Theorem funmo 5348

Description: A function has at most one value for each argument. (Contributed by NM, 24-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funmo	|- ( Fun F -> E* y A F y )

Distinct variable groups:   y, A   y, F

Proof of Theorem funmo

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun6 5347	. . . . . 6 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x E* y x F y ) )
2	1	simplbi 274	. . . . 5 |- ( Fun F -> Rel F )
3		brrelex 4772	. . . . . 6 |- ( ( Rel F /\ A F y ) -> A e. _V )
4	3	ex 115	. . . . 5 |- ( Rel F -> ( A F y -> A e. _V ) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( Fun F -> ( A F y -> A e. _V ) )
6	5	ancrd 326	. . 3 |- ( Fun F -> ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) )
7	6	alrimiv 1922	. 2 |- ( Fun F -> A. y ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) )
8		breq1 4096	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( x F y <-> A F y ) )
9	8	mobidv 2115	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( E* y x F y <-> E* y A F y ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( Fun F -> E* y x F y ) <-> ( Fun F -> E* y A F y ) ) )
11	1	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( Fun F -> A. x E* y x F y )
12	11	19.21bi 1607	. . . . 5 |- ( Fun F -> E* y x F y )
13	10, 12	vtoclg 2865	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( Fun F -> E* y A F y ) )
14	13	com12 30	. . 3 |- ( Fun F -> ( A e. _V -> E* y A F y ) )
15		moanimv 2155	. . 3 |- ( E* y ( A e. _V /\ A F y ) <-> ( A e. _V -> E* y A F y ) )
16	14, 15	sylibr 134	. 2 |- ( Fun F -> E* y ( A e. _V /\ A F y ) )
17		moim 2144	. 2 |- ( A. y ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) -> ( E* y ( A e. _V /\ A F y ) -> E* y A F y ) )
18	7, 16, 17	sylc 62	1 |- ( Fun F -> E* y A F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1396   = wceq 1398   E*wmo 2080   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   class class class wbr 4093   Rel wrel 4736   Fun wfun 5327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-fun 5335

This theorem is referenced by:  funeu  5358  funco  5373  fununmo  5379  imadif  5417  fneu  5443  dff3im  5800  shftfn  11464