ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsnunfv Unicode version

Theorem fsnunfv 5621
Description: Recover the added point from a point-added function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by NM, 18-May-2017.)
Assertion
Ref Expression
fsnunfv  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) `  X )  =  Y )

Proof of Theorem fsnunfv
StepHypRef Expression
1 dmres 4840 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( F  |`  { X }
)  =  ( { X }  i^i  dom  F )
2 incom 3268 . . . . . . . . 9  |-  ( { X }  i^i  dom  F )  =  ( dom 
F  i^i  { X } )
31, 2eqtri 2160 . . . . . . . 8  |-  dom  ( F  |`  { X }
)  =  ( dom 
F  i^i  { X } )
4 disjsn 3585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  F  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  dom  F )
54biimpri 132 . . . . . . . 8  |-  ( -.  X  e.  dom  F  ->  ( dom  F  i^i  { X } )  =  (/) )
63, 5syl5eq 2184 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  e.  dom  F  ->  dom  ( F  |`  { X } )  =  (/) )
763ad2ant3 1004 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  dom  ( F  |`  { X } )  =  (/) )
8 relres 4847 . . . . . . 7  |-  Rel  ( F  |`  { X }
)
9 reldm0 4757 . . . . . . 7  |-  ( Rel  ( F  |`  { X } )  ->  (
( F  |`  { X } )  =  (/)  <->  dom  ( F  |`  { X } )  =  (/) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  { X } )  =  (/)  <->  dom  ( F  |`  { X } )  =  (/) )
117, 10sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( F  |` 
{ X } )  =  (/) )
12 fnsng 5170 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  { <. X ,  Y >. }  Fn  { X } )
13123adant3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  { <. X ,  Y >. }  Fn  { X } )
14 fnresdm 5232 . . . . . 6  |-  ( {
<. X ,  Y >. }  Fn  { X }  ->  ( { <. X ,  Y >. }  |`  { X } )  =  { <. X ,  Y >. } )
1513, 14syl 14 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( { <. X ,  Y >. }  |`  { X } )  =  { <. X ,  Y >. } )
1611, 15uneq12d 3231 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( ( F  |`  { X }
)  u.  ( {
<. X ,  Y >. }  |`  { X } ) )  =  ( (/)  u. 
{ <. X ,  Y >. } ) )
17 resundir 4833 . . . 4  |-  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } )  =  ( ( F  |`  { X } )  u.  ( { <. X ,  Y >. }  |`  { X } ) )
18 uncom 3220 . . . . 5  |-  ( (/)  u. 
{ <. X ,  Y >. } )  =  ( { <. X ,  Y >. }  u.  (/) )
19 un0 3396 . . . . 5  |-  ( {
<. X ,  Y >. }  u.  (/) )  =  { <. X ,  Y >. }
2018, 19eqtr2i 2161 . . . 4  |-  { <. X ,  Y >. }  =  ( (/)  u.  { <. X ,  Y >. } )
2116, 17, 203eqtr4g 2197 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } )  =  { <. X ,  Y >. } )
2221fveq1d 5423 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } ) `  X
)  =  ( {
<. X ,  Y >. } `
 X ) )
23 snidg 3554 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  { X } )
24233ad2ant1 1002 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  X  e.  { X } )
25 fvres 5445 . . 3  |-  ( X  e.  { X }  ->  ( ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } ) `  X )  =  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) `  X ) )
2624, 25syl 14 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( (
( F  u.  { <. X ,  Y >. } )  |`  { X } ) `  X
)  =  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) `
 X ) )
27 fvsng 5616 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W )  ->  ( { <. X ,  Y >. } `  X
)  =  Y )
28273adant3 1001 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( { <. X ,  Y >. } `
 X )  =  Y )
2922, 26, 283eqtr3d 2180 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  -.  X  e.  dom  F )  ->  ( ( F  u.  { <. X ,  Y >. } ) `  X )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    u. cun 3069    i^i cin 3070   (/)c0 3363   {csn 3527   <.cop 3530   dom cdm 4539    |` cres 4541   Rel wrel 4544    Fn wfn 5118   ` cfv 5123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-fv 5131
This theorem is referenced by:  tfrlemisucaccv  6222  tfr1onlemsucaccv  6238  tfrcllemsucaccv  6251  inftonninf  10226  hashinfom  10536  zfz1isolemiso  10594  fvsetsid  12007
  Copyright terms: Public domain W3C validator