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Theorem grprinvlem 5931
Description: Lemma for grprinvd 5932. (Contributed by NM, 9-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
grprinvlem.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
grprinvlem.o  |-  ( ph  ->  O  e.  B )
grprinvlem.i  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( O  .+  x )  =  x )
grprinvlem.a  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
grprinvlem.n  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  x )  =  O )
grprinvlem.x  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  X  e.  B )
grprinvlem.e  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( X  .+  X
)  =  X )
Assertion
Ref Expression
grprinvlem  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  X  =  O )
Distinct variable groups:    x, y, z, B    x, O, y, z    ph, x, y, z   
x,  .+ , y, z    y, X, z    ps, y
Allowed substitution hints:    ps( x, z)    X( x)

Proof of Theorem grprinvlem
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grprinvlem.x . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  X  e.  B )
2 grprinvlem.n . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  x )  =  O )
32ralrimiva 2480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  B  ( y  .+  x
)  =  O )
4 oveq2 5748 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
y  .+  x )  =  ( y  .+  z ) )
54eqeq1d 2124 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  .+  x
)  =  O  <->  ( y  .+  z )  =  O ) )
65rexbidv 2413 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  B  ( y  .+  x
)  =  O  <->  E. y  e.  B  ( y  .+  z )  =  O ) )
76cbvralv 2629 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  E. y  e.  B  (
y  .+  x )  =  O  <->  A. z  e.  B  E. y  e.  B  ( y  .+  z
)  =  O )
83, 7sylib 121 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  E. y  e.  B  ( y  .+  z
)  =  O )
9 oveq2 5748 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  .+  X ) )
109eqeq1d 2124 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  (
( y  .+  z
)  =  O  <->  ( y  .+  X )  =  O ) )
1110rexbidv 2413 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  ( E. y  e.  B  ( y  .+  z
)  =  O  <->  E. y  e.  B  ( y  .+  X )  =  O ) )
1211rspccva 2760 . . . 4  |-  ( ( A. z  e.  B  E. y  e.  B  ( y  .+  z
)  =  O  /\  X  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  X
)  =  O )
138, 12sylan 279 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  B )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  X )  =  O )
141, 13syldan 278 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. y  e.  B  ( y  .+  X
)  =  O )
15 grprinvlem.e . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( X  .+  X
)  =  X )
1615oveq2d 5756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( y  .+  ( X  .+  X ) )  =  ( y  .+  X ) )
1716adantr 272 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  -> 
( y  .+  ( X  .+  X ) )  =  ( y  .+  X ) )
18 simprr 504 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  -> 
( y  .+  X
)  =  O )
1918oveq1d 5755 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  -> 
( ( y  .+  X )  .+  X
)  =  ( O 
.+  X ) )
20 simpll 501 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  ->  ph )
21 grprinvlem.a . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
2221caovassg 5895 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
2320, 22sylan 279 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ps )  /\  (
y  e.  B  /\  ( y  .+  X
)  =  O ) )  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
24 simprl 503 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  -> 
y  e.  B )
251adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  ->  X  e.  B )
2623, 24, 25, 25caovassd 5896 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  -> 
( ( y  .+  X )  .+  X
)  =  ( y 
.+  ( X  .+  X ) ) )
27 oveq2 5748 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  ( O  .+  y )  =  ( O  .+  X
) )
28 id 19 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  y  =  X )
2927, 28eqeq12d 2130 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  (
( O  .+  y
)  =  y  <->  ( O  .+  X )  =  X ) )
30 grprinvlem.i . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( O  .+  x )  =  x )
3130ralrimiva 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( O  .+  x )  =  x )
32 oveq2 5748 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( O  .+  x )  =  ( O  .+  y
) )
33 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
3432, 33eqeq12d 2130 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( O  .+  x
)  =  x  <->  ( O  .+  y )  =  y ) )
3534cbvralv 2629 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  B  ( O  .+  x )  =  x  <->  A. y  e.  B  ( O  .+  y )  =  y )
3631, 35sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( O  .+  y )  =  y )
3736adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. y  e.  B  ( O  .+  y )  =  y )
3829, 37, 1rspcdva 2766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( O  .+  X
)  =  X )
3938adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  -> 
( O  .+  X
)  =  X )
4019, 26, 393eqtr3d 2156 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  -> 
( y  .+  ( X  .+  X ) )  =  X )
4117, 40, 183eqtr3d 2156 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( y  e.  B  /\  ( y 
.+  X )  =  O ) )  ->  X  =  O )
4214, 41rexlimddv 2529 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  X  =  O )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392  (class class class)co 5740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-iota 5056  df-fv 5099  df-ov 5743
This theorem is referenced by:  grprinvd  5932
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