Theorem infregelbex 9532

Description: Any lower bound of a set of real numbers with an infimum is less than or equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
infregelbex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
infregelbex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
infregelbex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
infregelbex	|- ( ph -> ( B <_ inf ( A , RR , < ) <-> A. z e. A B <_ z ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem infregelbex

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infregelbex.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
2	1	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B e. RR )
3		lttri3 7974	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. RR /\ c e. RR ) -> ( b = c <-> ( -. b < c /\ -. c < b ) ) )
4	3	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. RR /\ c e. RR ) ) -> ( b = c <-> ( -. b < c /\ -. c < b ) ) )
5		infregelbex.ex	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
6	4, 5	infclti 6984	. . . . . 6 |- ( ph -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
7	6	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
8		infregelbex.ss	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ RR )
9	8	sselda 3141	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. RR )
10	9	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> a e. RR )
11		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B <_ inf ( A , RR , < ) )
12	6	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
13	4, 5	inflbti 6985	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( a e. A -> -. a < inf ( A , RR , < ) ) )
14	13	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> -. a < inf ( A , RR , < ) )
15	12, 9, 14	nltled 8015	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ a )
16	15	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ a )
17	2, 7, 10, 11, 16	letrd 8018	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B <_ a )
18	17	ralrimiva 2538	. . 3 |- ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) -> A. a e. A B <_ a )
19		breq2 3985	. . . 4 |- ( a = z -> ( B <_ a <-> B <_ z ) )
20	19	cbvralv 2691	. . 3 |- ( A. a e. A B <_ a <-> A. z e. A B <_ z )
21	18, 20	sylib 121	. 2 |- ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) -> A. z e. A B <_ z )
22	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> B e. RR )
23	6	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
24		simpl 108	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ph )
25		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. z e. A B <_ z )
26		breq2 3985	. . . . . . . . 9 |- ( z = d -> ( B <_ z <-> B <_ d ) )
27	26	cbvralv 2691	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A B <_ z <-> A. d e. A B <_ d )
28	25, 27	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. d e. A B <_ d )
29	1	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> B e. RR )
30	8	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> A C_ RR )
31		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> d e. A )
32	30, 31	sseldd 3142	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> d e. RR )
33	29, 32	lenltd 8012	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> ( B <_ d <-> -. d < B ) )
34	33	ralbidva 2461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ( A. d e. A B <_ d <-> A. d e. A -. d < B ) )
35	28, 34	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. d e. A -. d < B )
36		breq1 3984	. . . . . . . 8 |- ( d = z -> ( d < B <-> z < B ) )
37	36	notbid 657	. . . . . . 7 |- ( d = z -> ( -. d < B <-> -. z < B ) )
38	37	cbvralv 2691	. . . . . 6 |- ( A. d e. A -. d < B <-> A. z e. A -. z < B )
39	35, 38	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. z e. A -. z < B )
40	22, 39	jca 304	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ( B e. RR /\ A. z e. A -. z < B ) )
41	4, 5	infnlbti 6987	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B e. RR /\ A. z e. A -. z < B ) -> -. inf ( A , RR , < ) < B ) )
42	24, 40, 41	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> -. inf ( A , RR , < ) < B )
43	22, 23, 42	nltled 8015	. 2 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> B <_ inf ( A , RR , < ) )
44	21, 43	impbida 586	1 |- ( ph -> ( B <_ inf ( A , RR , < ) <-> A. z e. A B <_ z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   A.wral 2443   E.wrex 2444   C_ wss 3115   class class class wbr 3981  infcinf 6944   RRcr 7748   < clt 7929   <_ cle 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-apti 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-iota 5152  df-riota 5797  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12379