Theorem funeu 5143

Description: There is exactly one value of a function. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funeu	|- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E! y A F y )

Distinct variable groups:   y, A   y, F

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem funeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5135	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
2		releldm 4769	. . . 4 |- ( ( Rel F /\ A F B ) -> A e. dom F )
3	1, 2	sylan 281	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> A e. dom F )
4		eldmg 4729	. . . 4 |- ( A e. dom F -> ( A e. dom F <-> E. y A F y ) )
5	4	ibi 175	. . 3 |- ( A e. dom F -> E. y A F y )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E. y A F y )
7		funmo 5133	. . . 4 |- ( Fun F -> E* y A F y )
8	7	adantr 274	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E* y A F y )
9		df-mo 2001	. . 3 |- ( E* y A F y <-> ( E. y A F y -> E! y A F y ) )
10	8, 9	sylib 121	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> ( E. y A F y -> E! y A F y ) )
11	6, 10	mpd 13	1 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E! y A F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1468   e. wcel 1480   E!weu 1997   E*wmo 1998   class class class wbr 3924   dom cdm 4534   Rel wrel 4539   Fun wfun 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-fun 5120

This theorem is referenced by:  funeu2  5144  funbrfv  5453