Theorem funeu 5213

Description: There is exactly one value of a function. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funeu	|- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E! y A F y )

Distinct variable groups:   y, A   y, F

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem funeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5205	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
2		releldm 4839	. . . 4 |- ( ( Rel F /\ A F B ) -> A e. dom F )
3	1, 2	sylan 281	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> A e. dom F )
4		eldmg 4799	. . . 4 |- ( A e. dom F -> ( A e. dom F <-> E. y A F y ) )
5	4	ibi 175	. . 3 |- ( A e. dom F -> E. y A F y )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E. y A F y )
7		funmo 5203	. . . 4 |- ( Fun F -> E* y A F y )
8	7	adantr 274	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E* y A F y )
9		df-mo 2018	. . 3 |- ( E* y A F y <-> ( E. y A F y -> E! y A F y ) )
10	8, 9	sylib 121	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> ( E. y A F y -> E! y A F y ) )
11	6, 10	mpd 13	1 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E! y A F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1480   E!weu 2014   E*wmo 2015   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   dom cdm 4604   Rel wrel 4609   Fun wfun 5182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-fun 5190

This theorem is referenced by:  funeu2  5214  funbrfv  5525