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Theorem funmo 5017
Description: A function has at most one value for each argument. (Contributed by NM, 24-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
funmo  |-  ( Fun 
F  ->  E* y  A F y )
Distinct variable groups:    y, A    y, F

Proof of Theorem funmo
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dffun6 5016 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x E* y  x F y ) )
21simplbi 268 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  ->  Rel  F )
3 brrelex 4466 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  F  /\  A F y )  ->  A  e.  _V )
43ex 113 . . . . 5  |-  ( Rel 
F  ->  ( A F y  ->  A  e.  _V ) )
52, 4syl 14 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( A F y  ->  A  e.  _V ) )
65ancrd 319 . . 3  |-  ( Fun 
F  ->  ( A F y  ->  ( A  e.  _V  /\  A F y ) ) )
76alrimiv 1802 . 2  |-  ( Fun 
F  ->  A. y
( A F y  ->  ( A  e. 
_V  /\  A F
y ) ) )
8 breq1 3840 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x F y  <->  A F
y ) )
98mobidv 1984 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( E* y  x F
y  <->  E* y  A F y ) )
109imbi2d 228 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( Fun  F  ->  E* y  x F y )  <->  ( Fun  F  ->  E* y  A F y ) ) )
111simprbi 269 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  A. x E* y  x F
y )
121119.21bi 1495 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  ->  E* y  x F y )
1310, 12vtoclg 2679 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Fun  F  ->  E* y  A F y ) )
1413com12 30 . . 3  |-  ( Fun 
F  ->  ( A  e.  _V  ->  E* y  A F y ) )
15 moanimv 2023 . . 3  |-  ( E* y ( A  e. 
_V  /\  A F
y )  <->  ( A  e.  _V  ->  E* y  A F y ) )
1614, 15sylibr 132 . 2  |-  ( Fun 
F  ->  E* y
( A  e.  _V  /\  A F y ) )
17 moim 2012 . 2  |-  ( A. y ( A F y  ->  ( A  e.  _V  /\  A F y ) )  -> 
( E* y ( A  e.  _V  /\  A F y )  ->  E* y  A F
y ) )
187, 16, 17sylc 61 1  |-  ( Fun 
F  ->  E* y  A F y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   E*wmo 1949   _Vcvv 2619   class class class wbr 3837   Rel wrel 4433   Fun wfun 4996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-fun 5004
This theorem is referenced by:  funeu  5026  funco  5040  imadif  5080  fneu  5104  dff3im  5428  shftfn  10223
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