Theorem infregelbex 9515

Description: Any lower bound of a set of real numbers with an infimum is less than or equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
infregelbex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
infregelbex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
infregelbex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
infregelbex	|- ( ph -> ( B <_ inf ( A , RR , < ) <-> A. z e. A B <_ z ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem infregelbex

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infregelbex.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
2	1	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B e. RR )
3		lttri3 7960	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. RR /\ c e. RR ) -> ( b = c <-> ( -. b < c /\ -. c < b ) ) )
4	3	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. RR /\ c e. RR ) ) -> ( b = c <-> ( -. b < c /\ -. c < b ) ) )
5		infregelbex.ex	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
6	4, 5	infclti 6970	. . . . . 6 |- ( ph -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
7	6	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
8		infregelbex.ss	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ RR )
9	8	sselda 3128	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. RR )
10	9	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> a e. RR )
11		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B <_ inf ( A , RR , < ) )
12	6	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
13	4, 5	inflbti 6971	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( a e. A -> -. a < inf ( A , RR , < ) ) )
14	13	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> -. a < inf ( A , RR , < ) )
15	12, 9, 14	nltled 8001	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ a )
16	15	adantlr 469	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ a )
17	2, 7, 10, 11, 16	letrd 8004	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B <_ a )
18	17	ralrimiva 2530	. . 3 |- ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) -> A. a e. A B <_ a )
19		breq2 3971	. . . 4 |- ( a = z -> ( B <_ a <-> B <_ z ) )
20	19	cbvralv 2680	. . 3 |- ( A. a e. A B <_ a <-> A. z e. A B <_ z )
21	18, 20	sylib 121	. 2 |- ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) -> A. z e. A B <_ z )
22	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> B e. RR )
23	6	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
24		simpl 108	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ph )
25		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. z e. A B <_ z )
26		breq2 3971	. . . . . . . . 9 |- ( z = d -> ( B <_ z <-> B <_ d ) )
27	26	cbvralv 2680	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A B <_ z <-> A. d e. A B <_ d )
28	25, 27	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. d e. A B <_ d )
29	1	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> B e. RR )
30	8	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> A C_ RR )
31		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> d e. A )
32	30, 31	sseldd 3129	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> d e. RR )
33	29, 32	lenltd 7998	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> ( B <_ d <-> -. d < B ) )
34	33	ralbidva 2453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ( A. d e. A B <_ d <-> A. d e. A -. d < B ) )
35	28, 34	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. d e. A -. d < B )
36		breq1 3970	. . . . . . . 8 |- ( d = z -> ( d < B <-> z < B ) )
37	36	notbid 657	. . . . . . 7 |- ( d = z -> ( -. d < B <-> -. z < B ) )
38	37	cbvralv 2680	. . . . . 6 |- ( A. d e. A -. d < B <-> A. z e. A -. z < B )
39	35, 38	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. z e. A -. z < B )
40	22, 39	jca 304	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ( B e. RR /\ A. z e. A -. z < B ) )
41	4, 5	infnlbti 6973	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B e. RR /\ A. z e. A -. z < B ) -> -. inf ( A , RR , < ) < B ) )
42	24, 40, 41	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> -. inf ( A , RR , < ) < B )
43	22, 23, 42	nltled 8001	. 2 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> B <_ inf ( A , RR , < ) )
44	21, 43	impbida 586	1 |- ( ph -> ( B <_ inf ( A , RR , < ) <-> A. z e. A B <_ z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   C_ wss 3102   class class class wbr 3967  infcinf 6930   RRcr 7734   < clt 7915   <_ cle 7916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-apti 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4029  df-xp 4595  df-cnv 4597  df-iota 5138  df-riota 5783  df-sup 6931  df-inf 6932  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12277