Theorem infregelbex 9663

Description: Any lower bound of a set of real numbers with an infimum is less than or equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
infregelbex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
infregelbex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
infregelbex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
infregelbex	|- ( ph -> ( B <_ inf ( A , RR , < ) <-> A. z e. A B <_ z ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem infregelbex

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infregelbex.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
2	1	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B e. RR )
3		lttri3 8099	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. RR /\ c e. RR ) -> ( b = c <-> ( -. b < c /\ -. c < b ) ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b e. RR /\ c e. RR ) ) -> ( b = c <-> ( -. b < c /\ -. c < b ) ) )
5		infregelbex.ex	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
6	4, 5	infclti 7082	. . . . . 6 |- ( ph -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
7	6	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
8		infregelbex.ss	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ RR )
9	8	sselda 3179	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. RR )
10	9	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> a e. RR )
11		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B <_ inf ( A , RR , < ) )
12	6	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
13	4, 5	inflbti 7083	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( a e. A -> -. a < inf ( A , RR , < ) ) )
14	13	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> -. a < inf ( A , RR , < ) )
15	12, 9, 14	nltled 8140	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ a )
16	15	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ a )
17	2, 7, 10, 11, 16	letrd 8143	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) /\ a e. A ) -> B <_ a )
18	17	ralrimiva 2567	. . 3 |- ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) -> A. a e. A B <_ a )
19		breq2 4033	. . . 4 |- ( a = z -> ( B <_ a <-> B <_ z ) )
20	19	cbvralv 2726	. . 3 |- ( A. a e. A B <_ a <-> A. z e. A B <_ z )
21	18, 20	sylib 122	. 2 |- ( ( ph /\ B <_ inf ( A , RR , < ) ) -> A. z e. A B <_ z )
22	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> B e. RR )
23	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
24		simpl 109	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ph )
25		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. z e. A B <_ z )
26		breq2 4033	. . . . . . . . 9 |- ( z = d -> ( B <_ z <-> B <_ d ) )
27	26	cbvralv 2726	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. A B <_ z <-> A. d e. A B <_ d )
28	25, 27	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. d e. A B <_ d )
29	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> B e. RR )
30	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> A C_ RR )
31		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> d e. A )
32	30, 31	sseldd 3180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> d e. RR )
33	29, 32	lenltd 8137	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) /\ d e. A ) -> ( B <_ d <-> -. d < B ) )
34	33	ralbidva 2490	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ( A. d e. A B <_ d <-> A. d e. A -. d < B ) )
35	28, 34	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. d e. A -. d < B )
36		breq1 4032	. . . . . . . 8 |- ( d = z -> ( d < B <-> z < B ) )
37	36	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( d = z -> ( -. d < B <-> -. z < B ) )
38	37	cbvralv 2726	. . . . . 6 |- ( A. d e. A -. d < B <-> A. z e. A -. z < B )
39	35, 38	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> A. z e. A -. z < B )
40	22, 39	jca 306	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> ( B e. RR /\ A. z e. A -. z < B ) )
41	4, 5	infnlbti 7085	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B e. RR /\ A. z e. A -. z < B ) -> -. inf ( A , RR , < ) < B ) )
42	24, 40, 41	sylc 62	. . 3 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> -. inf ( A , RR , < ) < B )
43	22, 23, 42	nltled 8140	. 2 |- ( ( ph /\ A. z e. A B <_ z ) -> B <_ inf ( A , RR , < ) )
44	21, 43	impbida 596	1 |- ( ph -> ( B <_ inf ( A , RR , < ) <-> A. z e. A B <_ z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   C_ wss 3153   class class class wbr 4029  infcinf 7042   RRcr 7871   < clt 8054   <_ cle 8055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-apti 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-iota 5215  df-riota 5873  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060

This theorem is referenced by:  nninfdclemp1  12607