Theorem fsnunfv 5629

Description: Recover the added point from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by NM, 18-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fsnunfv	|- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )

Proof of Theorem fsnunfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4848	. . . . . . . . 9 |- dom ( F |` { X } ) = ( { X } i^i dom F )
2		incom 3273	. . . . . . . . 9 |- ( { X } i^i dom F ) = ( dom F i^i { X } )
3	1, 2	eqtri 2161	. . . . . . . 8 |- dom ( F |` { X } ) = ( dom F i^i { X } )
4		disjsn 3593	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. dom F )
5	4	biimpri 132	. . . . . . . 8 |- ( -. X e. dom F -> ( dom F i^i { X } ) = (/) )
6	3, 5	syl5eq 2185	. . . . . . 7 |- ( -. X e. dom F -> dom ( F |` { X } ) = (/) )
7	6	3ad2ant3 1005	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> dom ( F |` { X } ) = (/) )
8		relres 4855	. . . . . . 7 |- Rel ( F |` { X } )
9		reldm0 4765	. . . . . . 7 |- ( Rel ( F |` { X } ) -> ( ( F |` { X } ) = (/) <-> dom ( F |` { X } ) = (/) ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( F |` { X } ) = (/) <-> dom ( F |` { X } ) = (/) )
11	7, 10	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( F |` { X } ) = (/) )
12		fnsng 5178	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> { <. X , Y >. } Fn { X } )
13	12	3adant3 1002	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> { <. X , Y >. } Fn { X } )
14		fnresdm 5240	. . . . . 6 |- ( { <. X , Y >. } Fn { X } -> ( { <. X , Y >. } |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( { <. X , Y >. } |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
16	11, 15	uneq12d 3236	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F |` { X } ) u. ( { <. X , Y >. } |` { X } ) ) = ( (/) u. { <. X , Y >. } ) )
17		resundir 4841	. . . 4 |- ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) = ( ( F |` { X } ) u. ( { <. X , Y >. } |` { X } ) )
18		uncom 3225	. . . . 5 |- ( (/) u. { <. X , Y >. } ) = ( { <. X , Y >. } u. (/) )
19		un0 3401	. . . . 5 |- ( { <. X , Y >. } u. (/) ) = { <. X , Y >. }
20	18, 19	eqtr2i 2162	. . . 4 |- { <. X , Y >. } = ( (/) u. { <. X , Y >. } )
21	16, 17, 20	3eqtr4g 2198	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) = { <. X , Y >. } )
22	21	fveq1d 5431	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( { <. X , Y >. } ` X ) )
23		snidg 3561	. . . 4 |- ( X e. V -> X e. { X } )
24	23	3ad2ant1 1003	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> X e. { X } )
25		fvres 5453	. . 3 |- ( X e. { X } -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
26	24, 25	syl 14	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( ( F u. { <. X , Y >. } ) |` { X } ) ` X ) = ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) )
27		fvsng 5624	. . 3 |- ( ( X e. V /\ Y e. W ) -> ( { <. X , Y >. } ` X ) = Y )
28	27	3adant3 1002	. 2 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( { <. X , Y >. } ` X ) = Y )
29	22, 26, 28	3eqtr3d 2181	1 |- ( ( X e. V /\ Y e. W /\ -. X e. dom F ) -> ( ( F u. { <. X , Y >. } ) ` X ) = Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   u. cun 3074   i^i cin 3075   (/)c0 3368   {csn 3532   <.cop 3535   dom cdm 4547   |` cres 4549   Rel wrel 4552   Fn wfn 5126   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6230  tfr1onlemsucaccv  6246  tfrcllemsucaccv  6259  inftonninf  10245  hashinfom  10556  zfz1isolemiso  10614  fvsetsid  12032