Theorem funmo 5333

Description: A function has at most one value for each argument. (Contributed by NM, 24-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funmo	|- ( Fun F -> E* y A F y )

Distinct variable groups:   y, A   y, F

Proof of Theorem funmo

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun6 5332	. . . . . 6 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x E* y x F y ) )
2	1	simplbi 274	. . . . 5 |- ( Fun F -> Rel F )
3		brrelex 4759	. . . . . 6 |- ( ( Rel F /\ A F y ) -> A e. _V )
4	3	ex 115	. . . . 5 |- ( Rel F -> ( A F y -> A e. _V ) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( Fun F -> ( A F y -> A e. _V ) )
6	5	ancrd 326	. . 3 |- ( Fun F -> ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) )
7	6	alrimiv 1920	. 2 |- ( Fun F -> A. y ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) )
8		breq1 4086	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( x F y <-> A F y ) )
9	8	mobidv 2113	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( E* y x F y <-> E* y A F y ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( Fun F -> E* y x F y ) <-> ( Fun F -> E* y A F y ) ) )
11	1	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( Fun F -> A. x E* y x F y )
12	11	19.21bi 1604	. . . . 5 |- ( Fun F -> E* y x F y )
13	10, 12	vtoclg 2861	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( Fun F -> E* y A F y ) )
14	13	com12 30	. . 3 |- ( Fun F -> ( A e. _V -> E* y A F y ) )
15		moanimv 2153	. . 3 |- ( E* y ( A e. _V /\ A F y ) <-> ( A e. _V -> E* y A F y ) )
16	14, 15	sylibr 134	. 2 |- ( Fun F -> E* y ( A e. _V /\ A F y ) )
17		moim 2142	. 2 |- ( A. y ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) -> ( E* y ( A e. _V /\ A F y ) -> E* y A F y ) )
18	7, 16, 17	sylc 62	1 |- ( Fun F -> E* y A F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1393   = wceq 1395   E*wmo 2078   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   class class class wbr 4083   Rel wrel 4724   Fun wfun 5312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-fun 5320

This theorem is referenced by:  funeu  5343  funco  5358  fununmo  5363  imadif  5401  fneu  5427  dff3im  5780  shftfn  11335