Theorem funsng 5177

Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 28-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> Fun { <. A , B >. } )

Proof of Theorem funsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvsn 5176	. 2 |- Fun `' { <. B , A >. }
2		cnvsng 5032	. . . 4 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> `' { <. B , A >. } = { <. A , B >. } )
3	2	ancoms 266	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. B , A >. } = { <. A , B >. } )
4	3	funeqd 5153	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( Fun `' { <. B , A >. } <-> Fun { <. A , B >. } ) )
5	1, 4	mpbii 147	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> Fun { <. A , B >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   {csn 3532   <.cop 3535   `'ccnv 4546   Fun wfun 5125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-fun 5133

This theorem is referenced by:  fnsng  5178  funsn  5179  funprg  5181  funtpg  5182  setsfun  12033  setsfun0  12034  strle1g  12088  1strbas  12097