Theorem grprinvd 13306

Description: The right inverse of a group element. Deduction associated with grprinv 13301. (Contributed by SN, 29-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplinvd.b	|- B = ( Base ` G )
grplinvd.p	|- .+ = ( +g ` G )
grplinvd.u	|- .0. = ( 0g ` G )
grplinvd.n	|- N = ( invg ` G )
grplinvd.g	|- ( ph -> G e. Grp )
grplinvd.1	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
grprinvd	|- ( ph -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )

Proof of Theorem grprinvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grplinvd.g	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
2		grplinvd.1	. 2 |- ( ph -> X e. B )
3		grplinvd.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
4		grplinvd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
5		grplinvd.u	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
6		grplinvd.n	. . 3 |- N = ( invg ` G )
7	3, 4, 5, 6	grprinv 13301	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )
8	1, 2, 7	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( X .+ ( N ` X ) ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   Basecbs 12751   +g cplusg 12828   0gc0g 13006   Grpcgrp 13250   invgcminusg 13251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1re 8001  ax-addrcl 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-inn 9019  df-2 9077  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-plusg 12841  df-0g 13008  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-minusg 13254

This theorem is referenced by:  conjnmz  13533  rngmneg1  13627