Theorem fsnunfv 5454

Description: Recover the added point from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by NM, 18-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunfv	|- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )

Proof of Theorem fsnunfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4700	. . . . . . . . 9 |- dom ( F |` { X } ) = ( { X } i^i dom F )
2		incom 3181	. . . . . . . . 9 |- ( { X } i^i dom F ) = ( dom F i^i { X } )
3	1, 2	eqtri 2105	. . . . . . . 8 |- dom ( F |` { X } ) = ( dom F i^i { X } )
4		disjsn 3487	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. dom F )
5	4	biimpri 131	. . . . . . . 8 |- ( -. X e. dom F -> ( dom F i^i { X } ) = (/) )
6	3, 5	syl5eq 2129	. . . . . . 7 |- ( -. X e. dom F -> dom ( F |` { X } ) = (/) )
7	6	3ad2ant3 964	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> dom ( F |` { X } ) = (/) )
8		relres 4707	. . . . . . 7 |- Rel ( F |` { X } )
9		reldm0 4621	. . . . . . 7 |- ( Rel ( F |` { X } ) -> ( ( F |` { X } ) = (/) <-> dom ( F |` { X } ) = (/) ) )
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( ( F |` { X } ) = (/) <-> dom ( F |` { X } ) = (/) )
11	7, 10	sylibr 132	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( F |` { X } ) = (/) )
12		fnsng 5023	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. X , Y >. } Fn { X } )
13	12	3adant3 961	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> { <. X , Y >. } Fn { X } )
14		fnresdm 5085	. . . . . 6 |- ( { <. X , Y >. } Fn { X } -> ( { <. X , Y >. } |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( { <. X , Y >. } |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
16	11, 15	uneq12d 3144	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F |` { X } ) u. ( { <. X , Y >. } |` { X } ) ) = ( (/) u. { <. X , Y >. } ) )
17		resundir 4694	. . . 4 |- ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) = ( ( F |` { X } ) u. ( { <. X , Y >. } |` { X } ) )
18		uncom 3133	. . . . 5 |- ( (/) u. { <. X , Y >. } ) = ( { <. X , Y >. } u. (/) )
19		un0 3305	. . . . 5 |- ( { <. X , Y >. } u. (/) ) = { <. X , Y >. }
20	18, 19	eqtr2i 2106	. . . 4 |- { <. X , Y >. } = ( (/) u. { <. X , Y >. } )
21	16, 17, 20	3eqtr4g 2142	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
22	21	fveq1d 5264	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( { <. X , Y >. } ` X ) )
23		snidg 3456	. . . 4 |- ( X e. V -> X e. { X } )
24	23	3ad2ant1 962	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> X e. { X } )
25		fvres 5286	. . 3 |- ( X e. { X } -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
26	24, 25	syl 14	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
27		fvsng 5450	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> ( { <. X , Y >. } ` X ) = Y )
28	27	3adant3 961	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( { <. X , Y >. } ` X ) = Y )
29	22, 26, 28	3eqtr3d 2125	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 103   /\ w3a 922   = wceq 1287   e. wcel 1436   u. cun 2986   i^i cin 2987   (/)c0 3275   {csn 3431   <.cop 3434   dom cdm 4410   |` cres 4412   Rel wrel 4415   Fn wfn 4973   ` cfv 4978

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-pow 3983  ax-pr 4009

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4093  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-res 4422  df-iota 4943  df-fun 4980  df-fn 4981  df-fv 4986

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6038  tfr1onlemsucaccv  6054  tfrcllemsucaccv  6067  inftonninf  9768  hashinfom  10075  zfz1isolemiso  10133