Theorem sbcfung 5222

Description: Distribute proper substitution through the function predicate. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sbcfung	|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Fun F <-> Fun [_ A / x ]_ F ) )

Proof of Theorem sbcfung

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcan 2997	. . 3 |- ( [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) <-> ( [. A / x ]. Rel F /\ [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) )
2		sbcrel 4697	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Rel F <-> Rel [_ A / x ]_ F ) )
3		sbcal 3006	. . . . 5 |- ( [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. w [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) )
4		sbcal 3006	. . . . . . 7 |- ( [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. y [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) )
5		sbcal 3006	. . . . . . . . 9 |- ( [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. z [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) )
6		sbcimg 2996	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) -> [. A / x ]. y = z ) ) )
7		sbcan 2997	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) <-> ( [. A / x ]. w F y /\ [. A / x ]. w F z ) )
8		sbcbrg 4043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F y <-> [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ y ) )
9		csbconstg 3063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ w = w )
10		csbconstg 3063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ y = y )
11	9, 10	breq12d 4002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ y <-> w [_ A / x ]_ F y ) )
12	8, 11	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F y <-> w [_ A / x ]_ F y ) )
13		sbcbrg 4043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F z <-> [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ z ) )
14		csbconstg 3063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ z = z )
15	9, 14	breq12d 4002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ z <-> w [_ A / x ]_ F z ) )
16	13, 15	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F z <-> w [_ A / x ]_ F z ) )
17	12, 16	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. w F y /\ [. A / x ]. w F z ) <-> ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) ) )
18	7, 17	syl5bb 191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) <-> ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) ) )
19		sbcg 3024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. y = z <-> y = z ) )
20	18, 19	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) -> [. A / x ]. y = z ) <-> ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
21	6, 20	bitrd 187	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
22	21	albidv 1817	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( A. z [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
23	5, 22	syl5bb 191	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
24	23	albidv 1817	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( A. y [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
25	4, 24	syl5bb 191	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
26	25	albidv 1817	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. w [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
27	3, 26	syl5bb 191	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
28	2, 27	anbi12d 470	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. Rel F /\ [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) ) )
29	1, 28	syl5bb 191	. 2 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) ) )
30		dffun2 5208	. . 3 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) )
31	30	sbcbii 3014	. 2 |- ( [. A / x ]. Fun F <-> [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) )
32		dffun2 5208	. 2 |- ( Fun [_ A / x ]_ F <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
33	29, 31, 32	3bitr4g 222	1 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Fun F <-> Fun [_ A / x ]_ F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   e. wcel 2141   [.wsbc 2955   [_csb 3049   class class class wbr 3989   Rel wrel 4616   Fun wfun 5192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-fun 5200

This theorem is referenced by:  sbcfng  5345