Theorem funeu 5260

Description: There is exactly one value of a function. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funeu	|- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E! y A F y )

Distinct variable groups:   y, A   y, F

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem funeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5252	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
2		releldm 4880	. . . 4 |- ( ( Rel F /\ A F B ) -> A e. dom F )
3	1, 2	sylan 283	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> A e. dom F )
4		eldmg 4840	. . . 4 |- ( A e. dom F -> ( A e. dom F <-> E. y A F y ) )
5	4	ibi 176	. . 3 |- ( A e. dom F -> E. y A F y )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E. y A F y )
7		funmo 5250	. . . 4 |- ( Fun F -> E* y A F y )
8	7	adantr 276	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E* y A F y )
9		df-mo 2042	. . 3 |- ( E* y A F y <-> ( E. y A F y -> E! y A F y ) )
10	8, 9	sylib 122	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> ( E. y A F y -> E! y A F y ) )
11	6, 10	mpd 13	1 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E! y A F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1503   E!weu 2038   E*wmo 2039   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   dom cdm 4644   Rel wrel 4649   Fun wfun 5229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-fun 5237

This theorem is referenced by:  funeu2  5261  funbrfv  5575