Theorem fsnunfv 5808

Description: Recover the added point from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by NM, 18-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunfv	|- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )

Proof of Theorem fsnunfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4999	. . . . . . . . 9 |- dom ( F |` { X } ) = ( { X } i^i dom F )
2		incom 3373	. . . . . . . . 9 |- ( { X } i^i dom F ) = ( dom F i^i { X } )
3	1, 2	eqtri 2228	. . . . . . . 8 |- dom ( F |` { X } ) = ( dom F i^i { X } )
4		disjsn 3705	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. dom F )
5	4	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( -. X e. dom F -> ( dom F i^i { X } ) = (/) )
6	3, 5	eqtrid 2252	. . . . . . 7 |- ( -. X e. dom F -> dom ( F |` { X } ) = (/) )
7	6	3ad2ant3 1023	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> dom ( F |` { X } ) = (/) )
8		relres 5006	. . . . . . 7 |- Rel ( F |` { X } )
9		reldm0 4915	. . . . . . 7 |- ( Rel ( F |` { X } ) -> ( ( F |` { X } ) = (/) <-> dom ( F |` { X } ) = (/) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( F |` { X } ) = (/) <-> dom ( F |` { X } ) = (/) )
11	7, 10	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( F |` { X } ) = (/) )
12		fnsng 5340	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. X , Y >. } Fn { X } )
13	12	3adant3 1020	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> { <. X , Y >. } Fn { X } )
14		fnresdm 5404	. . . . . 6 |- ( { <. X , Y >. } Fn { X } -> ( { <. X , Y >. } |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( { <. X , Y >. } |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
16	11, 15	uneq12d 3336	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F |` { X } ) u. ( { <. X , Y >. } |` { X } ) ) = ( (/) u. { <. X , Y >. } ) )
17		resundir 4992	. . . 4 |- ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) = ( ( F |` { X } ) u. ( { <. X , Y >. } |` { X } ) )
18		uncom 3325	. . . . 5 |- ( (/) u. { <. X , Y >. } ) = ( { <. X , Y >. } u. (/) )
19		un0 3502	. . . . 5 |- ( { <. X , Y >. } u. (/) ) = { <. X , Y >. }
20	18, 19	eqtr2i 2229	. . . 4 |- { <. X , Y >. } = ( (/) u. { <. X , Y >. } )
21	16, 17, 20	3eqtr4g 2265	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
22	21	fveq1d 5601	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( { <. X , Y >. } ` X ) )
23		snidg 3672	. . . 4 |- ( X e. V -> X e. { X } )
24	23	3ad2ant1 1021	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> X e. { X } )
25		fvres 5623	. . 3 |- ( X e. { X } -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
26	24, 25	syl 14	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
27		fvsng 5803	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> ( { <. X , Y >. } ` X ) = Y )
28	27	3adant3 1020	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( { <. X , Y >. } ` X ) = Y )
29	22, 26, 28	3eqtr3d 2248	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   u. cun 3172   i^i cin 3173   (/)c0 3468   {csn 3643   <.cop 3646   dom cdm 4693   |` cres 4695   Rel wrel 4698   Fn wfn 5285   ` cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6434  tfr1onlemsucaccv  6450  tfrcllemsucaccv  6463  inftonninf  10624  hashinfom  10960  zfz1isolemiso  11021  cats1un  11212  fvsetsid  12981