmeqd 4868	. . . . . . . 8 |- ( i = q -> dom ( H ` i ) = dom ( H ` q ) )
76	75	eleq2d 2266	. . . . . . 7 |- ( i = q -> ( suc k e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. dom ( H ` q ) ) )
77	76	cbvrexv 2730	. . . . . 6 |- ( E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) <-> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) )
78	73, 77	imbitrrdi 162	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) )
79	78	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. om -> ( ph -> ( E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) ) )
80	79	a2d 26	. . 3 |- ( k e. om -> ( ( ph -> E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) ) -> ( ph -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) ) )
81	4, 7, 10, 13, 41, 80	finds 4636	. 2 |- ( M e. om -> ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) ) )
82	1, 81	mpcom 36	1 |- ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   E.wrex 2476   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3450   ifcif 3561   {csn 3622   <.cop 3625   |-> cmpt 4094   Ord word 4397   suc csuc 4400   omcom 4626   `'ccnv 4662   dom cdm 4663   "cima 4666   Fn wfn 5253   -->wf 5254   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924  freccfrec 6448   ^pm cpm 6708   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   - cmin 8197   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   seqcseq 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pm 6710  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540

This theorem is referenced by:  ennnfonelemdm  12637