Theorem infnlbti 7356

Description: A lower bound is not greater than the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infclti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
infclti.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infnlbti	|- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. z e. B -. z R C ) -> -. inf ( B , A , R ) R C ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   u, R, v, x, y, z   ph, u, v, x, y, z   z, C

Allowed substitution hints:   C( x, y, v, u)

Proof of Theorem infnlbti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infclti.ti	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2		infclti.ex	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
3	1, 2	infglbti 7355	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ inf ( B , A , R ) R C ) -> E. z e. B z R C ) )
4	3	expdimp 259	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> (inf ( B , A , R ) R C -> E. z e. B z R C ) )
5		rexalim 2543	. . . 4 |- ( E. z e. B z R C -> -. A. z e. B -. z R C )
6	4, 5	syl6 33	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> (inf ( B , A , R ) R C -> -. A. z e. B -. z R C ) )
7	6	con2d 633	. 2 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( A. z e. B -. z R C -> -. inf ( B , A , R ) R C ) )
8	7	expimpd 363	1 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. z e. B -. z R C ) -> -. inf ( B , A , R ) R C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   class class class wbr 4125  infcinf 7313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-cnv 4777  df-iota 5332  df-riota 6028  df-sup 7314  df-inf 7315

This theorem is referenced by:  infregelbex  9977