Theorem sbcfung 5357

Description: Distribute proper substitution through the function predicate. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
sbcfung	|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Fun F <-> Fun [_ A / x ]_ F ) )

Proof of Theorem sbcfung

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcan 3075	. . 3 |- ( [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) <-> ( [. A / x ]. Rel F /\ [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) )
2		sbcrel 4818	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Rel F <-> Rel [_ A / x ]_ F ) )
3		sbcal 3084	. . . . 5 |- ( [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. w [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) )
4		sbcal 3084	. . . . . . 7 |- ( [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. y [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) )
5		sbcal 3084	. . . . . . . . 9 |- ( [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. z [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) )
6		sbcimg 3074	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) -> [. A / x ]. y = z ) ) )
7		sbcan 3075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) <-> ( [. A / x ]. w F y /\ [. A / x ]. w F z ) )
8		sbcbrg 4148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F y <-> [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ y ) )
9		csbconstg 3142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ w = w )
10		csbconstg 3142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ y = y )
11	9, 10	breq12d 4106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ y <-> w [_ A / x ]_ F y ) )
12	8, 11	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F y <-> w [_ A / x ]_ F y ) )
13		sbcbrg 4148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F z <-> [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ z ) )
14		csbconstg 3142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ z = z )
15	9, 14	breq12d 4106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. V -> ( [_ A / x ]_ w [_ A / x ]_ F [_ A / x ]_ z <-> w [_ A / x ]_ F z ) )
16	13, 15	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. w F z <-> w [_ A / x ]_ F z ) )
17	12, 16	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. w F y /\ [. A / x ]. w F z ) <-> ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) ) )
18	7, 17	bitrid 192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) <-> ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) ) )
19		sbcg 3102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. y = z <-> y = z ) )
20	18, 19	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. ( w F y /\ w F z ) -> [. A / x ]. y = z ) <-> ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
21	6, 20	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
22	21	albidv 1872	. . . . . . . . 9 |- ( A e. V -> ( A. z [. A / x ]. ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
23	5, 22	bitrid 192	. . . . . . . 8 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
24	23	albidv 1872	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( A. y [. A / x ]. A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
25	4, 24	bitrid 192	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
26	25	albidv 1872	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A. w [. A / x ]. A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
27	3, 26	bitrid 192	. . . 4 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) <-> A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
28	2, 27	anbi12d 473	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. Rel F /\ [. A / x ]. A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) ) )
29	1, 28	bitrid 192	. 2 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) ) )
30		dffun2 5343	. . 3 |- ( Fun F <-> ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) )
31	30	sbcbii 3092	. 2 |- ( [. A / x ]. Fun F <-> [. A / x ]. ( Rel F /\ A. w A. y A. z ( ( w F y /\ w F z ) -> y = z ) ) )
32		dffun2 5343	. 2 |- ( Fun [_ A / x ]_ F <-> ( Rel [_ A / x ]_ F /\ A. w A. y A. z ( ( w [_ A / x ]_ F y /\ w [_ A / x ]_ F z ) -> y = z ) ) )
33	29, 31, 32	3bitr4g 223	1 |- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Fun F <-> Fun [_ A / x ]_ F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   e. wcel 2202   [.wsbc 3032   [_csb 3128   class class class wbr 4093   Rel wrel 4736   Fun wfun 5327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-fun 5335

This theorem is referenced by:  sbcfng  5487