Theorem infmoti 7094

Description: Any class 𝐵 has at most one infimum in 𝐴 (where 𝑅 is interpreted as 'less than'). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
infmoti.ti	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))

Assertion

Ref	Expression
infmoti	⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infmoti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infmoti.ti	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
2	1	cnvti 7085	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢◡𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣◡𝑅𝑢)))
3	2	supmoti 7059	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))
4		vex 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
5		vex 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	4, 5	brcnv 4849	. . . . . 6 ⊢ (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)
7	6	notbii 669	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
8	7	ralbii 2503	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
9	5, 4	brcnv 4849	. . . . . 6 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
10		vex 2766	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
11	5, 10	brcnv 4849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑦)
12	11	rexbii 2504	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)
13	9, 12	imbi12i 239	. . . . 5 ⊢ ((𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧) ↔ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))
14	13	ralbii 2503	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))
15	8, 14	anbi12i 460	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
16	15	rmobii 2688	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)) ↔ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
17	3, 16	sylib 122	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  ∃*wrmo 2478   class class class wbr 4033  ^◡ccnv 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rmo 2483  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-cnv 4671

This theorem is referenced by:  infeuti  7095