Theorem infregelbex 9611

Description: Any lower bound of a set of real numbers with an infimum is less than or equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
infregelbex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
infregelbex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
infregelbex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
infregelbex	|- ( ph -> ( B <_ inf ( A , RR , < ) <-> A. z e. A B <_ z ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem infregelbex

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infregelbex.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B e. RR )
3		lttri3 8050	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. RR /\ c e. RR ) -> ( b = c <-> ( -. b < c /\ -. c < b ) ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. RR /\ c e. RR ) ) -> ( b = c <-> ( -. b < c /\ -. c < b ) ) )
5		infregelbex.ex	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
6	4, 5	infclti 7035	. . . . . 6 |- ( ph -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
7	6	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
8		infregelbex.ss	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ RR )
9	8	sselda 3167	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. RR )
10	9	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> a e. RR )
11		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B <_ inf ( A , RR , < ) )
12	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
13	4, 5	inflbti 7036	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( a e. A -> -. a < inf ( A , RR , < ) ) )
14	13	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> -. a < inf ( A , RR , < ) )
15	12, 9, 14	nltled 8091	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ a )
16	15	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ a )
17	2, 7, 10, 11, 16	letrd 8094	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B <_ a )
18	17	ralrimiva 2560	. . 3 |- ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) -> A. a e. A B <_ a )
19		breq2 4019	. . . 4 |- ( a = z -> ( B <_ a <-> B <_ z ) )
20	19	cbvralv 2715	. . 3 |- ( A. a e. A B <_ a <-> A. z e. A B <_ z )
21	18, 20	sylib 122	. 2 |- ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) -> A. z e. A B <_ z )
22	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> B e. RR )
23	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
24		simpl 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ph )
25		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. z e. A B <_ z )
26		breq2 4019	. . . . . . . . 9 |- ( z = d -> ( B <_ z <-> B <_ d ) )
27	26	cbvralv 2715	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A B <_ z <-> A. d e. A B <_ d )
28	25, 27	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. d e. A B <_ d )
29	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> B e. RR )
30	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> A C_ RR )
31		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> d e. A )
32	30, 31	sseldd 3168	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> d e. RR )
33	29, 32	lenltd 8088	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> ( B <_ d <-> -. d < B ) )
34	33	ralbidva 2483	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ( A. d e. A B <_ d <-> A. d e. A -. d < B ) )
35	28, 34	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. d e. A -. d < B )
36		breq1 4018	. . . . . . . 8 |- ( d = z -> ( d < B <-> z < B ) )
37	36	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( d = z -> ( -. d < B <-> -. z < B ) )
38	37	cbvralv 2715	. . . . . 6 |- ( A. d e. A -. d < B <-> A. z e. A -. z < B )
39	35, 38	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. z e. A -. z < B )
40	22, 39	jca 306	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ( B e. RR /\ A. z e. A -. z < B ) )
41	4, 5	infnlbti 7038	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B e. RR /\ A. z e. A -. z < B ) -> -. inf ( A , RR , < ) < B ) )
42	24, 40, 41	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> -. inf ( A , RR , < ) < B )
43	22, 23, 42	nltled 8091	. 2 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> B <_ inf ( A , RR , < ) )
44	21, 43	impbida 596	1 |- ( ph -> ( B <_ inf ( A , RR , < ) <-> A. z e. A B <_ z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   C_ wss 3141   class class class wbr 4015  infcinf 6995   RRcr 7823   < clt 8005   <_ cle 8006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-apti 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-cnv 4646  df-iota 5190  df-riota 5844  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12464