Theorem funsng 5402

Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 28-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> Fun { <. A , B >. } )

Proof of Theorem funsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcnvsn 5401	. 2 |- Fun `' { <. B , A >. }
2		cnvsng 5248	. . . 4 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> `' { <. B , A >. } = { <. A , B >. } )
3	2	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. B , A >. } = { <. A , B >. } )
4	3	funeqd 5374	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( Fun `' { <. B , A >. } <-> Fun { <. A , B >. } ) )
5	1, 4	mpbii 148	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> Fun { <. A , B >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   {csn 3689   <.cop 3692   `'ccnv 4748   Fun wfun 5346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-fun 5354

This theorem is referenced by:  fnsng  5403  funsn  5404  funprg  5406  funtpg  5407  snopfsuppdc  7252  setsfun  13247  setsfun0  13248  strle1g  13319  1strbas  13330  p1evtxdeqfilem  16306  trlsegvdeglem3  16457