Theorem infnlbti 7317

Description: A lower bound is not greater than the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infclti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
infclti.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infnlbti	|- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. z e. B -. z R C ) -> -. inf ( B , A , R ) R C ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   u, R, v, x, y, z   ph, u, v, x, y, z   z, C

Allowed substitution hints:   C( x, y, v, u)

Proof of Theorem infnlbti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infclti.ti	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2		infclti.ex	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
3	1, 2	infglbti 7316	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ inf ( B , A , R ) R C ) -> E. z e. B z R C ) )
4	3	expdimp 259	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> (inf ( B , A , R ) R C -> E. z e. B z R C ) )
5		rexalim 2535	. . . 4 |- ( E. z e. B z R C -> -. A. z e. B -. z R C )
6	4, 5	syl6 33	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> (inf ( B , A , R ) R C -> -. A. z e. B -. z R C ) )
7	6	con2d 629	. 2 |- ( ( ph /\ C e. A ) -> ( A. z e. B -. z R C -> -. inf ( B , A , R ) R C ) )
8	7	expimpd 363	1 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. z e. B -. z R C ) -> -. inf ( B , A , R ) R C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   class class class wbr 4109  infcinf 7274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-cnv 4757  df-iota 5312  df-riota 6003  df-sup 7275  df-inf 7276

This theorem is referenced by:  infregelbex  9930