Theorem supmoti 6970

Description: Any class B has at most one supremum in A (where R is interpreted as 'less than'). The hypothesis is satisfied by real numbers (see lttri3 7999) or other orders which correspond to tight apartnesses. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
supmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supmoti	|- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, x   y, A, x, z   x, B, y, z   u, R, v, x   y, R, z   ph, u, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( v, u)

Proof of Theorem supmoti

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 264	. . . . . . 7 |- ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B -. w R y ) <-> ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. B -. x R y ) )
2	1	anbi2ci 456	. . . . . 6 |- ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B -. w R y ) /\ ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. B -. x R y ) ) )
3		an42 582	. . . . . 6 |- ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. B -. w R y ) /\ ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
4		an42 582	. . . . . 6 |- ( ( ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. x R y ) /\ ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. w R y ) ) <-> ( ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. B -. x R y ) ) )
5	2, 3, 4	3bitr4i 211	. . . . 5 |- ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) <-> ( ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. x R y ) /\ ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. w R y ) ) )
6		ralnex 2458	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. B -. x R y <-> -. E. y e. B x R y )
7		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( y R w <-> x R w ) )
8		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( y R z <-> x R z ) )
9	8	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( E. z e. B y R z <-> E. z e. B x R z ) )
10	7, 9	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( ( y R w -> E. z e. B y R z ) <-> ( x R w -> E. z e. B x R z ) ) )
11	10	rspcva 2832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) -> ( x R w -> E. z e. B x R z ) )
12		breq2 3993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( x R y <-> x R z ) )
13	12	cbvrexv 2697	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. B x R y <-> E. z e. B x R z )
14	11, 13	syl6ibr 161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) -> ( x R w -> E. y e. B x R y ) )
15	14	con3d 626	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) -> ( -. E. y e. B x R y -> -. x R w ) )
16	6, 15	syl5bi 151	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) -> ( A. y e. B -. x R y -> -. x R w ) )
17	16	expimpd 361	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. x R y ) -> -. x R w ) )
18	17	ad2antrl 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. x R y ) -> -. x R w ) )
19		ralnex 2458	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. B -. w R y <-> -. E. y e. B w R y )
20		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( y R x <-> w R x ) )
21		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( y R z <-> w R z ) )
22	21	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( E. z e. B y R z <-> E. z e. B w R z ) )
23	20, 22	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = w -> ( ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> ( w R x -> E. z e. B w R z ) ) )
24	23	rspcva 2832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. A /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( w R x -> E. z e. B w R z ) )
25		breq2 3993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( w R y <-> w R z ) )
26	25	cbvrexv 2697	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. B w R y <-> E. z e. B w R z )
27	24, 26	syl6ibr 161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. A /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( w R x -> E. y e. B w R y ) )
28	27	con3d 626	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. A /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( -. E. y e. B w R y -> -. w R x ) )
29	19, 28	syl5bi 151	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. A /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( A. y e. B -. w R y -> -. w R x ) )
30	29	expimpd 361	. . . . . . 7 |- ( w e. A -> ( ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. w R y ) -> -. w R x ) )
31	30	ad2antll 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. w R y ) -> -. w R x ) )
32	18, 31	anim12d 333	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. x R y ) /\ ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) /\ A. y e. B -. w R y ) ) -> ( -. x R w /\ -. w R x ) ) )
33	5, 32	syl5bi 151	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( -. x R w /\ -. w R x ) ) )
34		supmoti.ti	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
35	34	ralrimivva 2552	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
36		equequ1 1705	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( u = v <-> x = v ) )
37		breq1 3992	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( u R v <-> x R v ) )
38	37	notbid 662	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( -. u R v <-> -. x R v ) )
39		breq2 3993	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( v R u <-> v R x ) )
40	39	notbid 662	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( -. v R u <-> -. v R x ) )
41	38, 40	anbi12d 470	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( ( -. u R v /\ -. v R u ) <-> ( -. x R v /\ -. v R x ) ) )
42	36, 41	bibi12d 234	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> ( x = v <-> ( -. x R v /\ -. v R x ) ) ) )
43		equequ2 1706	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( x = v <-> x = w ) )
44		breq2 3993	. . . . . . . . 9 |- ( v = w -> ( x R v <-> x R w ) )
45	44	notbid 662	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( -. x R v <-> -. x R w ) )
46		breq1 3992	. . . . . . . . 9 |- ( v = w -> ( v R x <-> w R x ) )
47	46	notbid 662	. . . . . . . 8 |- ( v = w -> ( -. v R x <-> -. w R x ) )
48	45, 47	anbi12d 470	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( ( -. x R v /\ -. v R x ) <-> ( -. x R w /\ -. w R x ) ) )
49	43, 48	bibi12d 234	. . . . . 6 |- ( v = w -> ( ( x = v <-> ( -. x R v /\ -. v R x ) ) <-> ( x = w <-> ( -. x R w /\ -. w R x ) ) ) )
50	42, 49	rspc2v 2847	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ w e. A ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) -> ( x = w <-> ( -. x R w /\ -. w R x ) ) ) )
51	35, 50	mpan9 279	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( x = w <-> ( -. x R w /\ -. w R x ) ) )
52	33, 51	sylibrd 168	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ w e. A ) ) -> ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) -> x = w ) )
53	52	ralrimivva 2552	. 2 |- ( ph -> A. x e. A A. w e. A ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) -> x = w ) )
54		breq1 3992	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( x R y <-> w R y ) )
55	54	notbid 662	. . . . 5 |- ( x = w -> ( -. x R y <-> -. w R y ) )
56	55	ralbidv 2470	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. y e. B -. x R y <-> A. y e. B -. w R y ) )
57		breq2 3993	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( y R x <-> y R w ) )
58	57	imbi1d 230	. . . . 5 |- ( x = w -> ( ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) )
59	58	ralbidv 2470	. . . 4 |- ( x = w -> ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) )
60	56, 59	anbi12d 470	. . 3 |- ( x = w -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) )
61	60	rmo4 2923	. 2 |- ( E* x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) <-> A. x e. A A. w e. A ( ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) /\ ( A. y e. B -. w R y /\ A. y e. A ( y R w -> E. z e. B y R z ) ) ) -> x = w ) )
62	53, 61	sylibr 133	1 |- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   E*wrmo 2451   class class class wbr 3989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rmo 2456  df-v 2732  df-un 3125  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990

This theorem is referenced by:  supeuti  6971  infmoti  7005