Theorem grprinvd 13769

Description: The right inverse of a group element. Deduction associated with grprinv 13764. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplinvd.b	|- B = ( Base ` G )
grplinvd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grplinvd.u	|- .0. = ( 0g ` G )
grplinvd.n	|- N = ( invg ` G )
grplinvd.g	|- ( ph -> G e. Grp )
grplinvd.1	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
grprinvd	|- ( ph -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )

Proof of Theorem grprinvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplinvd.g	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grplinvd.1	. 2 |- ( ph -> X e. B )
3		grplinvd.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
4		grplinvd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
5		grplinvd.u	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
6		grplinvd.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
7	3, 4, 5, 6	grprinv 13764	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )
8	1, 2, 7	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   0gc0g 13469   Grpcgrp 13713   invgcminusg 13714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717

This theorem is referenced by:  conjnmz  13996  rngmneg1  14091