Theorem infregelbex 9834

Description: Any lower bound of a set of real numbers with an infimum is less than or equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
infregelbex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
infregelbex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
infregelbex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
infregelbex	|- ( ph -> ( B <_ inf ( A , RR , < ) <-> A. z e. A B <_ z ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem infregelbex

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infregelbex.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B e. RR )
3		lttri3 8261	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. RR /\ c e. RR ) -> ( b = c <-> ( -. b < c /\ -. c < b ) ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. RR /\ c e. RR ) ) -> ( b = c <-> ( -. b < c /\ -. c < b ) ) )
5		infregelbex.ex	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
6	4, 5	infclti 7224	. . . . . 6 |- ( ph -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
7	6	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
8		infregelbex.ss	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ RR )
9	8	sselda 3226	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. RR )
10	9	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> a e. RR )
11		simplr 529	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B <_ inf ( A , RR , < ) )
12	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
13	4, 5	inflbti 7225	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( a e. A -> -. a < inf ( A , RR , < ) ) )
14	13	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> -. a < inf ( A , RR , < ) )
15	12, 9, 14	nltled 8302	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ a )
16	15	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ a )
17	2, 7, 10, 11, 16	letrd 8305	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B <_ a )
18	17	ralrimiva 2604	. . 3 |- ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) -> A. a e. A B <_ a )
19		breq2 4091	. . . 4 |- ( a = z -> ( B <_ a <-> B <_ z ) )
20	19	cbvralv 2766	. . 3 |- ( A. a e. A B <_ a <-> A. z e. A B <_ z )
21	18, 20	sylib 122	. 2 |- ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) -> A. z e. A B <_ z )
22	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> B e. RR )
23	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
24		simpl 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ph )
25		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. z e. A B <_ z )
26		breq2 4091	. . . . . . . . 9 |- ( z = d -> ( B <_ z <-> B <_ d ) )
27	26	cbvralv 2766	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A B <_ z <-> A. d e. A B <_ d )
28	25, 27	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. d e. A B <_ d )
29	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> B e. RR )
30	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> A C_ RR )
31		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> d e. A )
32	30, 31	sseldd 3227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> d e. RR )
33	29, 32	lenltd 8299	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> ( B <_ d <-> -. d < B ) )
34	33	ralbidva 2527	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ( A. d e. A B <_ d <-> A. d e. A -. d < B ) )
35	28, 34	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. d e. A -. d < B )
36		breq1 4090	. . . . . . . 8 |- ( d = z -> ( d < B <-> z < B ) )
37	36	notbid 673	. . . . . . 7 |- ( d = z -> ( -. d < B <-> -. z < B ) )
38	37	cbvralv 2766	. . . . . 6 |- ( A. d e. A -. d < B <-> A. z e. A -. z < B )
39	35, 38	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. z e. A -. z < B )
40	22, 39	jca 306	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ( B e. RR /\ A. z e. A -. z < B ) )
41	4, 5	infnlbti 7227	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B e. RR /\ A. z e. A -. z < B ) -> -. inf ( A , RR , < ) < B ) )
42	24, 40, 41	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> -. inf ( A , RR , < ) < B )
43	22, 23, 42	nltled 8302	. 2 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> B <_ inf ( A , RR , < ) )
44	21, 43	impbida 600	1 |- ( ph -> ( B <_ inf ( A , RR , < ) <-> A. z e. A B <_ z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2201   A.wral 2509   E.wrex 2510   C_ wss 3199   class class class wbr 4087  infcinf 7184   RRcr 8033   < clt 8216   <_ cle 8217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-apti 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-br 4088  df-opab 4150  df-xp 4730  df-cnv 4732  df-iota 5285  df-riota 5973  df-sup 7185  df-inf 7186  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  13091