Theorem funmo 5305

Description: A function has at most one value for each argument. (Contributed by NM, 24-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
funmo	|- ( Fun F -> E* y A F y )

Distinct variable groups:   y, A   y, F

Proof of Theorem funmo

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun6 5304	. . . . . 6 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. x E* y x F y ) )
2	1	simplbi 274	. . . . 5 |- ( Fun F -> Rel F )
3		brrelex 4733	. . . . . 6 |- ( ( Rel F /\ A F y ) -> A e. _V )
4	3	ex 115	. . . . 5 |- ( Rel F -> ( A F y -> A e. _V ) )
5	2, 4	syl 14	. . . 4 |- ( Fun F -> ( A F y -> A e. _V ) )
6	5	ancrd 326	. . 3 |- ( Fun F -> ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) )
7	6	alrimiv 1898	. 2 |- ( Fun F -> A. y ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) )
8		breq1 4062	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( x F y <-> A F y ) )
9	8	mobidv 2091	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( E* y x F y <-> E* y A F y ) )
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( Fun F -> E* y x F y ) <-> ( Fun F -> E* y A F y ) ) )
11	1	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( Fun F -> A. x E* y x F y )
12	11	19.21bi 1582	. . . . 5 |- ( Fun F -> E* y x F y )
13	10, 12	vtoclg 2838	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( Fun F -> E* y A F y ) )
14	13	com12 30	. . 3 |- ( Fun F -> ( A e. _V -> E* y A F y ) )
15		moanimv 2131	. . 3 |- ( E* y ( A e. _V /\ A F y ) <-> ( A e. _V -> E* y A F y ) )
16	14, 15	sylibr 134	. 2 |- ( Fun F -> E* y ( A e. _V /\ A F y ) )
17		moim 2120	. 2 |- ( A. y ( A F y -> ( A e. _V /\ A F y ) ) -> ( E* y ( A e. _V /\ A F y ) -> E* y A F y ) )
18	7, 16, 17	sylc 62	1 |- ( Fun F -> E* y A F y )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1371   = wceq 1373   E*wmo 2056   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   class class class wbr 4059   Rel wrel 4698   Fun wfun 5284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-fun 5292

This theorem is referenced by:  funeu  5315  funco  5330  fununmo  5335  imadif  5373  fneu  5399  dff3im  5748  shftfn  11250