Theorem funeu 5106

Description: There is exactly one value of a function. (Contributed by NM, 22-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
funeu	|- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E! y A F y )

Distinct variable groups:   y, A   y, F

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem funeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funrel 5098	. . . 4 |- ( Fun F -> Rel F )
2		releldm 4734	. . . 4 |- ( ( Rel F /\ A F B ) -> A e. dom F )
3	1, 2	sylan 279	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> A e. dom F )
4		eldmg 4694	. . . 4 |- ( A e. dom F -> ( A e. dom F <-> E. y A F y ) )
5	4	ibi 175	. . 3 |- ( A e. dom F -> E. y A F y )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E. y A F y )
7		funmo 5096	. . . 4 |- ( Fun F -> E* y A F y )
8	7	adantr 272	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E* y A F y )
9		df-mo 1979	. . 3 |- ( E* y A F y <-> ( E. y A F y -> E! y A F y ) )
10	8, 9	sylib 121	. 2 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> ( E. y A F y -> E! y A F y ) )
11	6, 10	mpd 13	1 |- ( ( Fun F /\ A F B ) -> E! y A F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1451   e. wcel 1463   E!weu 1975   E*wmo 1976   class class class wbr 3895   dom cdm 4499   Rel wrel 4504   Fun wfun 5075

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-fun 5083

This theorem is referenced by:  funeu2  5107  funbrfv  5414