ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsnunfv Unicode version

Theorem fsnunfv 5553
Description: Recover the added point from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by NM, 18-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
fsnunfv  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) `  X )  =  Y )

Proof of Theorem fsnunfv
StepHypRef Expression
1 dmres 4776 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( F  |`  { X }
)  =  ( { X }  i^i  dom  F )
2 incom 3215 . . . . . . . . 9  |-  ( { X }  i^i  dom  F )  =  ( dom 
F  i^i  { X } )
31, 2eqtri 2120 . . . . . . . 8  |-  dom  ( F  |`  { X }
)  =  ( dom 
F  i^i  { X } )
4 disjsn 3532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  F  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  dom  F )
54biimpri 132 . . . . . . . 8  |-  ( -.  X  e.  dom  F  ->  ( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
63, 5syl5eq 2144 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  e.  dom  F  ->  dom  ( F  |`  { X } )  =  (/) )
763ad2ant3 972 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  dom  ( F  |`  { X } )  =  (/) )
8 relres 4783 . . . . . . 7  |-  Rel  ( F  |`  { X }
)
9 reldm0 4695 . . . . . . 7  |-  ( Rel  ( F  |`  { X } )  ->  (
( F  |`  { X } )  =  (/)  <->  dom  ( F  |`  { X } )  =  (/) ) )
108, 9ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  { X } )  =  (/)  <->  dom  ( F  |`  { X } )  =  (/) )
117, 10sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( F  |` 
{ X } )  =  (/) )
12 fnsng 5106 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  { <. X ,  Y >. }  Fn  { X } )
13123adant3 969 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  { <. X ,  Y >. }  Fn  { X } )
14 fnresdm 5168 . . . . . 6  |-  ( {
<. X ,  Y >. }  Fn  { X }  ->  ( { <. X ,  Y >. }  |`  { X } )  =  { <. X ,  Y >. } )
1513, 14syl 14 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( { <. X ,  Y >. }  |`  { X } )  =  { <. X ,  Y >. } )
1611, 15uneq12d 3178 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  { X }
)  u.  ( {
<. X ,  Y >. }  |`  { X } ) )  =  ( (/)  u. 
{ <. X ,  Y >. } ) )
17 resundir 4769 . . . 4  |-  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } )  =  ( ( F  |`  { X } )  u.  ( { <. X ,  Y >. }  |`  { X } ) )
18 uncom 3167 . . . . 5  |-  ( (/)  u. 
{ <. X ,  Y >. } )  =  ( { <. X ,  Y >. }  u.  (/) )
19 un0 3343 . . . . 5  |-  ( {
<. X ,  Y >. }  u.  (/) )  =  { <. X ,  Y >. }
2018, 19eqtr2i 2121 . . . 4  |-  { <. X ,  Y >. }  =  ( (/)  u.  { <. X ,  Y >. } )
2116, 17, 203eqtr4g 2157 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } )  =  { <. X ,  Y >. } )
2221fveq1d 5355 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } ) `  X
)  =  ( {
<. X ,  Y >. } `
 X ) )
23 snidg 3501 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  { X } )
24233ad2ant1 970 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  X  e.  { X } )
25 fvres 5377 . . 3  |-  ( X  e.  { X }  ->  ( ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } ) `  X )  =  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) `  X ) )
2624, 25syl 14 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } ) `  X
)  =  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) `
 X ) )
27 fvsng 5548 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( { <. X ,  Y >. } `  X
)  =  Y )
28273adant3 969 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( { <. X ,  Y >. } `
 X )  =  Y )
2922, 26, 283eqtr3d 2140 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) `  X )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448    u. cun 3019    i^i cin 3020   (/)c0 3310   {csn 3474   <.cop 3477   dom cdm 4477    |` cres 4479   Rel wrel 4482    Fn wfn 5054   ` cfv 5059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-res 4489  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-fv 5067
This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6152  tfr1onlemsucaccv  6168  tfrcllemsucaccv  6181  inftonninf  10055  hashinfom  10365  zfz1isolemiso  10423  fvsetsid  11775
  Copyright terms: Public domain W3C validator