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Theorem sbcfung 5147
Description: Distribute proper substitution through the function predicate. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
sbcfung  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. Fun  F  <->  Fun  [_ A  /  x ]_ F ) )

Proof of Theorem sbcfung
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbcan 2951 . . 3  |-  ( [. A  /  x ]. ( Rel  F  /\  A. w A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z ) )  <->  ( [. A  /  x ]. Rel  F  /\  [. A  /  x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z ) ) )
2 sbcrel 4625 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. Rel  F  <->  Rel  [_ A  /  x ]_ F ) )
3 sbcal 2960 . . . . 5  |-  ( [. A  /  x ]. A. w A. y A. z
( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z )  <->  A. w [. A  /  x ]. A. y A. z
( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z ) )
4 sbcal 2960 . . . . . . 7  |-  ( [. A  /  x ]. A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y [. A  /  x ]. A. z ( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z ) )
5 sbcal 2960 . . . . . . . . 9  |-  ( [. A  /  x ]. A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z )  <->  A. z [. A  /  x ]. ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z ) )
6 sbcimg 2950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z )  <->  ( [. A  /  x ]. (
w F y  /\  w F z )  ->  [. A  /  x ]. y  =  z
) ) )
7 sbcan 2951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. A  /  x ]. (
w F y  /\  w F z )  <->  ( [. A  /  x ]. w F y  /\  [. A  /  x ]. w F z ) )
8 sbcbrg 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. w F y  <->  [_ A  /  x ]_ w [_ A  /  x ]_ F [_ A  /  x ]_ y
) )
9 csbconstg 3016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ w  =  w )
10 csbconstg 3016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ y  =  y )
119, 10breq12d 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  V  ->  ( [_ A  /  x ]_ w [_ A  /  x ]_ F [_ A  /  x ]_ y  <->  w [_ A  /  x ]_ F
y ) )
128, 11bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. w F y  <->  w [_ A  /  x ]_ F
y ) )
13 sbcbrg 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. w F z  <->  [_ A  /  x ]_ w [_ A  /  x ]_ F [_ A  /  x ]_ z
) )
14 csbconstg 3016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  V  ->  [_ A  /  x ]_ z  =  z )
159, 14breq12d 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  V  ->  ( [_ A  /  x ]_ w [_ A  /  x ]_ F [_ A  /  x ]_ z  <->  w [_ A  /  x ]_ F
z ) )
1613, 15bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. w F z  <->  w [_ A  /  x ]_ F
z ) )
1712, 16anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  V  ->  (
( [. A  /  x ]. w F y  /\  [. A  /  x ]. w F z )  <->  ( w [_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z ) ) )
187, 17syl5bb 191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( w F y  /\  w F z )  <->  ( w [_ A  /  x ]_ F
y  /\  w [_ A  /  x ]_ F
z ) ) )
19 sbcg 2978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. y  =  z  <->  y  =  z ) )
2018, 19imbi12d 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  (
( [. A  /  x ]. ( w F y  /\  w F z )  ->  [. A  /  x ]. y  =  z )  <->  ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
216, 20bitrd 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z )  <->  ( (
w [_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
2221albidv 1796 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. z [. A  /  x ]. ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z )  <->  A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
235, 22syl5bb 191 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z )  <->  A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
2423albidv 1796 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y [. A  /  x ]. A. z ( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z )  <->  A. y A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
254, 24syl5bb 191 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. y A. z
( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z )  <->  A. y A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
2625albidv 1796 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. w [. A  /  x ]. A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z )  <->  A. w A. y A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
273, 26syl5bb 191 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z )  <->  A. w A. y A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
282, 27anbi12d 464 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( [. A  /  x ]. Rel  F  /\  [. A  /  x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  ->  y  =  z ) )  <->  ( Rel  [_ A  /  x ]_ F  /\  A. w A. y A. z ( ( w [_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) ) )
291, 28syl5bb 191 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( Rel  F  /\  A. w A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z ) )  <->  ( Rel  [_ A  /  x ]_ F  /\  A. w A. y A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) ) )
30 dffun2 5133 . . 3  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. w A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z ) ) )
3130sbcbii 2968 . 2  |-  ( [. A  /  x ]. Fun  F  <->  [. A  /  x ]. ( Rel  F  /\  A. w A. y A. z ( ( w F y  /\  w F z )  -> 
y  =  z ) ) )
32 dffun2 5133 . 2  |-  ( Fun  [_ A  /  x ]_ F  <->  ( Rel  [_ A  /  x ]_ F  /\  A. w A. y A. z ( ( w
[_ A  /  x ]_ F y  /\  w [_ A  /  x ]_ F z )  -> 
y  =  z ) ) )
3329, 31, 323bitr4g 222 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. Fun  F  <->  Fun  [_ A  /  x ]_ F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1329    e. wcel 1480   [.wsbc 2909   [_csb 3003   class class class wbr 3929   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-fun 5125
This theorem is referenced by:  sbcfng  5270
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