Theorem fsnunfv 5718

Description: Recover the added point from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by NM, 18-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunfv	|- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )

Proof of Theorem fsnunfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4929	. . . . . . . . 9 |- dom ( F |` { X } ) = ( { X } i^i dom F )
2		incom 3328	. . . . . . . . 9 |- ( { X } i^i dom F ) = ( dom F i^i { X } )
3	1, 2	eqtri 2198	. . . . . . . 8 |- dom ( F |` { X } ) = ( dom F i^i { X } )
4		disjsn 3655	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. dom F )
5	4	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( -. X e. dom F -> ( dom F i^i { X } ) = (/) )
6	3, 5	eqtrid 2222	. . . . . . 7 |- ( -. X e. dom F -> dom ( F |` { X } ) = (/) )
7	6	3ad2ant3 1020	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> dom ( F |` { X } ) = (/) )
8		relres 4936	. . . . . . 7 |- Rel ( F |` { X } )
9		reldm0 4846	. . . . . . 7 |- ( Rel ( F |` { X } ) -> ( ( F |` { X } ) = (/) <-> dom ( F |` { X } ) = (/) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( F |` { X } ) = (/) <-> dom ( F |` { X } ) = (/) )
11	7, 10	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( F |` { X } ) = (/) )
12		fnsng 5264	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. X , Y >. } Fn { X } )
13	12	3adant3 1017	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> { <. X , Y >. } Fn { X } )
14		fnresdm 5326	. . . . . 6 |- ( { <. X , Y >. } Fn { X } -> ( { <. X , Y >. } |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( { <. X , Y >. } |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
16	11, 15	uneq12d 3291	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F |` { X } ) u. ( { <. X , Y >. } |` { X } ) ) = ( (/) u. { <. X , Y >. } ) )
17		resundir 4922	. . . 4 |- ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) = ( ( F |` { X } ) u. ( { <. X , Y >. } |` { X } ) )
18		uncom 3280	. . . . 5 |- ( (/) u. { <. X , Y >. } ) = ( { <. X , Y >. } u. (/) )
19		un0 3457	. . . . 5 |- ( { <. X , Y >. } u. (/) ) = { <. X , Y >. }
20	18, 19	eqtr2i 2199	. . . 4 |- { <. X , Y >. } = ( (/) u. { <. X , Y >. } )
21	16, 17, 20	3eqtr4g 2235	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
22	21	fveq1d 5518	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( { <. X , Y >. } ` X ) )
23		snidg 3622	. . . 4 |- ( X e. V -> X e. { X } )
24	23	3ad2ant1 1018	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> X e. { X } )
25		fvres 5540	. . 3 |- ( X e. { X } -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
26	24, 25	syl 14	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
27		fvsng 5713	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> ( { <. X , Y >. } ` X ) = Y )
28	27	3adant3 1017	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( { <. X , Y >. } ` X ) = Y )
29	22, 26, 28	3eqtr3d 2218	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3128   i^i cin 3129   (/)c0 3423   {csn 3593   <.cop 3596   dom cdm 4627   |` cres 4629   Rel wrel 4632   Fn wfn 5212   ` cfv 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-res 4639  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6326  tfr1onlemsucaccv  6342  tfrcllemsucaccv  6355  inftonninf  10441  hashinfom  10758  zfz1isolemiso  10819  fvsetsid  12496