Theorem sbcfung 5295

Description: Distribute proper substitution through the function predicate. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sbcfung	|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Fun F <-> Fun [_ A / x ]_ F ) )

Proof of Theorem sbcfung

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcan 3041	. . 3 |- ( [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) <-> ( [. A / x ]. Rel F /\ [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) )
2		sbcrel 4761	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Rel F <-> Rel [_ A / x ]_ F ) )
3		sbcal 3050	. . . . 5 |- ( [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. w [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) )
4		sbcal 3050	. . . . . . 7 |- ( [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. y [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) )
5		sbcal 3050	. . . . . . . . 9 |- ( [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. z [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) )
6		sbcimg 3040	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) -> [. A / x ]. y = z ) ) )
7		sbcan 3041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) <-> ( [. A / x ]. w F y /\ [. A / x ]. w F z ) )
8		sbcbrg 4098	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F y <-> [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ y ) )
9		csbconstg 3107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ w = w )
10		csbconstg 3107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ y = y )
11	9, 10	breq12d 4057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ y <-> w [_ A / x ]_ F y ) )
12	8, 11	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F y <-> w [_ A / x ]_ F y ) )
13		sbcbrg 4098	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F z <-> [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ z ) )
14		csbconstg 3107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ z = z )
15	9, 14	breq12d 4057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ z <-> w [_ A / x ]_ F z ) )
16	13, 15	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F z <-> w [_ A / x ]_ F z ) )
17	12, 16	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. w F y /\ [. A / x ]. w F z ) <-> ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) ) )
18	7, 17	bitrid 192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) <-> ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) ) )
19		sbcg 3068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. y = z <-> y = z ) )
20	18, 19	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) -> [. A / x ]. y = z ) <-> ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
21	6, 20	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
22	21	albidv 1847	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( A. z [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
23	5, 22	bitrid 192	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
24	23	albidv 1847	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( A. y [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
25	4, 24	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
26	25	albidv 1847	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. w [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
27	3, 26	bitrid 192	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
28	2, 27	anbi12d 473	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. Rel F /\ [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) ) )
29	1, 28	bitrid 192	. 2 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) ) )
30		dffun2 5281	. . 3 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) )
31	30	sbcbii 3058	. 2 |- ( [. A / x ]. Fun F <-> [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) )
32		dffun2 5281	. 2 |- ( Fun [_ A / x ]_ F <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
33	29, 31, 32	3bitr4g 223	1 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Fun F <-> Fun [_ A / x ]_ F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   e. wcel 2176   [.wsbc 2998   [_csb 3093   class class class wbr 4044   Rel wrel 4680   Fun wfun 5265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-fun 5273

This theorem is referenced by:  sbcfng  5423